平面向量知识点

1、平面向量1、向量有关概念 ：（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。（ 2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意 零向量的方向是任意的 ；（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量uuur( 与 AB 共线的单位向量是uuurAB)；uuur| AB|（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（ 5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作： a b ，规定零向量和任何向量平行。提醒 ：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是

2、不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条ruuuruuur直线重合； 平行向量无传递性！（因为有 0 ) ；三点 A、B、C 共线AB、AC 共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。rrrr如下列命题：（1）若 ab ，则 ab 。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相uuuruuur，则 ABCD 是平行四边形。 （ 4）若 ABCD 是平行四边形，同，终点相同。 （ 3）若 ABDCuuuruuurrr rrrrrr r rrr则 ABDC 。（ 5）若 ab,bc ，则 ac 。（6）若 a / b,b

3、/ c ，则 a/ c 。其中正确的是 _（答：（ 4）（ 5）2、向量的表示方法：（ 1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （ 2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（ 3）坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为rrrx, y，称 x, y为向量 a 的坐标， a基底，则平面内的任一向量a 可表示为 axiy j x, y 叫做向量 a 的坐标表示。 如果 向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3. 平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 e2 是同

4、一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2 ，使 a= 1 e1 2 e2。rr(1,rr_（答：1 r3 r如（ 1）若 a(1,1),b1),c( 1,2) ，则 ca2b ）；（ 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是2uruururuurA. e1(0,0), e2(1,2)B. e1( 1,2), e2(5,7)uruururuur( 13) （答： B）；C. e1(3,5), e2(6,10)D. e1(2, 3),e2,uuuruuur24uuurruuurruuur（ 3）已知 AD , BE 分别是ABC 的边 BC, AC 上的

5、中线 ,且 ADa,BEb ,则 BC 可用向r r2 r4 r量 a, b 表示为 _（答：ab ）；33（ 4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD2 DB ，CDr ABs AC ，则 r s的值是 _（答： 0）4、实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下： 1rr2 当>0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当<0 时，a 的aa ,方向与 a 的方向相反，当0 时，rra 0。a0，注意：5、平面向量的数量积：uuurruuurrAOB（ 1）两个向量的夹角 ：对于非零向量a ， b ，作 OAa,OBb ，0称为向

6、量 a ， b 的夹角，当 0 时， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当 时， a ， b 垂直。2r（ 2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量r叫做 a 与 b 的数量积，记作：rr| a | b | cosa ? b ，即 a ? b ab cos。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（ a） ABC 中， | AB |3，| AC |4，|BC | 5，则 AB BC_（答：9）；r1 r1 rrr urrrrur，则 k 等于 _（ b）已知 a(1, ),b(0,), cakb,dab ， c

7、 与 d 的夹角为（答： 1）；224rrr rrr（ c）已知等于 _（答：a 2, b5, a b3，则ab23）；rrgrrrrrrr（ d）已知 a,b 是两个非零向量，且abab ，则 a与 ab的夹角为 _（答：30o ）r0。（ 3） b 在 a 上的投影 为 |b |cos，它是一个实数，但不一定大于如已知 | a |3 ，| b |5 ，且 a b12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _（答：12 ）r5（ 4） a ? b 的几何意义 ：数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。（ 5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ， b ，

8、其夹角为，则：rrr r aba ?b 0 ；r rr 2rrr 2 rr 2；当 a 与 b 反当 a ， b 同向时， a ? b ab ，特别地， aa ? aa, aar rrrrr0 是向时， a ? b a b ；当为锐角时， a ? b 0，且 a、b 不同向， ab为锐角rrrr0 是的必要非充分条件；当为钝角时， a ? b 0，且 a、b 不反向， ab为钝角的必要非充分条件 ；rrrrrr非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cosa ?brr ； | a ?b | | a |b | 。a b如（ 1 ）已知 a ( ,2) ， b(3,2) ，如果 a 与 b 的夹角

9、为锐角，则的取值范围是_ （答：40且1）；或33（2）已知OFQ 的面积为 S ，且 OFFQ1S31，若2，则 OF ,FQ 夹角2的取值范围是 _（答： (,) ）；43（ 3rr(cos y,sin y),rrr） 已 知 a(cos x,sin x), ba与 b之间有关系式rrrrrrrrrkab3 akb ,其中 k0，用 k 表示 ab ；求 a b 的最小值， 并求此时 a 与 b 的夹rrk21 (k1 ，60o ）角的大小（答： ab4k0) ；最小值为26、向量的运算 ：（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的uuu

10、ruuurruuurr向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ABa, BCb ，那么向量 AC 叫rrrruuuruuuruuur做 a 与 b 的和，即 abABBCAC ；r uuurrrruuuruuuruuuruuur向量的减法：用“三角形法则”：设 ABa, ACb, 那么 abABACCA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。uuuruuuruuuruuur_uuuruuur_ ；如 （ a ） 化 简 ： ABBCCD； ABADDCuuuruuuruuuruuuruuuruuurr (ABCD)( ACBD )_（答： AD

11、； CB ； 0 ）；（ b）若正方形 ABCD 的边长为uuurr uuurr uuurrrrr1， ABa, BCb, ACc ，则 | abc | _（答： 22 ）；uuuruuuruuuruuuruuur（ c）若 O 是 VABC 所在平面内一点， 且满足 OBOCOBOC2OA ，则 VABC的形状为 _（答：直角三角形） ；（ d ） 若 D 为 ABC的边 BC的中点， ABC所在平面内有一点P，满足uuuruuuruuurruuur| AP|，则 的值为 _（答： 2）；PABPCP0 ，设uuur|PD|uuuruuuruuurr（ e）若点 O 是 ABC 的外心，且

12、OAOBCO0 ，则 ABC 的内角 C 为 _（答：120o ）；rr（ 2）坐标运算 ：设 a r(x1,ry1 ),b ( x2 , y2 ) ，则： 向量的加减法运算： a b( x1x2 ， y1y2 ) 。 如（ 1）已知点A(2,3), B(5,4)，uuuruuuruuurR) ，则当 _时，点 P 在第一、 三象限的角平分线上C(7,10) ，若 APABAC (（答：1 ）；（ 2）已知A(2,3), B(1,4),且1 uuur(sin x,cos y)， ,(,)，则 x y2ABx y222uuruuruur（答：或2）；（3）已知作用在点A(1,1)的三个力 F1(

13、3,4), F2(2,5), F3 (3,1)，则ur6uuruuruur（答：（ 9,1）合力 FF1F2F3 的终点坐标是r 实数与向量的积 ： ax1, y1x1,y1。uuurxx , yy若 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，则 AB1，即一个向量的坐标等于表示这个212向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。uuur1 uuur如设 A(2,3), B( 1,5) ，且 ACAB ，uuuruuur1137,9) ）；AD 3AB ，则 C、 D 的坐标分别是 _ （答：(1,),(r r3 平面向量数量积 ： a ?bx1 x2y1 y2 。如已知向量 a （

14、sinx， cosx） ,b （ sinx， sinx） ,c （ 1， 0）。（ 1）若 x，3求向量 a 、 c 的夹角；（ 2）若 x 3, ，函数 f (x)a b 的最大值为1 ，求的值（答： (1)150o;(2) 1842或21）；2r 2rrx2x2y2 。 向量的模 ： | a |y2 , a| a |2rrruur13 ）；如已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为60o ，那么 | a3b | _（答： 两点间的距离 ：若 A x1 , y1 , B x2 , y2，则|AB|x2 x12y2y12。如如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy60o，平面上任一点P 关于uu

15、ururuururuur斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若 OPxe1ye2 ，其中 e1 ,e2 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为 ( x, y) 。（ 1）若点 P 的斜坐标为（2， 2），求 P 到 O 的距离 PO；（ 2）求以O 为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。（答：（ 1） 2；（2） x2y 2xy 10 ）；rrrrrrrrrr7、向量的运算律 ：（ 1）交换律： abba ，aa ， a ?bb ?a ；rrrrrr rrrrrr(2)结合律： abcabc, abcabc，rrrrrra ? ba ?ba ?b；rrrrrrrr

16、rrrrr r（ 3）分配律：aaa,abab ， ab?ca ? cb ? c 。如下列命题中：a (bc )a ba c ；a ( b c ) (a b)c ； ( a b) 2 | a |22 | a | | b | | b |2 ；rrrrrrr2r 2若 abcb, 则 ac ； aa ；r rr 2 r 2rrr 2r r (a b) 2ab ； (ab) 2a2a b若 a b0 ，则 a0 或 b0 ；r rra bbr 2r；aar 2b 。其中正确的是_（答：）提醒：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别： 对于一个向量等式， 可以移项，两边平方、 两边同乘以一个实

17、数，两边同时取模， 两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除( 相约 ) ；（ 2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b ? c)(a ?b)c ，为什么？rrrrrrrr8、向量平行 ( 共线 ) 的充要条件 ：a / bab(ab)2(| a |b |)2x1 y2y1 x2 0。如 (1)rrrr2）；若向量 a( x,1),b (4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同（答：rrrrrrrrrr（ 2）已知 a(1,1),b (4, x) ， ua2b ， v2ab ，且 u / v ，则 x_（答： 4）；uuuruuur

18、uuur(10,k ) ，则 k _时， A,B,C 共线（答：2 或（ 3）设 PA( k ,12), PB(4,5), PC11）rrr rrrrr9、向量垂直的充要条件： aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20.特别uuuruuuruuuruuur地 (ABACABAC) 。uuuruuur )( uuuruuurABACABACuuuruuuruuuruuur3 ）；如 (1) 已知 OA( 1,2), OB(3,m) ，若 OAOB ，则 m（答：B 902（ 2）以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，则点 B 的坐标是 _ （答：

19、(1,3)或（ 3， 1）；rururr(a,b), 向 量rur（ 3 ） 已 知 nnm ， 且 nm ， 则 m 的 坐 标 是 _（ 答 ：(b,a)或 ( b,a) ）10. 线段的定比分点 ：（ 1）定比分点的概念：设点 P 是直线 P1 P2上异于 P1 、P2 的任意一点，若存在一个实uuuruuur叫做点 P 分有向线段uuuur所成的比， P 点叫做有向线段uuuur数，使 PPPP ，则PP12PP12的12以定比为的定比分点；（ 2）的符号与分点P 的位置之间的关系：当 P 点在线段 P1 P2上时>0；当 P点在线段P 1 P 2 的延长线上时<1；当 P

20、点在线段 P 2 P1的延长线上时10 ；uuuuruuuur1 。若点 P 分有向线段 PP 所成的比为，则点 P 分有向线段 P P 所成的比为1221uuur3uuur7 ）如若点 P 分 AB 所成的比为，则 A分 BP 所成的比为 _（答：43uuuur（ 3）线段的定比分点公式：设 P1 (x1, y1 ) 、 P2 (x2 , y2 ) ， P( x, y) 分有向线段 PP12所成xx1x21的比为，则，特别地，当 1时，就得到线段P1 P2 的中点公式y1y2y1xx1x22( x, y) ， ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义，yy1y2。在使用定比

21、分点的坐标公式时，应明确2即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。1如（ 1）若 M （ -3， -2）， N（ 6， -1），且 MPMN，则点 P 的坐标为 _（答：3( 6,7) ）；31uuuuruuur（ 2）已知 A(a,0), B(3,2a) ，直线 yax 与线段 AB 交于 M ，且 AM2MB ，则 a等于 _（答：或）2rh, k平移至 P( x , y ) ，则 xxh ；曲线11. 平移公式 ：如果点 P( x, y) 按向量 aryykh, k 平移得曲线f (xh, yk ) 0f ( x

22、, y) 0 按向量 a.注意 ：（ 1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（ 2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！rr7,2) 平移到点 _（答：如（ 1）按向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1,2) ，则按向量 a 把点 (（，）；（ 2）函数ysin 2x的图象按向量a平移后， 所得函数的解析式是，则y cos 2x 1a _（答： (,1) ）412、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrr（ 2） | a | | b | | a b | | a | b |，rrr rrrrrrrr特别地，当 a、b 同向或有 0| ab | a | b | a | | b | | ab | ；r rrrrrrrrrr当 a、b 反向或有0| ab | | a | b