文数书稿平面向量的基本定理及坐标表示

1、第26节 平面向量的基本定理及坐标表示一、考点考纲明确目标1了解平面向量的基本定理及其意义。2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。4理解用坐标表示的平面向量共线的条件。二、基础再现回归课本1平面向量基本定理如果是同一平面内的两个 不共线 的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。.我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 ，记为注意：（1）是同一平面内的两个不共线向量；（2）该平面内的任意向量都可用线性表示，且这种表示是唯一的；（3）对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底.2向量的正交分解

2、及坐标运算（1）平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.（2）平面向量的坐标表示在平面直角坐标平面内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、，、作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得，则我们把有序实数对叫做向量的（直角）坐标，记作， 叫做 在轴上的坐标，叫做 在轴上的坐标。把叫做向量的坐标表示。 注意：相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量。3平面向量的加法和减法的坐标运算（1）设，则： ； ；. 注意：（1）两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积；

3、（2）两个向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的起点和终点的坐标却不一定相同.（2）给定点，则4用平面向量坐标表示向量共线条件： 设则向量共线，即三、三基检测知己知彼1设 分别为与轴，轴正方向相同的两个单位向量，若，则向量的坐标是（ ）. 答案：A解析：由平面向量基本定理可知，故选A2已知向量，若与共线，则的值为 A B C D 答案：D解析：， = ；= 与共线 即3（2009韶关一模文）已知，若，则实数的值是 （ ）A. -17 B. C. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D.答案：B解析： ； 即4若点O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)且,则点A的坐标为，点B的坐标为,

4、向量 的坐标为.答案：A(2,4)，B(3,9)，(5,5)解析：O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)， (1,2)，(1,3)， 2×(1,2)(2,4)， 3×(1,3)(3,9).A(2,4)，B(3,9)， (32,94)(5,5).5（05，广东）已知向量，且，则_.答案：4解析： 即四、典例研究提升能力考点一、平面向量的基本定理及其应用例题1 已知A(1,-2)，B(2,1)，C(3,2)，D(-2,3)，以,为一组基底来表示. 解：=(1,3), =(2,4), =(-3,5)，=(-4,2), =(-5,1), =(-12,8) 根据平面向量基本定理，必

5、存在唯一实数对m,n使得=m+n(-12,8)=m(1,3)+ n (2,4) 得m=32, n=-22;=3222即时练习： 如图所示，在OAB中，,，AD与BC交于点M，设 ，以，为基底表示 解：设manb(m，n R).则 (m1)anb， baab.因为A，M，D三点共线，所以 即m2n1，而 (m)anb， baab，因为C，M，B三点共线，所以 ，即4mn1.由 解得 所以规律总结：正确运用坐标运算求得各个向量坐标，求解方程组，要求计算正确。考点二、平面向量的坐标运算例二、已知及，试问：（1）为何值时，点在轴上？在轴上？在第二象限？（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的

6、值；若不能，请说明理由.解：（1）若在轴上，则若在轴上，则若在第二象限，则（2）若四边形为平行四边形，则，而所以四边形不能成为平行四边形。即时练习：已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设 a，b， c，且3c,2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标.解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)，(3) 3c 3c(3,24)(3，4)(0,20). (0,20).又 2b， 2b (12,6)(3，

7、4)(9,2)，N(9,2).(9，18).规律总结：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数。考点三、平行（共线）向量的坐标运算例三：.若，求与的关系式。解：又且即即时练习：已知当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？解：即当时，两向量平行，此时 所以平行时它们是反向。规律总结：两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用，一般地，如果已知两向量共线，求某些参数的值，则利用： “若向量a(x1，y1 )，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10”比较简捷.五、想一想 议一议 改一改（易错、易漏题的改正）设向量，则是的（

8、 ）条件。A、充要 B、必要不充分 C、充分不必要 D、既不充分也不必要解：，。且，故选A想一想：上面的做法对不对？如果不对，请写出正确的做法。上面的做法是错误的，正确答案如下：解：若则，若，有可能或为0，故选C。六、高考真题开拓视野1(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 答案：C解析：,由及向量的性质可知,C正确.2（2010山东文数）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，令，下面说法错误的是（ ）A.若与共线，则 B. C.对任意的，有 D. 答案：B解析：若与共线，则

9、有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，故选B。七、强化训练当堂巩固1若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=（ ）A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b答案：B解析：由计算可得故选B2对于非0向时a,b,“a/b”的正确是 （ ）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件答案：A解析：由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“的充分不必要条件。3在中，点在上，且，点是的中点，则 （ ）A BCD 答案：A解析：由已知可得： 4若平面向量，满足，平行于轴，则 . 答案：（-1，1）或（-3,1）解析：或，则

10、或.5在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A(2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为_.答案：（0，2）解析：平行四边形ABCD中, (2,0)(8,6)(6,8)(0,2) 即D点坐标为(0,2)6已知，若与平行，求实数的值. 解：因为与平行，所以存在实数，使得八、课后练习 题组一平面向量的坐标运算1已知平面向量，则向量（）（-1,2） 答案：D解析：（-1,2） 2=即=2（01，江西）若向量，则 等于（ ） 答案：B解析：=+ （-1,2）= 得 即， 所以：=3若平面向量与向量的夹角是，且，则( )A B C D答案：A 解析：设，而，则

11、4已知向量，向量，则的最大值是 答案： 解析：题组二平行（共线）向量的坐标运算5（2010陕西文数）已知向量（2，1），（1，m），（1，2）若（），则 .答案：m=-1解析：，所以m=-16（2009北京卷文）已知向量，如果，那么（ ） A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向答案：D.w解析：本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.7（2009东莞一模）已知，则A、B、C三点共线的充要条件为 （ ）ABCD答案：C解析： 得 即 8设，且，则锐角的值为（ ）.答案：B解析： ，即 所以7已知向量，则与（）A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向答案：A8已知点，向量，且，则的值为（ ）.答案：C解析：=（1,3） 6k-12-6=0 即