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文档简介
1、计算方法实验指导姓名 _学号 _院系 _专业 _哈尔滨工业大学计算方法实验指导根据实际问题建立的数学模型,一般不能求出所谓的解析解,必须针对数学模型的特点确定适当的计算方法,编制出计算机能够执行的计算程序,输入计算机,进行调试,完成运算,如果计算结果存在问题或不知是否正确,还需要重新确定新的计算方法,再编制出计算程序,输入计算机,重新调试,完成运算,直至获得正确的计算结果,这就是数值计算的全部过程。学生在学习“计算方法”和“高级语言”等课程时普遍存在的问题是:只会套用教科书中的标准程序进行数值计算,很少有人能够独立地将学过的数值算法编制成计算机程序,至于灵活应用已经掌握的算法求解综合性较大的课
2、题,则更是困难的事情。编写计算方法实验指导的目的是:突出数值计算程序结构化的思想。提高学生的编程能力,加深对“计算方法”课程内容的理解和掌握,为”计算方法“课程的教学服务,进一步奠定从事数值计算工作的基础。具体地1. 根据“计算方法”课程内容的特点,给出五个典型算法的分析流程,学生可以利用所掌握的“高级语言”顺利地编制出计算机程序,上机实习,完成实验环节的教学要求。2. 所有的计算实习题目都经过任课教师逐一检验,准确无误。3. 充分利用循环的思想、 迭代的思想, 给出算法结构描述和程序语言的对应关系,有利于学生编制相应的程序。4. 结合实习题目,提出实验要求,要求学生按规范格式写出相应的实验报
3、告,实验报告成绩记入期末总成绩。需要提醒学生:不能简单地套用现成的标准程序完成实验题目,应当把重点放在对算法的理解、程序的优化设计、上机调试和计算结果分析上,否则就失去实验课的目的啦。5. 五个具体的实验题目是:实验题目1 拉格朗日 (Lagrange) 插值实验题目2 龙贝格 (Romberg) 积分法实验题目3 四阶龙格库塔(Runge Kutta) 方法实验题目4 牛顿 (Newton) 迭代法实验题目5 高斯 (Gauss) 列主元消去法要求必须完成其中三个(如果全部完成更好)。实验题目 1拉格朗日 (Lagrange) 插值方法概要:给定平面上 n1个不同的数据点( xk , f (
4、 xk ) , k0,1, n , xixj , ij ;则满足条件Pn ( xk )f ( xk ) , k0,1, n的 n 次拉格朗日插值多项式Pn (x)n0 f ( xk )l k ( x)k是存在唯一的。 若 xk a, b, k 0,1, n,且函数 f (x) 充分光滑, 则当 x a,b 时,有误差估计式f (x) Pn (x)f (n 1) ( ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) ,a,b(n 1)!拉格朗日插值算法实验实验目的:利用拉格朗日插值多项式Pn ( x) 求f ( x)的近似值输入: n1个数据点( xk ,f ( xk ) ,k0,1,n;
5、插值点x输出:f ( x) 在插值点x 的近似值Pn ( x)程序流程:1 置 y0.0 ; k02 当 kn 时,做置 l1.0 ;对 j0,1, k 1,k 1, ,n ,置 l l ( x xj ) /( xk xj )置 yylf ( xk )置 kk13 输出 x, y4 停机问题 1 拉格朗日插值多项式的次数n 越大越好吗考虑下面两个拉格朗日插值问题:(1)设 f ( x)1, x5,5 ,考虑等距节点的拉格朗日插值多项式Pn (x) ,x2110.0即将区间 5,5 进行 n 等分,记, xk5.0 k h , k0,1, n ,构造hnPn ( x) ,利用拉格朗日插值多项式P
6、n (x) 作为 f (x) 的近似值。分别取n 5 , n 10 ,n 20 ,同时计算 Pn ( x) 在 x0.75 , x1.75, x 2.75, x 3.75, x4.75 处的函数值。(2)设 f (x)ex , x 1,1 ,考虑等距节点的拉格朗日插值多项式Pn ( x) ,即将区间 1,1进行 n 等分,记 h2.01.0 k h ,k0,1, , n ,构造 Pn (x) , xkn利用拉格朗日插值多项式Pn ( x) 作为 f ( x) 的近似值。 分别取 n5 , n 10 , n20 ,同时计算 Pn ( x) 在 x0.95 , x0.05, x0.05 , x0.
7、95 处的函数值。问题 2 插值区间越小越好吗考虑下面两个拉格朗日插值问题:(1)设 f (x)1, x 1,1,考虑等距节点的拉格朗日插值多项式Pn (x) ,1x22.0即将区间 1,1进行 n等分,记 h1.0 k h ,k0,1, , n,构造 Pn (x) ,xkn利用拉格朗日插值多项式Pn ( x) 作为 f ( x) 的近似值。 分别取 n5 , n10, n 20 ,同时计算 Pn ( x) 在 x0.95, x0.05, x0.05 , x 0.95 处的函数值。(2)设 f (x) ex , x 5,5 ,考虑等距节点的拉格朗日插值多项式Pn ( x) ,即将区间 5,5
8、进行 n 等分,记 h2.0 ,xk1.0 k h ,k0,1, , n ,构造 Pn (x) ,n利用拉格朗日插值多项式Pn ( x) 作为 f ( x) 的近似值。 分别取 n5 , n10 , n 20 ,同时计算 Pn ( x) 在 x4.75, x0.25, x0.25 , x 4.75 处的函数值。问题 3 在区间 1,1考虑拉格朗日插值问题,为了使得插值误差较小,应如何选取插值节点考虑下面两个拉格朗日插值问题:(1)设f ( x)1,1,1,考虑非等距节点的拉格朗日插值多项式(),1 x2x Pnx记 xkcos(2 k1),k0,1, n ,构造 Pn ( x) ,利用拉格朗日
9、插值多项式Pn ( x) 作2( n1)为 f( x) 的近似值。分别取n5 , n 10 , n20 ,同时计算 Pn (x) 在 x0.95 ,x0.05 , x0.05 , x0.95处的函数值。(2)设 f (x)ex , x1,1,考虑非等距节点的拉格朗日插值多项式Pn ( x) ,记 xkcos (2 k1),k0,1, n ,构造 Pn ( x) ,利用拉格朗日插值多项式Pn ( x) 作2( n1)为 f ( x) 的近似值。分别取n5 , n 10 , n20 ,同时计算 Pn (x) 在 x0.95 ,x0.05 , x0.05 , x0.95处的函数值。问题 4 考虑拉格
10、朗日插值问题,内插比外推更可靠吗考虑下面两个拉格朗日插值问题:(1)设f ( x)x,关于以x01, x14 , x29 为节点的拉格朗日插值多项式 P2(x),利用拉格朗日插值多项式P2( x)作为f (x)的近似值。同时计算P2 ( x)在x5 ,x50 ,x115,x185处的函数值。(2)设f (x)x ,关于以x036 , x149 ,x264 为节点的拉格朗日插值多项式P2 ( x),利用拉格朗日插值多项式P2( x)作为f (x)的近似值。 同时计算P2( x)在x5 ,x50 ,x115,x185处的函数值。(3)设f ( x)x,关于以x0100 , x1121 , x214
11、4 为节点的拉格朗日插值多项式P2 ( x) ,利用拉格朗日插值多项式P2( x)作为f ( x)的近似值。 同时计算P2 ( x)在 x5,x50 ,x115 , x185处的函数值。( 4)设f ( x)x,关于以x0169 , x1196,x2225 为节点的拉格朗日插值多项式P2(x),利用拉格朗日插值多项式P2 ( x)作为f ( x)的近似值。同时计算P2 (x) 在 x5 , x50 , x115, x185处的函数值。思考题:1. 对实验 1 存在的问题,应如何解决2. 对实验 2 存在的问题的回答,试加以说明3. 对实验 3 存在的问题的回答,试加以说明4. 如何理解插值问题
12、中的内插和外推写出实验报告实验题目 2龙贝格 (Romberg)积分法方法概要:利用复化梯形求积公式、复化辛普生求积公式、复化柯特斯求积公式bbaf ( x) dx 。记 h, xkak h , k0,1, , n ,其的误差估计式计算积分an计算公式:1 hnTnk 1 f (xk 1 )f ( xk )21 Tn1 hn1 h)T2nf ( xk22k 12Sn1 (4T2n Tn )3Cn1 (16S2nSn )15Rn1 (64C 2nCn )63一般地,利用龙贝格算法计算积分,要输出所谓的T数表T1T2S1T4S2C1T8S4C 2R1龙贝格 (Romberg) 积分法实验b实验目的
13、:利用龙贝格(Romberg) 积分法计算积分f ( x)dxa输入: a,b, N ,输出: 龙贝格 T数表程序流程:ba1 置 h, m 1n1T1h f (a) f (b)22 输出 T13 对 i 2,3, N ,做 3,5置 ii2i11 T11 hii1) h)置 T2f (a (k22k 12输出 T2置 S21 (4T2T1)3输出S2对 m1,置 C1 (16SS )21521输出C2 ,转对 m2,置 R21 (64C2C1 )63输出R2 ,转对 m3,置 tolR2 R1如果 tol,则停机,否则转置 R1R2,C1C2, S1S2,T1T2 , hh, m m 124
14、 停机问题 1: 利用龙贝格 (Romberg) 积分法计算积分1x2exdx ,10 6( 1)03ex sin xdx ,10 6( 2)114 dx,10 6( 3)0 1x211106( 4)xdx ,01问题 2: 被积函数无界,如何处理1 sin x,106( 1)dx0xsin x提示: f (0) lim1x0x1cos x106( 2)dx ,01 x提示:引进变换 t1x1 cos x,106( 3)dx0x提示:利用等式1 cos xdx1 11 cos x12,第00dx0dx ,第一个积分值等于xxx二个积分,利用 f (0)cos x10;limx 0x也可以考虑利
15、用分部积分1 cos x21cos xd (x )0xdx01xsin xdx ,106( 4)1 x21提示:利用第一类Gauss-Chebyshev 求积公式问题 3: 积分区间无限,如何处理( 1)e x2dx, ,10 610x2dx 作近似提示:利用e10( 2)1dx ,10 61 ( x 1) x提示:利用变换 tx 1( 3)e x2cos3xdx ,10 6提示: Gauss-Hermite 求积公式(4)e x sin 2 xdx ,10 60提示: Gauss-Lagurre 求积公式思考题:1. 输入的参数 N 有什么意义2. 在实验 1 中二分次数和精度的关系如何3.
16、 在实验 2 中给出的提示具有普遍性吗存在其它的方法吗试加以说明。4. 在实验 3 中给出的提示具有普遍性吗存在其它的方法吗试加以说明。写出实验报告实验题目 3四阶龙格库塔 (RungeKutta) 方法方法概要:给定常微分方程初值问题dyf ( x, y), axbdxy(a)hbaN记 xnan h , n0,1, N ,利用四阶龙格库塔方法K1hf ( xn , yn )K 2hf ( xnh , yn2K 3hf ( xnh , yn2K 4hf ( xnh, yny n 1yn1 (K16K1 )2K 2 )2K 3 )2K22K3K4)n0,1,N1可逐次求出微分方程初值问题的数值
17、解yn , n1,2, N 。四阶龙格库塔(Runge Kutta) 方法实验实验目的:利用四阶龙格库塔(Runge Kutta) 方法求解微分方程初值问题输入: a,b, , N输出:初值问题的数值解xn , yn , n 0,1,2, , N 。程序流程:1置 x0a, y0ba, hN2对 n1,2,N,做置K1hf ( x0 , y0 )K2hf ( x0h , y20K 3hf ( x0h , y02K 4hf ( x0h, y0K1 )2K 2 )2K 3 )置x1x0hy 1y01 (K1 2K2 2K3 K4)6输出 x1, y1置x0x1 , y0y13 停机问题 1( 1)
18、dyy,0x 1, N 5,10, 20xdxy(0)1b ahN准确解yx1( 2)dyy2 ,0x1, N 5,10, 20dxy(0)1bahN准确解y1x 1问题 2( 1)dy2yx2 ex ,1x 3, N 5,10, 20dxxy(1)0bahN准确解yx2 (exe)( 2)dy1( y2y),1x 3, N 5,10,20dxxy(1)2bahN准确解2xy12x问题 3( 1)dy20( yx2 )2x,0 x 1, N 5,10, 20dxy(0)1ba3hN准确解yx21 e 20 x3( 2)dy20 y20sin xcos x,0x1, N5,10, 20dxy(0
19、)1hb aN准确解ye 20 xsin x( 3)dy20( y ex sin x) ex (sin x cos x),0 x 1dxy(0)0N5,10, 20b ahN准确解yex sin x思考题:1. 对实验 1,数值解和解析解相同吗为什么试加以说明。2. 对实验 2, N 越大越精确吗试加以说明。3. 对实验 3, N 较小会出现什么现象试加以说明写出实验报告实验题目 4牛顿 (Newton) 迭代法方法概要:求非线性方程f ( x)0 的根 x* ,牛顿迭代法计算公式x0xn 1xnf (xn )f (xn )n 0,1,一般地,牛顿迭代法具有局部收敛性, 为保证迭代收敛, 要求
20、,对充分小的0 ,O(x* , ) 。如果 f ( x) C 2 a, b , f ( x* )0 , f ( x* ) 0 ,那么,对充分小的0 ,当O( x*, ) 时,由牛顿迭代法计算出的 xn 收敛于 x* ,且收敛速度是2阶的;如果f(x)Cm ,,*)f( m 1)*) 0,a bf ( x )f (x( xf ( m) (x* )0( m 1),那么,对充分小的0 ,当O ( x* ,) 时,由牛顿迭代法计算出的 xn 收敛于 x* ,且收敛速度是1 阶的;牛顿 (Newton) 迭代法实验实验目的:利用牛顿迭代法求f ( x)0 的根输入:初值,精度1, 2 ,最大迭代次数N输
21、出:方程f ( x)0 根 x* 的近似值或计算失败标志程序流程:1置 n12当 nN 时,做置 Ff ( x0 ) , DF f ( x0 )如果F1 ,输出 x0 ;停机如果DF2 ,输出失败标志;停机置 x1x0 F / DF置 Tol x1 x0如果Tol1 ,输出 x1 ;停机置nn1 , x0x13 输出失败标志4 停机问题 1:(1) cosxx0 , 110 6,210 4,N10, x00.7853981634(2) e xsin x0 ,1 106,2 104, N10, x0 0.6问题 2:( 1) xe x0 , 1106, 210 4,N10 , x00.5(2)
22、x22 xe xe 2 x0 , 1106, 2104,N20 , x0 0.5问题 3:( 1)由下面的递推公式可以生成勒让德(Legendre )多项式P0 ( x)1P (x)x12n3n1Pn 2 (x)2xPn 1 (x)Pn ( x), n 0nn2试确定 P2 (x), P3 ( x), P4 ( x) 和 P5 ( x)确定 P6 ( x) ,求 P6 ( x) 得所有零点,精度10 6,( 2)由下面的递推公式可以生成切比雪夫勒让德(Chebyshev )多项式T0 ( x)1T1 (x)xTn 2 ( x)2xTn 1 ( x)Tn (x), n0试确定 T2 (x),T3
23、 (x), T4 ( x) 和 T5 ( x)确定 T6 ( x) ,求 T6 (x) 得所有零点,精度10 6x j cos( 2 j1) , j 0,1, , n2(n1)( 3)由下面的递推公式可以生成拉盖尔(Laguerre )多项式L0 ( x)1L1( x)xLn 2 ( x)(2n 3x) Ln 1(x) (n 1)2 Ln ( x), n 0试确定 L2 (x), L3 ( x), L4 (x) 和 L5 (x)求 L5 ( x) 得所有零点,精度10 6,( 4)由下面的递推公式可以生成埃尔米特(Hermite )多项式H 0 (x)1H 1 ( x)xH n 2 (x)2x
24、H n 1( x)2(n1)H n ( x),n0试确定 H 2 ( x), H 3 (x), H 4 ( x) 和 H 5 ( x)确定 H 6 ( x) ,求 H 6 ( x) 得所有零点,精度10 6, ,思考题:1. 对实验 1 确定初值的原则是什么实际计算中应如何解决2. 对实验 2 如何解释在计算中出现的现象试加以说明3. 对实验 3 存在的问题的回答,试加以说明写出实验报告实验题目 5相对高斯 (Gauss) 列主元消去法方法概要:高斯( Gauss)列主元消去法:对给定的n 阶线性方程组Axb ,首先进行列主元消元过程,然后进行回代过程,最后得到解或确定该线性方程组是奇异的。如
25、果系数矩阵的元素按绝对值在数量级方面相差很大,那么,在进行列主元消元过程前,先把系数矩阵的元素进行行平衡:系数矩阵的每行元素和相应的右端向量元素同除以该行元素绝对值最大的元素。这就是所谓的平衡技术。然后再进行列主元消元过程。如果真正进行运算去确定相对主元,则称为显式相对Gauss 列主元消去法;如果不进行运算,也能确定相对主元,则称为隐式相对Gauss 列主元消去法。显式相对 Gauss 列主元消去法:对给定的n 阶线性方程组Axb ,首先进行列主元消元过程,在消元过程中利用显式平衡技术,然后进行回代过程,最后得到解或确定该线性方程组是奇异的。隐式相对 Gauss 列主元消去法:对给定的n 阶
26、线性方程组Axb ,首先进行列主元消元过程,在消元过程中利用隐式平衡技术,然后进行回代过程,最后得到解或确定该线性方程组是奇异的。实验目的: 利用 Gauss 列主元消去法、 显式相对Gauss 列主元消去法、 隐式相对Gauss列主元消去法求解线性方程组Axb 。输入: n ; aij ,bi , i, j 1,2, , n输出:线性方程组Ax b 的近似解 xi , i 1,2, ,n程序流程:一、 Gauss 列主元消去法1 对 k 1,2, n 1,做,消元过程寻找最小的正整数p , kp n 和 apkmax ajk 。如果 apk0 ,输出k j n奇异标志,停机;如果 pk ,那
27、么交换p, k 两行;对 i k1, , n ,记 mikaik / akk ,计算aijaijakj mikik1, njk1, nbibibk mikik1, n2.如果 ann0 输出奇异标志,停机;3.置 xnbn / ann ,回代过程4.对 kn1, ,2,1 ,置 xk(bkn1 akj x j) / akkjk二、显式相对Gauss 列主元消去法1.对 k1,2, n 1,做,消元过程对 ik, k1, , n ,计算 simax aij,如果 si0 ,输出奇异标志,停机;kj n计算 aijaij / si , j k ,k 1, n ;寻找最小的正整数p , kpn 和
28、apkmax ajk,如果 apk0 ,输出k jn奇异标志,停机;如果 pk ,那么交换 p,k 两行;对 ik1, , n ,记 mikaik / akk ,计算aijaij akj mikik1, njk1, nbibi bk mikik1, n2.如果 ann0 输出奇异标志,停机;3.置 xnbn / ann ,回代过程4.对 kn1,2,1 ,置 xk(bknakj x j) / akkjk1三、 隐式相对 Gauss 列主元消去法1.对 k1,2, n 1 ,做 消元过程对 ik, k1, n ,计算 simax ajk,如果 si 0,输出奇异标志,停机;k j n寻找最小的正
29、整数p , kpn 和 a pk/ spmax aik/ si ;k i n如果 pk ,那么交换 p, k 两行;对 ik1, n ,记 mikaik/ akk ,计算aijaijakj mikik1, njk1, nbibibk mikik1, n2.如果 ann0 输出奇异标志,停机;3.置 xnbn / ann ,回代过程4.对 kn1,2,1 ,置 xk(bkn1 akj x j) / akkjk问题 1 实验题目:0.40960.12340.36780.2943x11.29510.22460.38720.40150.1129x21.1262( 1)0.36450.19200.378
30、10.0643x30.99890.17840.40020.27860.3927x41.2499136.0190.86000x1226.8790.86098.81067.5900x2122.08( 2)067.590132.0146.260x3110.680046.260177.17x4223.4311/ 21/ 31/ 4x125/ 121/ 21/ 31/ 41/ 5x277/ 60( 3)1/ 41/ 51 / 6x357/601/ 31/ 41 / 51/ 61/ 7x4319/42010787x1327565x223( 4)86109x33375910x431实验题目的准确结果:( 1
31、) x(x1, x2 , x3, x4 )T(1,1,1,1)T ;( 2) x(x1, x2 , x3, x4 )T(1,1,1,1)T ;( 3) x(x1, x2 , x3, x4 )T(1,1,1,1)T ;( 4) x(x1, x2 , x3, x4 )T(1,1,1,1)T 。问题 2197305206804x113646.871.347.452.0x211.7( 1)76.410.8802x325.188.61.455.906.1336.5x46.600.53980.71610.55540.2982x10.20580.52570.69240.35650.6255x20.0503(
32、 2)x30.64650.81870.18720.12910.10700.58140.94000.77790.4042x40.18591012x113(3) 1102x213115x37424x12(4) 21710x2254109x315思考题:1.计算实验1、实验 2 的各个题目说明:对什么类型的线性方程组三种方法是一致的2. 用三种方法计算实验 1、实验 2 的各个题目,哪种方法最好试加以说明。3. 综合上述两种结论,总结三种方法的关系,试加以说明。写出实验报告说明1 本课程给出五类实验题目,供学生选用,要求必须完成其中三个实验。2 实验课的目的是为了让学生深入理解和掌握“计算方法”课程的基本内容,同时有助于培养学生的上机调试程序进行数值计算的动手能力
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