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文档简介

1、工科高数主要知识点回顾第七章空间解析几何与向量代数1.向量运算(数量积,向量积)a(x1 , y1 , z1 ), b( x2 , y2 , z2 ) ,则abx1x2y1 y2 z1z2 a b cosijkabx1y1z1x2y2z22.两个向量垂直、平行的充要条件a / ba b 0x1y1z1x2y2z2a ba b 0x1 x2y1 y2z1 z2 0例如( 2006 填空题 1)3.向量的方向余弦,两向量的夹角余弦公式cosx1, cosy1, cosz1x12y12x12y12z12y12z12z12x12cosa bx1x2y1 y2z1z2a bx12y12z12x22y22

2、z224.关于直线与直线、直线与平面、平面与平面的问题,总是转化为向量与向量的问题例如( 2006 选择题 1)第八章多元函数微分法及其应用1.多元函数的极限(化为一元函数的极限问题)例如( 2005 填空题 4)2.偏导数的定义f x (x0, y0 ) limf ( x0x, y0 )f ( x0 , y0 )lim f ( x, y0 )f ( x0 , y0 )x0xx x0xx0例如( 2005 填空题 1)3.全微分zzdzdxdyxy例如( 2005 填空题 5)4.复合函数的偏导数(链式图)zf (u.v), uu( x, y), vv( x, y)zfufv ,zfufvxu

3、xvxyuyvy例如( 2005 选择题 8)( 2006 解答题 1)5.隐函数的求导(两边对x 求偏导)z FxxFz例如( 2005 填空题 7)( 2006 计算题 2)6.方向导数与梯度梯度 gradf( f x , f y , f z )fcosf ycosf z cos方向导数f xl方向导数的存在条件如果函数f ( x, y) 在点 P 可微分,那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在例如( 2005 选择题 4)7.空间曲线的切线与法平面,空间曲面的切平面与法线空间曲线 x(t ), y(t ), z(t )切向量 T( / (t ),/ (t),/ (t)x x0y y0z

4、z0 , / (t0 )( x x0 )/ (t0 )( y y0 )/ (t 0 )( z z0 ) 0/ (t 0 )/ (t0 )/ (t0 )(其他参数方程形式的情形)空间曲面 F ( x, y, z)0法向量 n( Fx , Fy , Fz )xx0y y0z z0Fx ( x x0 ) Fy ( y y0 ) Fz ( z z0 ) 0,FxFyFz8.多元函数的极值,条件极值(拉格朗日乘数法)极值点可能存在的地方:驻点,不可导点驻点处是否为极值是何种极值的判定:A f xx, Bf xy ,Cf yy(1) ACB20为极值点, A0 为极小值点, A0为极大值点;(2) ACB

5、20 不是极值点 .在约束条件( x, y)0 下求函数 zf ( x, y) 的极值构造拉格朗日函数L( x, y)f ( x, y)( x, y)Lxf xx令偏导等于零 L yf yy(x, y)000 求出可能的极值点,再根据实际问题的性质判断是否为极值点 .例如( 2006 解答题2)第九章重积分1.二重积分的物理意义所占区域为 D 面密度为( x, y) 的平面薄片的质量M( x, y)dD2.二重积分的计算(化为二次积分)(1)直角坐标系下若 D 为 X 型区域, D : axb, 1 ( x)y2 (x) ,则b2 ( x)f (x, y)dxdydxf ( x, y) dyD

6、a1 ( x)若D为Y型区域,D : cyd ,1 ( y)x2 ( y) ,则d2 ( y)f (x, y)dxdydyf ( x, y)dxDc1( y)例如( 2006 选择题2)( 2006 计算题4)(2)极坐标系下若 D : ab, 1( )2( ),则b2 ()f (x, y)ddf (cos ,sin)dDa1 ()例如( 2005 填空题 2)( 2005 选择题 3)3.交换积分次序( 1)根据二次积分写出积分区域表达式( 2)根据积分区域表达式画出积分区域( 3)将需要的区域表达式形式写出来( 4)写出相应的二次积分例如( 2006 填空题 3)( 2006 计算题 3)

7、4.三重积分的计算(化为三次积分)( 1)直角坐标系下先算一重积分后算二重积分若在 xOy 面上的投影为D xy ,上下曲面方程分别为z z2 ( x, y), z z1 (x, y) ,则z2 ( x, y )f ( x, y, z)dvdxdyf ( x, y, z)dzDxyz1 ( x, y)先算二重积分后算一重积分若在 z 轴上的投影为 c1zc2,用垂直于 z 轴的平面截积分区域得D z ,则c2f ( x, y, z)dvdzf ( x, y, z)dxdyc1D z例如( 2005 三)(2)柱面坐标系下若在 xOy 面上的投影 D xy 在极坐标系下为ab,1()2 ( )

8、,上下曲面方程分别为 z z2 ( ,), zz1 (,) ,则b2 ( )z2 (, )f ( x, y, z)dvddcos ,sin, z)dzz1 (f (, )a 1( )( 3)在球面坐标系下xr sincos , ysinsin, zcosf ( x, y, z)dvf (r sincos , r sinsin, r cos )r 2sin drd d5.利用对称性可以简化积分的计算积分区域关于x0 对称,则f 是 x 的奇函数时积分为0,偶函数时积分为半边区域上积分的2 倍;积分区域关于y0 对称,则f 是 y 的奇函数时积分为0,偶函数时积分为半边区域上积分的2 倍;积分区域

9、关于z0 对称,则f 是 z 的奇函数时积分为 0,偶函数时积分为半边区域上积分的2 倍6.重积分的应用(曲面面积)曲面 zf (x, y) 在 xOy 面上的投影为D ,则A1 f x2f y2 dD第十章曲线积分与曲面积分1.曲线积分的计算(化为定积分)对弧长的曲线积分xx(t), yy(t), zz(t ), atbbf ( x, y, z)dsf ( x(t ), y(t), z(t ) ( x / ) 2( y / ) 2( z/ ) 2 dta(参数方程的其他情形)例如( 2005 选择题 5)对坐标的曲线积分xx ( t ),yy ( t ) ,t 从 a 到 bbP( x, y

10、)dxQ(x, y)dy Px/ (t)Qy/ (t ) dtLa(参数方程的其他情形)2.两类曲线积分之间的关系PdxQdyRdz( P cosQ cosR cos )ds其中 cos, cos, cos为曲线切向量的方向余弦3.格林公式,积分与路径无关QP dxdyPdx QdyDxyL其中 L 为 D 的正向边界(外边界逆时针,内边界顺时针)例如( 2005 选择题 6)( 2005 四)( 2006 选择题4)( 2006 解答题 3)4.曲面积分的计算(化为重积分)对面积的曲面积分zz( x, y) ,曲面在 xOy 面上的投影为 D xy ,则f (x, y, z) dSf ( x

11、, y, z( x, y) 1 zx2zy2 dxdyDxy例如( 2005 选择题 7)对坐标的曲面积分R(x, y, z)dxdyR(x, y, z( x, y)dxdy ,曲面取 z 轴正向侧时取正,否则取负D xyP(x, y, z)dydzP(x( y, z), y, z)dydz ,曲面取 x 轴正向侧时取正,否则取负D yzQ(x, y, z)dzdxQ( x, y( z, x), z)dzdx ,曲面取 y 轴正向侧时取正,否则取负D zx例如( 2006 计算题 7)5.两类曲面积分之间的关系PdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosR cos )dS其中 cos,

12、 cos, cos为曲面法向量的方向余弦应用( 1)将对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分再计算;应用( 2)将对不同坐标的曲面积分化为对同种坐标的曲面积分cosP(x, y, z)dydzP(x, y, z) cos dS P( x, y, z) dxdy cosQ (x, y, z)dzdxQ( x, y, z) cosdSQ(x, y, z) cosdxdycos6.高斯公式PQR dvPdydzQdzdxRdxdyxyz其中为的外表面例如( 2005 六)第十一章无穷级数1.收敛级数的基本性质收敛收敛收敛;收敛发散发散若 lim unn0 ,则级数发散2.常用的两个级数(1)几何级数q

13、nn 0当 q 1 时收敛, q 1 发散1(2) p-级数n 1 n p当 p1时收敛,p1时发散例如( 2005 填空题 6)3.正项级数的审敛法比较审敛法的极限形式设 limunl ,则nvn(1)0l时,un 与vn 有相同的敛散性;(2) l0时,v收敛则u 收敛;nn(3) l时,vn 发散则un 发散;例如( 2006 计算题 1)比值审敛法设 limun 1l ,则nun当l1时收敛,当l时发散1根值审敛法设 limn unl ,则n当 l1时收敛,当 l1时发散4.交错级数的审敛法(莱布尼兹审敛法)若交错级数的一般项满足:绝对值单调递减趋于0,则交错级数收敛例如( 2006

14、选择题 5)5.任意项级数收敛的判断(绝对收敛,条件收敛)例如( 2006 选择题 5)6.幂级数的收敛域设 lim an 1,则收敛半径R1n an不能用该定理求收敛半径时,可以考虑用证明本定理的方法例如( 2005 五)( 2006 填空题 5)7.幂级数的和函数,函数的幂级数展开(间接法)逐项求导,逐项积分化为已知和函数的幂级数(注意注明收敛域)例如( 2005 五)( 2006 计算题 6)8.周期为 2的函数的傅立叶展开a0(an cosnx bn sin nx)f ( x)2n 1其中an1f(x) cos,0,1,2,nxdx nbn1f ( x) sin nxdx, n 1,2

15、,9.收敛定理(狄里克雷充分条件)当 x 是 f (x)当 x 时 f (x)的连续点时,傅立叶级数收敛于f (x) ;的间断点时,傅立叶级数收敛于1 f ( x0)f ( x 0)2例如( 2005 填空题 3)第十二章微分方程1.可分离变量的微分方程(两边积分)f ( x)dxg ( y)dy例如( 2005 选择题 1)( 2006 计算题 5)2.齐次方程(换元化为可分离变量的微分方程)dyfy,令yudxxx3.一阶线性微分方程(1)一阶线性齐次微分方程(可分离变量的微分方程)dyp( x) y0dx(2)一阶线性非齐次微分方程(常数变易法)dyp( x) yq(x)dx设相应线性齐

16、次方程通解为y Ce ( x) ,令 yu(x)e ( x) 为线性非齐次方程的解,代入线性非齐次方程,化为关于u(x) 的可分离变量的微分方程,求出通解后代回yu( x)e ( x)例如( 2006 解答题 3)(3)伯努里方程dynp( x) yq( x) y令 zy1 n ,化为关于z 的一阶线性非齐次微分方程,再用常数变易法4.全微分方程P( x, y)dxQ (x, y)dy0解法 1:( 1)判断是否为全微分方程QP ;xy( x, y)(2)积分 u( x, y)P( x, y)dxQ ( x, y)dy(x0 , y0 )(3)方程的通解为 u( x, y)C解法 2:凑微分 P( x, y)dxQ ( x, y)dydu( x, y)5.可降阶的高阶微分方程(1) y( n )f (x) (两端积分 n 次)(2)不含 y 的二阶方程y/f(,y/ )x令 y/p( x) ,则 y/p/ ,化为一阶方程(3)不含 x 的二阶方程 y/f ( y, y/ )令

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