4.第18课时 全等三角形(PPT)

1、 考点精讲全等三角形性质判定全等三角形模型全等三角形的对应边_，对应角 _全等三角形的周长_，面积_全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中 位线都相等相等相等相等相等类型类型图形图形判定条件判定条件结论结论一般三一般三角形的角形的判定判定A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,_SSSA1B1=A2B2,B1=B2,_SASB1C1B2C2B1C1B2C2类型类型图形图形判定条件判定条件结论结论一般三一般三角形的角形的判定判定A1=A2,_,B1=B2ASAA1=A2,B1=B2,_或或_AASA1B1A2B2A1C1A2C2B1C1B2C2类型类型图形图形判定条件判定条件结论结论直角三直角

2、三角形的角形的判定判定A1B1=A2B2,_HLA1C1A2C2平移型：常用线段和相等或平行线产生的角相等旋转+平移型翻折轴对称型：图形沿某一条直线对称，且这条直线两边 的部分能完全重合，重合的顶点就是三角形的对应点旋转型：可看成由三角形某一个顶点为中心旋转构成的， 故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角中，或 某些角的和或差中三垂直型：常用到同角的余角相等 重难点突破 构造全等三角形的常用方法（难点）方法一 依托相等线段构造全等三角形类型一以已知的相等线段为依托构造全等三角形（难点）例1 如图，ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，连接DE交BC于点F，且DFEF,求证

3、：BD=CE.【思维教练】以DF=EF为依托，过点D作DGAE交BC于点G，易证CEF GDF，这样就把CE转移到了DG的位置，从而得证.同样的，也可以过点E作AB的平行线构造全等三角形，原理一致，自己可以尝试一下.自主作答：例1题图证明：如解图，过点D作DGAE，交BC于点G，则CEFGDF，在CEF和GDF中， ，CEFGDFEFDFEFCDFG GDF CEF(ASA)，DGEC，ABAC，BACB，DGAE，DGBACB，DBGDGB，DGBD，BDCE.例1题解图类型二 以求证的相等线段为依托构造全等三角形例2如图，ADBC，AE、BE分别是DAB、ABC的平分线，求证：DE=CE.

4、【思维教练】以求证的DE=CE为依托，即假设DE=CE，ADBC，延长AE、BC交于点G，易证ADE GCE，从而把AE、BE分别平分DAB、ABC联系起来了.自主作答：例2题图证明：如解图，分别延长AE，BC交于点G，ADBC，DABABC180，DAEEGC，AE平分DAB，BAEEAD DABEGC，ABBG，BE平分ABC，ABEEBC ABC，1212BAEABE (DABABC)90，AEB90，在等腰ABG中，AEEG，在ADE和GCE中， ，ADE GCE(ASA)，DECE.例2题解图12DAECGEAEGEAEDGEC 方法二 依托中线（倍长中线法）构造全等三角形例3如图，

5、在ABC中，BD是边AC的中线，DBBC于点B，ABC=120，求证：AB=2BC.【思维教练】把中线BD延长一倍到点E，连接AE，则易证ADE CDB，这样BC就转移到了与AB同在一个含有30角的直角三角形中.自主作答：例3题图证明：如解图，延长BD到点E，使DEDB，连接AE.BD是AC的中线，ADCD，又ADECDB，DEDB，ADE CDB(SAS)，AECB，AEDCBD90，ABC120，BDBC，ABD30，AB2AE2BC.例3题解图练习1如图，在ABC中，BD是AC边上的中线，点E是BD上一点，延长AE交BC于点F，且BF=EF，求证：BC=AE.练习1题图证明：如解图，延长

6、BD至点M，使得MDBD，连接AM.BD是AC边上的中线，ADDC，在MDA和DBC中， ，ADCDADMCDBDMDB MDA BDC(SAS)MDBC，AMCB，FBFE，CBMBEF，而BEFAEM，MAEM，AMAE.BCAE.练习1题解图方法三 依托角平分线构造全等三角形类型一在角两边截取相等线段例4如图，BCAB，BD平分ABC且AD=DC，求证：A+C=180.【思维教练】在边BC上截取BE=AB，连接DE，易证ABD EBD，这样AD就转移到了DE的位置，A与C也就建立了联系.自主作答：例4题图证明：如解图，在BC上截取BEBA，BD平分ABC，ABDEBD，在ABD和EBD中

7、， ，BABEABDEBDBDBD 例4题解图ABD EBD(SAS)，A1，DADE，又ADDC，DEDC，C2，12180，AC180.类型二 延长角平分线的垂线例5如图，AC=BC，C=90，AD是CAB的平分线并交BC于点D，作BEAD的延长线于点E，求证：AD=2BE.【思维教练】延长BE交AC的延长线于点F，易证ACD BCF，这样就将证明AD=2BE转化为证明AD=BF，也建立起AC=BC与C=90的联系.自主作答：例5题图证明：如解图，延长BE，AC交于点F，AD平分BAC，BEEA，BEEF BF，在ACD与BED中，ADCBDE，ACBAEB90，CADCBF，12例5题解

8、图在ACD和BCF中， ，ACD BCF(ASA)，ADBF，ADBF2BE.ACDBCFACBCCADCBF 方法四 依托相等线段和角平分线构造全等三角形例6如图，CD平分ACB，AD=DB，求证：AC=BC.【思维教练】过点D作DEAC于点E，DFBC于点F，易证ADE BDF，这样，角平分线CD与AD=DB就建立了联系.自主作答：例6题图证明：如解图，过点D作DEAC于点E，DFBC于点F，CD平分ACB，DEAC，DFBC，DEDF，在RtADE和RtBDF中， ，DEDFADDB ADE BDF(HL)，AEBF，同理DEC DFC，ECFC，AEBCBFEC，即ACBC.例6题解图

9、例7 如图，BD平分ABC，A+C=180，求证：DC=DA.【思维教练】过点D作DEBA的延长线于点E，作DFBC于点F，易证ADE CDF，这样，A与C就建立了联系.自主作答：例7题图证明：如解图，过点D作DFBC于点F，作DEBA的延长线交于点E，EDFC90，BADC180，BADEAD180，EADC，又BD平分ABC，DEBE，DFBC，例7题解图DEDF，在DEA和DFC中， ，DEA DFC(AAS)，DADC.EADCAEDCFDDEDF 方法五依托旋转（有公共端点的相等线段时）构造全等三角形例8如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，点P是ABC内一点，且PA=6，PB

10、=2，PC=4，求BPC的度数.【思维教练】将ACP绕点C逆时针旋转90得到BCQ,连接PQ，从而建立起ACB=90、AC=BC与PA=6、PB=2、PC=4之间的联系.自主作答：例8题图解：如解图，将ACP绕C点逆时针旋转90得到BCQ，连接PQ，由旋转的性质可知：ACP BCQ，CQCP4，BQPA6，QCBPCA，又PCBPCA90，PCQQCBPCBPCBPCA90，PQ2CQ2CP232，且QPC45，例8题解图在BPQ中，PB2PQ243236BQ2，QPB90，BPCQPBQPC135.例9如图，四边形ABCD中，AB=AD,BAD=BCD=90，连接AC.当AC=6时，求四边形ABCD的面积.【思维教练】通过作辅助线构造出ABM和ADN并证明ABM ADN，得到AM=AN，ABM与ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题.自主作答：例9题图解：如解图，作AMBC、ANCD，交CD的延长线于点N.BADBCD90 ，四边形AMCN为矩形