定积分的概念教学设计

1、教学课题课标要求认知层次知识点知识点 1定积分的概念和表示知识点 2定积分的几何意义知识点 3定积分的求法和基本性质选修 2-2 第一章 1.5.3 定积分的概念一、知识与技能：1通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分3理解掌握定积分的几何意义；二、过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。三、情感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。识记理解应用综合1. 定积分的概念目标设计2.定积分法求简单的定积

2、分3. 定积分的几何意义情境一： 从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过 “分割、 近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限S limnfn1nlimn 1i ? x limfiS lim v i ? tvix 0 i 1ni 1 nt 0 i 1ni 1 n事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限。那能否用一个统一的概念将它们都涵盖呢？定积分的概念： 一般地，设函数f (x) 在区间 a, b 上连续，用分点 ax0 x1x2. xi 1xi. xn b将区间 a, b 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为x （ xb a），

3、在每个小区间xi 1 , xi上取一点ni i 1,2,L ,n，作和 Snf (i) xnb a f() 如果 x 无限接近于0 （亦即 n）时，上述和式S无限趋近nini 1i 1n为函数 f ( x) 在区间 a,b 上的定积分。记为b（其中 a ，于常数S，那么称该常数SS( )b分别叫做f xdxa积分上限和积分下限， a, b 为积分区间，f ( x) 成为被积函数，x 叫做积分变量，f ( x) dx 叫做被积式） 。问题 1：定积分主要取决于哪些因素？（被积函数与积分上、下限 ）ab f (x)dx 与bb问题 2：定积分的大小与积分变量所用字母有无关系？即f (t) dt 、

4、f (u) du 是何关系？aa（三者相等 ）nf ( i )x ？（不是，应该是当 n问题 3：定积分是不是等于时该式子的极限，是一个确定常数）i1问题 4：“函数 f ( x) 在区间 a,b 上连续”是否可以去掉？为什么？（不可以。因为它是定积分存在的保证。实际上，函数连续是定积分存在的充分不必要条件）问题 5：被积式 f (x)dx 表示的是不是 f ( x) 和 dx 的乘积，定积分的表示符号能否分割开？（不是。定积分的表示符号是一个不可分割的整体）情境二：定积分的几何意义：f ( x) 连续且恒有 f ( x) 0 。那么定积分b从几何上看，如果在区间a,b 上的函数f ( x)d

5、x 表示由直线ax a , x b （ a b ）， y 0 和曲线 yf (x) 所围成的曲边梯形的面积。仔细研读定积分的几何意义，回答右面的问题问题 1：若在区间 a,b 上，函数 f ( x) 0 时，曲边梯形落在x 轴的下方，此时bf (x)dx 还等于曲边梯形的面积吗？( 不等于。应该是其面积的相反数，即yabbaoxf (x)dxS)a问题 2：当 f ( x) 在区间 a,b 上有正有负时，定积分表示的应该是什么？（表示介于 x 轴，函数 f ( x) 的图像及直线 x a, x b(ab) 之间各部分面积的代数和。（在 x 轴上方的取正，在 x 轴下方的取负） ）ybbb问题

6、3：f ( x)dx, f ( x) dx 与f (x)dx 在几何意义上是否相同？A 3aaaA1情境三：学生探究：a O A 2A 4 bx由定积分的定义及几何意义，你能否总结出求定积分的方法步骤？nba分割： n 等分区间a, b ；近似代替：取点ixi 1 , xi；求和：i 1nf ( i ) ；bnb alim f取极限： f(xdx)ianni 113 dx 的值。 （参考公式： 132333.n31 n2 ( n 1)2 ）例 1：利用定积分的定义，计算x04例 2：说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：121（ 1） 2dx ；（ 2）(3x2)dx ；（

7、3）1 x2 dx011【课堂练习】：利用定积分的定义求由y0, yx, x2 围成的平面区域的面积。情境四：再探究：通过对例题的研究，试着自己得出定积分的基本性质bkb性质 1：kf ( x)dxf ( x) dx （其中 k 是不为0 的常数）aabf2 (x)dxbf1 (x)dxb性质 2： f1( x)af2( x)dxaa（以上两性质为定积分的线性性质）性质 3：bcbf ( x )dxf ( x) dxf ( x)dx（ac b）a）（定积分对积分区间的可加性ac例 3：利用定积分的性质求下列定积分：39 x 23 ) （ 2）已知 f (x)x, x 0,2)（ 1）(x2,3

8、) ，求 f ( x) 在 0,5 上的定积分。34x,x5x,x3,522变式练习 ：求直线 yx 2 和曲线 y 2x 所围成的平面区域的面积。思考？如何求奇、偶函数在区间a, a 上的定积分？习题设计：1.由 y=sinx, x=0,x=,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是（知识点 1，易）2b2.定积分f ( x) dx 的大小（）（知识点 1，易 ）aA 与 f (x) 和积分区间 a,b 有关，与i 的取法无关B 与 f(x)有关，与区间a,b 及 i 的取法无关C与 f(x) 和i 的取法有关，与积分区间a,b 无关 D 与 f(x)、区间 a,b 和i 的取法都有关b3.定积分cdx （ c 为常数）的几何意义是（知识点2，易 ）a4.下列等式成立的个数是（）（ 知识点 3，中 ）112 sin xdxsin xdxsin xd