年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学理科答案与解析参考版

1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试( 湖南卷 )数学理科一.选择题 .1.【答案】 B【解析】由题可得z iiz i zi z 1 ii zi11 i ,故选 B.z1i22【考点定位】复数2.【答案】 D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样 ,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即 p1p2p3 ,故选 D.【考点定位】抽样调查3.【答案】 C【解析】分别令 x1 和 x1 可得 f1g 13 且 f 1 g 1 1f1g 13f 12f 1 g 1 1 ,则1g 11g 1f 1 g 1 1 ,故选 C.f1【考点定位】奇偶性4.【答案】 A1n5 n【解析】

2、第 n1项展开式为 C5nx2 y,2n 1n12则 n2时 ,x5 n10x320x2y3,故选 A.C5 22 y22 y【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当xy 时 ,两边乘以1可得xy,所以命题p 为真命题,当x1, y2时,因为 x2y2 ,所以命题q 为假命题,所以为真命题,故选C.【考点定位】命题真假逻辑连接词6.【答案】D【解析】当t2, 0时 ,运行程序如下, t2t 211,9 ,St32,6,当 t0,2时, S t 33, 1 ,则S2,63, 13,6 ,故选 D.【考点定位】程序框图二次函数7.【答案】 B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径

3、为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则 8r6r8262r2 ,故选B.【考点定位】三视图内切圆球8.【答案】 Dx ,则有121p 1qx1p 1q 1,【解析】设两年的平均增长率为x故选 D.【考点定位】实际应用题9.【答案】 A【解析】函数fx的对称轴为 x2kx2k,232因为sin xdx0coscos0sin0 ,330所以2k42k,则 x5是其中一条对称轴,故选 A.3或63【考点定位】三角函数图像辅助角公式10.【答案】 Bx0,0满足 x02ex012lnx0a【解析】由题可得存在x02ex0lnx0a10,当 x0取决于负无穷小时, ex0lnx0a1趋近于, 因212为

4、 函 数 y exlnx a在定义域内是单调递增的,所 以2e0l n 0a10l nal nea,故选e B.2【考点定位】指对数函数方程二.填空题 .11.【答案】sin242【解析】曲线 C 的普通方程为22x2y1,yx b ,1 设直线 l 的方程为因为弦长AB2,所以圆心2,1到 直 线 l的 距 离 d0 , 所 以 圆 心 在 直 线 l上 , 故y x1sincos1sin2,故填 sin224.42【考点定位】极坐标参数方程12.【答案】32【解析】设线段 AO 交 BC 于点 D 延长 AO 交圆与另外一点E,则 BD DC2,由三角形ABD 的勾股定理可得AD 1 ,由

5、双割线定理可得BD DC AD DEDE2 ,则直径AE 3r33,故填 .22【考点定位】勾股定理双割线定理13.【答案】35 a 23【解析】由题可得3a3 ,故填3 .1 a 2 33【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2【解析】求出约束条件中三条直线的交点为k, k ,4k ,k,2,2 ,且 y x, xy 4 的可行域如图 ,所以 k2 ,则当 k, k为最优解时 , 3k6 k2 , 当4 k ,k为最优解时, 2 4 k k6 k 14 ,因为 k2,k2,故填2.所以【考点定位】线性规划15.【答案】21a , a , Faa2paa【解析】由题可得Cb,b , 则2 pa

6、2 1,故填22b2bb221.【考点定位】抛物线16.【答案】23【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为3cos,sin0,2,则2282 cos3sinOAOBOD3 cossin3, 因 为1c o s3 s i n2,所以OA OB OD的最大值为12 23,故填2 3.的最大值为【考点定位】参数方程圆 三角函数17.某企业甲 ,乙两个研发小组 ,他们研发新产品成功的概率分别为2 和 3,现安排甲组研发新产品 A ,乙组研发新产品 B .设甲 ,乙两组的研发是相互独立的 .35(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品 A 研发成功 ,预计企业可获得120 万

7、元 ,若新产品 B 研发成功 ,预计企业可获得利润 100 万元 ,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.17.【答案】 (1)13(2)详见解析15A 且事件 B 为事件 A 的对立事件 ,则事【解析】 (1)解 : 设至少有一组研发成功的事件为事件件 B 为一种新产品都没有成功,因为甲 ,乙成功的概率分别为2 , 3,35则 P B121 31 22,再根据对立事件概率之间的公式可得353515P A1313.1 P B,所以至少一种产品研发成功的概率为1515(2) 由题可得设该企业可获得利润为, 则 的取值有 0 , 120 0 , 100 0 , 120 100 , 即0,120,1

8、00,220 ,由独立试验的概率计算公式可得:P01232120213415; P35;31515P1001231; P220232;355355所以 的分布列如下 :0120100220P2412151555则数学期望 E 0212041001220 232 20 88130 .151555【考点定位】分布列期望 独立试验的概率18.如图 5,在平面四边形ABCD 中 , AD1, CD 2, AC7 .(1)求 cosCAD 的值 ;(2)若 cosBAD7, sinCBA21,求BC的长.14618.【答案】 (1) cosCAD27(2)677【解析】解 :(1)由DAC 关于CAD

9、的余弦定理可得cosCADAD 2AC 2DC 2174 27,所以 cos2 72AD AC2177CAD.7(2)因为BAD 为四边形内角 ,所以 sinBAD0 且 sinCAD 0 ,则由正余弦的关系可得sinBAD1cos2BAD189且 sinCAD1cos2CAD21,再有正147弦的和差角公式可得sinBACsinBADCADsinBAD cosCADsinCAD cosBAD189272173333ABC 的正弦定理可得,再由1477147147ACBC736sin CBABC217.sin BAC76【考点定位】正余弦定理正余弦之间的关系与和差角公式19.如图 6,四棱柱A

10、BCD A BCD的所有棱长都相等 , ACBD O, AC1B D1O,1111111四边形 ACC1 A1 和四边形 BDD1B1 为矩形 .(1)证明 : O1O底面 ABCD ;(2)若CBA600 ,求二面角 C1OB1D 的余弦值 .25719.【答案】 (1) 详见解析 (2)19【解析】 (1)证明 : 四棱柱 ABCD A BCD的所有棱长都相等1111四边形 ABCD 和四边形 A1 B1C1D1 均为菱形AC BD O, AC11 B1D1O1O,O1 分别为 BD,B1 D1 中点四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 为矩形OO1 / / CC1 /BB1 且

11、CC1AC, BB1BDOO1BD,OO1AC又ACBDO 且AC,BD底面ABCDOO1底面ABCD.(2)过 O 作 BO 的垂线交BO 于点 E ,连接 EO ,EC .不妨设四棱柱ABCDA B C D 的边111111111长为 2a .OO1底面 ABCD 且底面 ABCD / / 面 A1B1C1D1OO1面 A1 B1C1 D1又 O1C1 面 A1B1C1D1OC1OO11四边形 A1B1C1 D1 为菱形O1C1O1 B1又OCOO且OOOCO ,OO,OB面OBD11111111111O1C1面 OB1 D又B1O面 OB1DB OOC111又 BO1O1E 且 O1C1

12、O1 E O1 , O1C1,O1 E 面 O1 EC1B1O面 O1 EC1O1EC1 为二面角 C1OB1 D 的平面角 ,则 cosO1EC1O1 EEC1CBA600且四边形 ABCD 为菱形O1C1a , BO13a, OO1 2a, B1OB1O12OO127a ,1则 O EB O sinO B OB OO1O3a 2a2 21 a11 11 111B1O7a7O1 EC1 的勾股定理可得EC1O1 E2212a2a219再由O1C17a ,7O1E221 a2 57257则 cosO1 EC17,所以二面角 C1OB1EC11919D 的余弦值为.19a7【考点定位】线面垂直二

13、面角20.已知数列 an满足 a1 1, an 1anpn , n N * .(1)若 an为递增数列 ,且 a1 ,2 a2 ,3a3 成等差数列 ,求 P 的值 ;(2)若 p1a2n 1是递增数列 ,a2n是递减数列 ,求数列 an 的通项公式 .,且241, n为奇数20.【答案】 (1)1(2) an33 2n 1p413, n为偶数33 2n 1【解析 】 解:(1)因 为数 列an为 递增 数列 ,所 以an 1an0 ,则an1anpnan 1anpn,分别令n1,2可得a2a,1p23a212pa,a3p2 pp 1 , 因为 a1 , 2a2 , 3a3成等差数列, 所以4

14、a2a1 3a 34 1 p 1 3 p2p 13 p2p 0p1或 0,3当 p0 时 ,数列 an 为常数数列不符合数列a1是递增数列 ,所以 p.n3(2) 由题可得an 1an1a2na2 n11, a2n2a2n111 ,因为a2n1是递n22 n122n2增数列且a2 n是递减数列,所 以 a2n1 a n2且 a2n 2a2n ,则 有a2na n22a2n1 a n 2 a n2 a n1,因为2a2n1 a n221(2) 由题可得an 1an1a2na2 n11, a2n2a2n111 ,因为a2n1是递n22 n122n2增数列且 a2n是递减数列 , 所以 a2n1a2

15、n 10 且 a2 n2a2n0a2n2a2n0 ,两不等式相加可得a2 n 1a2n1a2n2a2n0a2 na2 n 1a2n2a2n1 ,又 因为a2 na1aa n 21, 所 以a2n a,即n212 n 12 n212n 1n210122a2 na2n 11 ,22n1同理可得 a2n3a2 n 2a2 n 1a2n 且 a2n 3a2n2a2n 1a2 n,所以 a2 n 1a2n,22n则当n 2mmN *时 , a2 a11a211, a2 ma2m 111 个等式相加, a322 , a4 a323 ,2m 1 , 这 2m22可得 a2 ma1111111212322m

16、1222422 m 211111111412 22 m 1 4 2222 m 2 4a2m113 3 22m 133 22m 1 .1144当 n2m 1 时 ,a2a11a21,a4a31, , a2m 1a2 m1, a322232 m ,这 2m22个等式相加可得a2 m 1a1111111212322 m 1222422m111111112 22 m 1 4 2222 m 41133 22m1144a2 m 141当m 0时,a11符合 故a2 m 1413 3 22 m,3 3 22 m 241, n为奇数33 2n1.综上 an14, n为偶数33 2n1【考点定位】叠加法等差数列

17、等比数列: x2y221.如图 7, O 为坐标原点 ,椭圆 C122 1 ab 0 的左右焦点分别为 F1, F2,离心率ab: x2y23为 e1 ; 双曲线 C222 1 的左右焦点分别为F3 , F4 , 离心率为 e2 ,已知 e1e2, 且ab2F2F43 1.(1)求 C1,C2 的方程 ;(2) 过 F1 点的不垂直于y 轴的弦 AB , M 为 AB 的中点 ,当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两点时 ,求四边形 APBQ 面积的最小值 .21.【答案】 (1)x2y 21x2y21(2)422【解析】解 :(1) 由题可得 e11b2,e21b2,且 F1F22a2b

18、2,因为 e1e23,a2a22且F2 F4a2b2a2b2,所以1 b21 b23且a2a22a22a2231a2b 且 b 1,ax2y21,bb2 ,所以椭圆 C1 方程为2双曲线 C2 的方程为 x2y21.2(2)由(1)F21,0,不垂直于y,AB 的方程为xny1 ,联可得因为直线 AB轴 所以设直线立直线与椭圆方程可得n22y22ny10 ,则 yAyB2n2,则 ymn2n,因为n22M xM , yM在直线 AB,xMn212,AB为焦点弦,所以根据焦点上 所以因为n22n22弦弦长公式可得AB2e1xM2222n2242 n21n222n2,则直线 PQ 的方程2为yyM

19、 xyn x ,联立直线PQ与双曲线可得xM222n2x2n x2 0x2482 ,y22 则 4 n202 n 2 , 所以 P,Q2n4 n82 ,2n2,82n22 ,则点 P,Q 到直线 AB 的距离为的坐标为4n4 n24n2,n4n2n281n2n2814 n24 n24 n24 n2d1,d2,因为点 P,Q 在直线 ABn21n212n2n22822 n224n24n24 n2的 两 端所 以 d1d2,则四 边形 APBQ 面积n21n21S 1 AB d1 d22n21851, 因为4 4n20,所以当 n24 n2 时 , 四边形 APBQ8n2n244面积取得最小值为4 .【考点定位】弦长双曲线椭圆 最值22.已知常数 a 0,函数 fxln 1ax2 xx.2(1)讨论 fx 在区间 0,上的单调性 ;(2)若 fx 存在两个极值点x1, x2 ,且 fx1fx2 0 ,求 a 的取值范围 .【答案】 (1)详见解析【解析】解 :(1)对函数fx 求导可得a4a x 22ax24 1 af '4 1 axx222,因为1 axx 21 ax x 21 ax x 21201 时 , f' x0fx 在a xx21 a0 时 , 即 a恒成立 ,则函数, 所