平面向量及运算复习

1、平面向量 复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：（1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如已知 A （1,2），B （ 4,2），则把向量AB 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0 ）（2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向是任意的；（3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是AB )；|AB|（4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫

2、共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 0 ) ；三点 A、B、C 共线AB、AC 共线；（6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。如下列命题：（ 1）若 ab ，则 a b 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若 ABDC ，则 ABCD是平行四边形。 （4）若 ABCD

3、是平行四边形，则AB DC 。（ 5）若 a b,b c ，则 ac 。（ 6）若 a / b,b / c ，则 a / c 。其中正确的是 _ （答：（4）（5）2、向量的表示方法：（ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （ 2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 a xiy jx, y ，称x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向

4、量的坐标与向量的终点坐标相同。3. 平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2 ，使 a= 1 e12 e2。如（ 1）若 a(1,1),b(1,1),c(1,2) ，则 c13b ）；（ 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. e1(0,0), e2(1, 2)_（答： a22B.e1 (1,2), e2 (5,7)C. e1 (3,5), e2(6,10)D. e1(2, 3), e2 ( 1 ,3)（答： B ）；（ 3）已知 AD ,BE 分别是ABC 的24边 BC, AC 上的中线 ,且

5、ADa, BE b ,则 BC 可用向量 a,b 表示为 _（答： 2a4b ）；（ 4）已知ABC 中，点 D 在 BC 边上，33且 CD2DB，CDr ABs AC ，则 rs 的值是 _（答： 0）4、实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下： 1aa , 2 当>0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当<0 时，a 的方向与 a 的方向相反，当 0 时，a0 ，注意：a 0。5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角 ：对于非零向量a ， b ，作 OAa,OBb ，AOB0称为向量 a ， b 的夹角，当 0 时， a ， b

6、同向，当时， a ， b 反向，当时， a ， b 垂直。2（2）平面向量的数量积 ：如果两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量 | a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积），记作： ab ，即 ab a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）ABC中， |AB| 3， |AC|4，|BC|5，则 ABBC_ （ 答 ： 9）；（2）已知11， 与的夹角为，则 k 等于 _（答：1）；（3）已知 a2, b5, a b3 ，则 aba(1,),b(0,), cakb ,dabdc422等于 _（答：23

7、 ）；（ 4）已知 a, b 是两个非零向量，且abab ，则 a与a b 的夹角为 _（答： 30）（3） b 在 a 上的投影 为 | b |cos，它是一个实数，但不一定大于0。 如已知 | a |3 ， | b |5 ，且 a b 12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _（答：12）5（4） ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。（5）向量数量积的性质 ：设两个非零向量a ， b ，其夹角为，则： abab0 ；当 a ， b 同向时， a2aa2, aa2b a b ；当b a b ，特别地， aa；当 a 与 b 反向时，

8、a为锐角时， ab 0，且 a、b 不同向， ab0 是 为锐角的必要非充分条件；当为钝角时， ab 0，且 a、b 不反向， a b0是为钝角的必要非充分条件；非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cosa b； | ab | | a | b | 。 如（ 1）已知 a(,2) ， b(3,2) ，如果 aa b与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是 _（答：40且1OFQ 的面积为 S ，且 OF FQ1，或）；（2）已知33若 1S3，则OF,FQ夹角的取值范围是 _（答： (,) ）；（ 3）已知 a(cos x,sin x), b(cos y,sin y), a 与 b2243之间有

9、关系式kab3 a kb ,其中 k0 ，用 k 表示 ab ；求 a b 的最小值，并求此时a 与 b 的夹角的大小（答： abk 21 (k0) ；最小值为1 ，60）4k26、向量的运算 ：（1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ABa, BCb ，那么向量AC 叫做 a 与 b 的和，即 abABBCAC ；向量的减法：用“三角形法则” ：设 ABa, AC b,那么 a bABACCA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简： ABB

10、CCD_； ABADDC_ ； (ABCD ) (AC BD)_（答： AD ； CB ； 0 ）；（ 2）若正方形ABCD 的边长为 1， ABa, BCb, ACc ，则 | ab c | _（答： 22 ）；（3）若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足OBOCOB OC2OA，则ABC 的形状为 _ （答：直角三角形） ；（ 4）若 D 为ABC 的边 BC 的中点，ABC 所在平面内有一点P ，满足 PA BPCP0 ，设|AP|，则 的值为 _（答： 2）；（ 5）若点 O 是 ABC 的外心，且 OA OBCO0 ，则 ABC 的内角 C 为_（答： 120）；|PD|（2）坐

11、标运算 ：设 a( x1 , y1 ), b(x2 , y2 ) ，则：向量的加减法运算 ： ab( x1x2 ， y1y2 )。如（ 1）已知点A(2,3), B(5,4) ， C(7,10) ，若 APABAC (R) ，则当_时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（答：1 ）；（ 2）已知A(2,3), B(1,4), 且 1 AB(sin x,cos y) ， x, y(,) ，2222则 xy（答：或2）；（ 3）已知作用在点 A(1,1)的三个力 F1 (3,4), F2(2, 5),F3(3,1) ，则合力 FF1F2F36的终点坐标是（答：（9,1）实数与向量的积 ：ax1 ,

12、 y1x1 ,y1。若 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 ABx 2x1 ,y2y 1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 A(2,3), B( 1,5) ，且AC111),(7,9) ）；AB，AD3 AB ，则 C、D 的坐标分别是 _（答： (1,33平面向量数量积 ： abx1x2y1 y2 。如已知向量 a （ sinx， cosx） ,b （ sinx， sinx） ,c （ 1， 0）。（1）若 x ，3求向量 a 、 c 的夹角；（2）若 x 3, ，函数 f (x)a b 的最大值为1，求的值（答：(1)150 ;(2

13、)1 或21）；8422向量的模 ：| a |x2y2, a2| a |2x2y2。如 已知 a, b 均为单位向量， 它们的夹角为60 ，那么 | a3b | _（答：13 ）；两点间的距离 ：若 A x1, y1 , Bx2 , y2，则|AB|x2x12y12xOy 中，y2。如如图，在平面斜坐标系xOy60 ，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OPxe1ye2 ，其中 e1 ,e2分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为 ( x, y) 。（1）若点 P的斜坐标为 （2，2），求 P 到 O的距离 PO；（2）求以 O 为圆心， 1 为半径的圆在斜

14、坐标系 xOy 中的方程。（答：（1） 2；（ 2）x2y 2xy1 0）；7、向量的运算律：（1） 交 换 律 ： abb a，aa ， a bba； (2)结合律：a b ca b , c a b c ab c a ba bab；（3）分配律：，aaa,abab ， a b ca c b c 。 如下列命题中：a ( bc )a ba c ；a ( b c) ( a b ) c ； (a b)2 | a |2222a bb2| a | | b | | b | ； 若 a b0 ， 则 a0 或 b0 ； 若 a bc b, 则 ac ； aa； 2；aa22b)222a b2 (a b)

15、2 ab ； (aab。其中正确的是 _（答：）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除( 相约 ) ；（2）向量的“乘法”不满足结合律 ，即 a(b c)(a b)c ，为什么？8、向量平行 ( 共线 ) 的充要条件 ：a / bab(ab)2(| a |b |)2x1 y2y1 x2 0。如 (1)若向量 a( x,1), b(4, x) ，当x_时a与b共线且方向相同 （答： 2）；（ 2）已知a(1,1),b (4,

16、 x)，u a2b，v 2ab，且u / v，则 x_（答：4）；（ 3）设 PA( k,12), PB(4,5), PC(10,k ) ，则 k_时， A,B,C 共线（答： 2 或 11）9、向量垂直的充要条件：aba b 0| a b | | a b |x1 x2 y1 y20.特别地(ABAC)(ABAC(1,2), OB(3, m) ，若 OAOB ，则 m3 ）；（ 2）以原点ABACAB) 。如 (1) 已知 OA（答：AC2O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，B90，则点 B 的坐标是 _ （答： (1,3)或（3， 1）；（ 3）已知 n(a,b), 向

17、量 nm ，且 nm ，则 m 的坐标是 _ （答： ( b,a) 或( b, a) ）10. 线段的定比分点 ：（ 1）定比分点的概念 ：设点 P 是直线 P 1 P2上异于 P1、P2的任意一点，若存在一个实数，使1PP2，则叫做点 P 分有PP向线段 PP12所成的比， P 点叫做有向线段 PP12的以定比为的定比分点；（ 2）的符号与分点 P 的位置之间的关系：当 P 点在线段P1P2上时>0；当 P 点在线段P 1 P 2 的延长线上时<1；当 P 点在线段 P 2 P 1 的延长线上时10 ；若点 P 分有向线段 PP 所成的比为，则点 P 分有向线段 P P所成的比为

18、1 。1221如若点 P 分 AB 所成的比为3 ，则 A分 BP 所成的比为 _（答：7）43xx1x21（ 3）线段的定比分点公式：设 P1 (x1, y1 ) 、 P2 (x2 , y2 ) ， P(x, y) 分有向线段 PP 所成的比为，则，特别地，12y1y2y1xx1x22应明确 ( x, y) ， ( x , y ) 、 ( x , y) 的意义，当 1 时，就得到线段 P 1P2的中点公式yy。在使用定比分点的坐标公式时，21122y12即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（ 1）若 M （-3

19、，-2）， N（ 6，-1），且 MP1MN，则点P的坐标为_（答：7）；（ ）已知 A( a,0),B(3,2a) ，直3(6, )23线 y12MB ，则 a 等于 _（答：或）ax 与线段 AB 交于 M ，且 AM211. 平移公式 ：如果点 P( x, y) 按向量 ah, k 平移至 P( x , y ) ，则 xxh ；曲线 f ( x, y) 0 按向量 ah, k平移得yyk曲线 f (x h, y k)0 .注意：（ 1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（ 1）按向量 a 把 (2,3) 平移到 (1,2) ，则按向量

20、a 把点 (7,2) 平移到点 _（答：（，）；（ 2）函数 ysin 2 x 的图象按向量 a 平移后，所得函数的解析式是ycos 2x 1，则 a _（答： (,1) ）412、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） | a | b | | a b | a | | b |，特别地，当a、b 同向或有0| ab | a | b | a | | b | | a b | ； 当 a、b 反 向 或 有 0| ab | | a |b| a| b |a| | b； 当 a、b 不 共 线| a| | b |a| | ba|( 这些和实数比较类似 ).

21、| b（ 3）在ABC 中，若 Ax1, y1, Bx2 , y2 , Cx3 , y3 ，则其重心的坐标为G x1x2x3 , y1y2 y3 。 如若 ABC33的三边的中点分别为（2，1）、（-3 ，4）、（-1 ，-1 ），则 ABC的重心的坐标为 _ （答： (2,4) ）；33 PG1(PAPBPC )G 为ABC 的重心，特别地 PAPBPC0P 为ABC 的重心；3PA PBPB PCPC PAP 为ABC 的垂心；向量(ABAC)(0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分线所在直线) ；|AB|AC|AB|PC |BC |PA|CA | PB0PABC 的内心；

22、（3）若 P分有向线段PP所成的比为，点 M 为平面内的任一点，则MP1MP2，特别地P为 PP 的中点12MP11 2MP1MP2 ；MP2（4）向量 PA、PB、PC 中三终点A、 B、 C 共线存在实数、使得 PAPBPC 且1 .如平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1), B( 1,3) ,若点 C 满足 OC1 OA2 OB ,其中1, 2R且121,则点 C 的轨迹是 _（答：直线AB）平面向量常见题型1、( 向量的概念 ) 下列命题中 ,正确的是 ()A. 若 ab , 则 a 与 b 的方向相同或相反B.若 ab , b c ,则 acC.若两个单位向量互相平

23、行,则这两个单位向量相等D.若 a = b , b = c ,则 a = c解析：答案为 .D 。由于零向量的方向是任意的,取 a = 0 , 则对于任意向量 b ,都有 ab , 知 A 错 ;取 b = 0 ,则对于任意向量a,c 都有ab , bc ,但得不到 ac ,知 B错;两个单位向量互相平行 ,方向可能相反 , 知 C 错;由两向量相等的概念知D正确.2、( 线性表示 )0,A,B,C满足 OB12)已知平面内不共线的四点OAOC ,则| AB |:|BC | (33A.3:1B.1:3C.2:1D.1:2解析：答案为 C。 OB12OBOA2(OC OB) ,得 AB2BC ,

24、得 | AB |:| BC |2OAOC3b3bb3、( 坐标运算 )已知向量 a= (1,3),=(3, n ),若2 a共线 ,则实数 n 的值是 () 与A. 6B. 9C.323D323解析：答案为 B。 2a b(1,6n) , 2a b 与 b 共线 , ( 1)n 3(6n)0 ,得 n9 .4、(坐标运算 )若函数 f ( x)cos2 x1 的图象按向量 a 平移后 ,得到的图象关于原点对称,则向量 a 可以是 ()A.( ,1)B.( ,1)C. (,1)D. (0,1)424解析：答案为 A设 a(m, n) ,则平移后得 yncos2( x m)1 ,即 ycos(2

25、x2m)1 n为奇函数 , 2m2, 1n0 ,得 a (,1).45、(基本定理 )如图 ,在 AOB 中 ,点 P 在直线 AB 上,APR) ,求 | PA|的值.且满足 OP2tPAtOB (t| PB|OB解析： PAOAOP , OP2t(OAOP )tOB ,得 OP2tOAtOB .12t12t而 P、 A 、B 三点共线 ,2tt1,解得 t1,2t12t1 OP2PAOB ,得 OPOB2PA ,即 BP| PA|12PA ,有.|PB |26、(易 向量不等式 )设 a, b 是非零向量 ,则下列不等式中 不恒成立 的是 ()A. a ba bB. ab a bC. a

26、ba bD. aa b解析： D 由ababab 知 A 、 B、C 恒成立 ,取 ab0 ,则 D 不成立 .7、 (中坐标运算 )将二次函数yx2的图象按向量a 平移后 , 得到的图象与一次函数y2x 5 的图象只有一个公共点(3,1) ,则向量a ()A. (2,0)B. (2,1)C. (3,0)D. (3,1)解析：答案为 A设 a( h, k) ,即把 yx2的图象按向量 a 平移后得到 yk(xh)2 的图象 (即向右平移 h 个单位 ,再向上平移 k 个单位得到 ).由题意知 1k(3h)2 ,yk( xh) 222(h1)xh2k50 ,由0得 2h k40 ,由2x5, 得

27、 xy由、联立解得h2, k0, a(2,0)8、 ( 线性运算 ) 在平面直角坐标系中, 若 O 为坐标原点, 则 A 、 B 、 C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数, 使得OCOA(1) OB成立 ,此时称实数为“向量 OC 关于 OA 和 OB 的终点共线分解系数 ”若.已知 P1(3,1) 、P2 ( 1,3) ,且向量 OP3与向量 a(1,1) 垂直 ,则“向量 OP3 关于 OP1 和 OP2 的终点共线分解系数”为()A. 3B. 3C. 1D.1解析：答案为 D。 由 OP3与向量 a(1,1)垂直 ,可设 OP3(t,t)(t0) ,由 OP3OP1 (1) O

28、P2 得 (t,t),4t,两式相加得220 ,1 .t9、(中 线性运算 )已知非零向量 e1 , e2 , a , b 满足 a2e1e2 , bke1e2 .(1)若 e1 与 e2 不共线 , a 与 b 是共线 ,求实数 k 的值 ;(2)是否存在实数 k ,使得 a 与b 不共线 , e1 与 e2 是共线？若存在 ,求出 k 的值 , 否则说明理由 .解:(1) 由 ab ,得 2e1 e2ke1e2 , 而 e1 与 e2 不共线 ,k 2k2 ;1(2)若 e1 与 e2 是共线 ,则 e2a(2e1e1 ,有(k,be1 e1 , e2 , a , b 为非零向量 ,且k

29、,112ab ,即 ab ,这时 a 与 b共线 ,2kk不存在实数 k 满足题意 .10、(坐标运算 )已知向量 a = (sin ,cos2sin) , b = (2,1) .(1)若 ab ,求 tan 的值 ;(2)若 ab ,求的值 .4解:(1) 因为 a/ b ,所以 2sincos2sin,于是 4sincos,故 tan1.4(2)由 ab 知, sin 2(cos2sin)25,12sin24sin 25,从而2sin 22(1cos2)4 ,即 sin2cos21. 12sin2cos21,即sin40 , 4k ,即k, 由,得k1 k 4, k Z ,44 k2或 3

30、,即或4.211、 (线性运算、坐标运算)已知0x1,0 y 1,求 Mx2y2x2(1y) 2+(1x)2y2(1x)2(1y)2的最小值 .解:设 A(0,0), B(1,0), C (1,1),D (0,1) , P( x, y) , 则= (AP PC) (BP PD)= AC BD.而 AC(1,1),BD( 1,1),得 ACBD222 2 . M22 ,当 AP 与 PC 同向 , BP 与 PD 同向时取等号 ,设 PCAP, PDBP ,则 1 xx,1 yy,xx,1 yy ,解得1, x y1.12所以 ,当 x y22.时 , M 的最小值为212、(线性运算 )已知 A、 B、C 不在同一直线上 ,若 OAOBOCO, S ABC3,试求