概率论与数理统计作业题解

1、第四章作业题解4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知的概率分布如下表所示:X0 1 2 3 P0.4 0.3 0.2 0.1Y0 1 2 3 P0.3 0.5 0.2 0如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？解： 因为 ，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X表示取出的3 个球中的最大编号，求E(X).解：X的可能取值为3,4,5.因为；所以 4.3 设随机变量X 的概率分布其中是个常数，求解: ，下面求幂级数的和

2、函数，易知幂级数的收敛半径为，于是有根据已知条件，因此，所以有.4.4 某人每次射击命中目标的概率为, 现连续向目标射击, 直到第一次命中目标为止, 求射击次数的期望.解：因为的可能取值为1,2,。依题意，知的分布律为 所以4.5 在射击比赛中, 每人射击4 次, 每次一发子弹. 规定4弹全未中得0分, 只中1弹得15分, 中2弹得30 分, 中3弹得55分, 中4弹得100分. 某人每次射击的命中率为0.6, 此人期望能得到多少分？解：设4次射击中命中目标的子弹数为X，得分为Y，则XB(4,0.6)因为 所以Y的分布律为Y0153055100P0.02560.15360.34560.3456

3、0.1296故期望得分为 = 44.644.6 设随机变量 X 的概率分布为说明的期望不存在。解:级数发散,不符合离散型随机变量期望定义的要求,从而的期望不存在.4.7 设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗, 在各交通岗遇到红灯是相互独立的, 其概率均为0.4. 求途中遇到红灯次数的期望.解：设遇到红灯次数为X，依题意，知XB(3,0.4) 故 4.8 设随机变量X的概率密度函数为, 求解：4.9设随机变量X的概率密度函数为又,求常数的值.解： 由，得 因为 所以，由，得 又 由 ，得 解联立方程，得，4.10 设随机变量X的概率密度函数为说明的期望不存在.解:积分,显然,积分发散,根据连

4、续型随机变量期望的定义, 的期望不存在.4.11 某地抽样调查结果表明, 考生的外语成绩X(百分制) 近似服从正态分布, 平均成绩为72 分, 96 分以上的考生占考生总数的2.3%. 求考生外语成绩在60 分至84 分之间的概率.解：设，依题意得，又 ，则即有 所以 得 所以 故所求的概率为 4.12 对习题4.1 中的随机变量X, 计算.解：4.13 设随机变量X的概率密度函数为, 分别计算的期望和的期望解：因为 ，其中 ，所以 故 4.14 对球的直径做近似测量, 设其值均匀分布在区间内, 求球体积的均值.解：设球的直径测量值为，体积为，则有.显然的概率密度函数为因此,球体积的均值为.4

5、.15 游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光, 电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行. 设某一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处, 且, 求该游客等候时间的期望.解: 用随机变量表示游客的等候时间(单位:分钟),则,其函数关系为 由于,根据随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为 4.16设二维随机向量的概率密度函数为, 求.解：因为，当时，当时，所以，又 故 4.17 设随机变量X 与Y 相互独立, 概率密度函数分别为和求.解： ， 因为X和Y相互独立，所以 .4.18 设二维随机向量服从圆域上的均匀分布,求 .解: 根据二维随机向量的计算公式：此积分用极坐标计

6、算较为方便，于是有4.19 设随机变量X 与Y 相互独立,并且均服从,求.解：由于X 服从，故其分布函数为同理，Y服从，故其分布函数为于是根据公式，的分布函数为求到后得密度函数因此4.20 民航机场的一辆送客汽车每次载20名旅客自机场开出, 沿途有10个车站. 若到达一个车站时没有旅客下车, 就不停车. 设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的, 求汽车的平均停车次数.解：用随机变量表示汽车的10个车站总的停车次数，并记显然，均服从两点分布，且，于是有由此求得.4.21 将一颗均匀的骰子连掷10 次, 求所得点数之和的期望.解：设Xi表示第i次掷出的点数(i =1,2,10)，则掷10次骰子的

7、点数之和为。因为Xi的分布律为 (k =1,2,6)，所以 故 .4.22 在习题4.4中, 若直到命中目标次为止, 求射击次数的期望.解：设是从第次命中目标到第次命中目标之间的射击次数，的分布律为 记随机变量，并且注意到随机变量概率分布相同，因此4.23求习题4.1 中随机变量的方差.解：由T4.1知 ，由T4.12知又 故 .4.24 求习题4.9 中随机变量X 的方差解: 由T4.1知 ，故 4.25 设二维随机向量的概率密度函数为, 求和.解：因为，当时，即 所以 ，由对称性得 ，4.26 设随机变量,并且X 与Y 相互独立,求和.解：因为， 所以 ，又X和Y相互独立，故 .4.27 设二维随机向量的概率分布如下表:XY-101010.10.30.10.10.10.3求解容易求得的概率分布为：的概率分布为：的概率分布为：，于是有，4.28设二维正态随机向量的概率密度函数为问与是否互不相关?解：二维随机变量具有概率密度的标准形式为：其中均为常数,且,由此得到：因为所以与互不相关。4.29设二维随机向量的概率密度函数为, 求.解：因为，当时，所以 于是 由对称性得 ，又因为 所以 故 .4.30 设二维随机向量的概率密度函数为, 求和.解：由二维随机向量的概率密度函数积分，可以求得两个边缘密度：，