数值分析上机实习题答案

1、数值分析2017-2018 第二学期上机实习题 1：编程计算， 其中c= 4.494210307， 给出并观察计算结果，若有问题，分析之。解：matlab编程如下：图一：编程 图二：运行结果Matlab中，format long g 对双精度，显示15位定点或浮点格式，由上图可知，当输入较小的n值（n分别取10,100,1000,100000,100000000）的时候，结果后面的指数中总是含有e-308，这和题目中的C值很相似，我认为是由于分母中的C值相对于n值过大，出现了“大数吃小数”的现象，这是不符合算法原则的。2：利用牛顿法求方程于区间的根，考虑不同初值下牛顿法的收敛情况。解：牛顿法公

2、式为：xk+1=xk-xk-lnxk-21-1xk利用matlab编程当输入初值=3的时候并不能收敛。输入2.8依旧不能收敛。考虑利用plot函数绘制函数f=x-lnx-2的图像，发现其在区间2,4内并无根。3：给出 在xk=0+0.25k处的值yk, k=0,1,2,3,4. 请给出由节点 xk 确定的三次样条插值函数S(x), 使其满足条件：S/(0)=0, S/(1)=-0.074, 分析逼近效果如何？解：根据李庆扬数值分析第五版Page43的公式可以计算得到三次样条插值。根据6.11和6.12式解得系数。d058.5366d117.15728d28.67705d32.0934d40.9

3、05136列方程 A*M=B；A=B=解得M为M=由此和6.8式可得其三次样条函数如下：得到最终的插值结果如下：总的来说，利用三次样条插值的精度还是比较高的。4:给出一个通用多项式拟合程序，输入部分：数据组个数为n, 拟合的误差限e输出部分：多项式次数、系数向量、拟合的实际误差。function A c eff= zxec( )x=input(请输入变量x：);y=input(请输入变量y：);e=input(请输入拟合限差：);for i=1:10 A=polyfit(x,y,i);%A为拟合多项式系数向量 Y=polyval(A,x);%Y为拟合多项式 if sum(Y-y).2) A,c

4、,eff=zxec请输入变量x：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10请输入变量y：1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6请输入拟合限差：2.50 1 1.5382 -0.3600 2.3447A = 1.5382 -0.3600c = 1eff = 2.3447 实例拟合结果如下图所示：由以上拟合结果可知，在给定的限差的情况下，拟合结果为一次，得到的实际误差达到2.3447，可见拟合效果并不是很理想。如果继续缩小误差限差值，那么拟合次数将会增加，拟合的结果也将会更加趋近于真实结果。5：已知，利用复化梯形公式、复化Simpson公式和Rombe

5、rg算法求的近似值；并观察实际计算结果，比较它们的收敛速度。解：复化梯形公式计算结果分析：从结果中不断改进等分点的个数，可以看出复化梯形公式的结果需要等分至少20点才能开始收敛，若想收敛到精确值，则需要增加区间等分点数。function Y=fhdx()n=input(请输入要等分x区间的个数：);h=1/n;s=0;for k=1:n-1 x=k*h; y=4/(1+x2); s=2*y+s; Y=h/2*(6+s); hold on ; plot(x,Y,r*); grid on;end程序代码：复化Simpson公式计算结果function Y = fhsimpson()n=input(

6、请输入将x区间等分的个数：);h=1/n;s1=0;s2=0;for k=1:2*n-1 x=k*h/2; y=4/(1+x2); if mod(k,2)=0 s1=s1+2*y; else s2=s2+4*y; end Y=h/6*(6+s1+s2); hold on; plot(x,Y,r*);end分析：从结果图中可以看出对于复化Simpson公式，只需要对区间等分两次（即n=2）就可以得到非常理想的结果，说明复化Simpson公式的收敛速度非常快。程序代码：Romberg算法分析：Romberg算法根据给定的限差可以直接得出收敛值，收敛速度快。function s=romberg1(a

7、,b,eps)if nargin=2 eps=1.0-6;elseif nargin=eps area=0.0; h=(b-a)/2(n-1); for i=1:(2(n-1) area=area+0.5*h*(rombergff(a+h*(i-1)+rombergff(h*i+a); end t(n,1)=area; for j=2:n for i=1:(n-j+1) t(i,j)=(4(j-1)*t(i+1,j-1)-t(i,j-1)/(4(j-1)-1); end end t1=t(1,n); t2=t(1,n-1); n=n+1;ends=t1;retur nfunction y=ro

8、mbergff(x)y=4/(1+x2);程序代码：6：用Runge-Kutta 4阶算法对初值问题y/=-20*y，y(0)=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的作用。注：此方程的精确解为：y=e-20x解：结果分析：便于比较的直观性，将龙格库塔值求出并与精确值一同绘制出来，在步长h分别取0.1,0.025,0.01时，显示如下：h=0.1h=0.025h=0.01结果图中，虚线为龙格库塔值所成，小圆圈为真实值。从以上三幅图中可以清晰地看到，当步长取大了，误差较大，取小了，误差较少。龙格库塔法尽管可以达到较高的精度，但由于计算较为复杂，如在4阶算法中，每计算一步就要调用4次f(x,y)，固运算量大。程序代码：clear;h=0.01;%步长x0=0;x1=1;%x的范围x=x0:h:x1;y=zeros(1,length(x);y(1)=1;%y(0);Fxy=(t,y)(-20*y);for i=1:(length(x)-1) k1=Fxy(x(i),y(i); k2=Fxy(x(i)+0.5*h,y(i)+0.5*k1*h); k3=Fxy(x(i)+0.5*h),(y(i)+0.5*k2*h); k4=Fxy(x(i)+h),y(i)+k