圆、扇形、弓形的面积

1、圆、扇形、弓形的面积教学目标：1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式 进行一些有关计算 ;2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、 归纳能力和迁移能力 ;3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透从特殊 到一般，再由一般到特殊的辩证思想 . 教学重点：扇形面积公式的导出及应用 . 教学难点：对图形的分析 .教学活动设计：（一 ）复习 （圆面积 ）已知O O半径为R,O O的面积S是多少？S=R2 我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴 影图形的面积 .为了更好研究这样的图形引出一个概念 . 扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形 叫做

2、扇形 .提出新问题：已知O O半径为R,求圆心角n的扇形的面积（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论1、迁移方法 教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：(1) 圆周长 C=2(2) 1 圆心角所对弧长 = ;(3) n 圆心角所对的弧长是 1圆心角所对的弧长的 n 倍;(4) n 圆心角所对弧长 = .归纳结论：若设O O半径为R, n圆心角所对弧长I，则(弧 长公式 )2、探究新问题教师组织学生对比研究：(1) 圆面积 S=(2) 圆心角为 1的扇形的面积 = ;圆心角为n的扇形的面积是圆心角为1的扇形的面积n倍;(4)圆心角为 n 的扇形的面积 = .归纳结论：若设O O半径为R,圆心角为

3、n的扇形的面积S 扇形，则S 扇形 = (扇形面积公式 )(三) 理解公式教师引导学生理解：(1) 在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中n的意义.n表示1圆心角的倍数，它是不带单位的；(2) 公式可以理解记忆 (即按照上面推导过程记忆 );提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗?(教师组织学生探讨 )S 扇形 = lR 想一想：这个公式与什么公式类似 ?（教师引导学生进行，或 小组协作研究 ） 与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角 形，把弧长 l 看作底， R 看作高就行了 .这样对比，帮助学生 记忆公式 .实际上， 把扇形的弧分得越来越小， 作经过各分点 的

4、半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那 么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让学生在理解的基础上记住公式 .（四）应用 练习： 1、已知扇形的圆心角为 120，半径为 2，则这个扇形 的面积， S 扇 =.2、已知扇形面积为 ，圆心角为 120 ，则这个扇形的半径 R=.3、已知半径为 2 的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数4、已知半径为 2cm 的扇形， 其弧长为 ，则这个扇形的面积， S 扇 =.5、已知半径为 2 的扇形， 面积为 ，则这个扇形的弧长 =_ （ ，2， 120， ， ）例1、已知正三角形的边长为 a,求它的内切圆与外接圆组成 的圆环的面积 .学生独立

5、完成，对基础较差的学生教师指导 （1）怎样求圆环的面积 ?如果设外接圆的半径为 R,内切圆的半径为r, R、r与已 知边长 a 有什么联系 ?解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R, r,面积为 S1 、 S2.S= . , S=.说明：要注意整体代入 .对于教材中的例 2,可以采用典型例题中第 4 题,充分让学 生探究 .课堂练习：教材P181练习中2、4题.（五）总结 知识：扇形及扇形面积公式S 扇形 = , S 扇形 = lR.方法能力：迁移能力,对比方法 ;计算能力的培养 .（六）作业 教材P181练习1、3;P187中10.教学目标：1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上

6、,会计算 弓形面积 ;2、培养学生观察、理解能力,综合运用知识分析问题和解 决问题的能力 ;3、通过面积问题实际应用题的解决,向学生渗透理论联系 实际的观点 . 教学重点：扇形面积公式的导出及应用 .教学难点： 对图形的分解和组合、 实际问题数学模型的建立 . 教学活动设计：(一) 概念与认识 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 . 弦 AB 把圆分成两部分， 这两部分都是弓形 .弓形是一个最简 单的组合图形之一 .(二) 弓形的面积 提出问题：怎样求弓形的面积呢 ? 学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：(1) 当弓形的弧小于半圆时， 弓形的面积等于扇形面积与三角 形面积的差 ;(2)

7、当弓形的弧大于半圆时， 它的面积等于扇形面积与三角的 面积的和 ;(3) 当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.理解：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的 一半 ;如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为 弧的扇形面积减去三角形的面积 ;如果组成弓形的弧是优弧， 则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面 积.也就是说： 要计算弓形的面积， 首先观察它的弧属于半圆 ? 劣弧 ?优弧 ?只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.(三) 应用与反思练习：如果弓形的弧所对的圆心角为60,弓形的弦长为a,那么这个弓形的面积等于 ;如果弓形的弧所对的圆心角为300,弓形的弦长为

8、a,那么这个弓形的面积等于 .(学生独立完成,巩固新知识 )例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2) 教师引导学生并渗透数学建模思想,分析：(1) 水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m 为你提供了什么数学信息 ?(2) 求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息?(3) 扇形、三角形、弓形是什么关系,选择什么公式计算?学生完成解题过程,并归纳三角形 OAB 的面积的求解方法 反思：要注重题目的信息，处理信息；归纳三角形 OAB的面积的求解方法， 根据条件特征，灵活应用公式：弓形的 面积可以选用图形分解法,将它转

9、化为扇形与三角形的和或 差来解决 .例4、已知：O O的半径为R,直径ABCD，以B为圆心， 以 BC 为半径作 .求 与 围成的新月牙形 ACED 的面积 S. 解：,组织学生反思解题方法：图形的分解与组合;公式的灵活应用.（四）总结1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧， 从而选择分解方案 ;2、应用弓形面积解决实际问题;3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差.（五）作业 教材P183练习2;P188中12. 圆、扇形、弓形的面积 （三 ）教学目标：1 、掌握简单组合图形分解和面积的求法 ;2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用 知识分析问题、解决问题的能力 ;

10、3、渗透图形的外在美和内在关系.教学重点：简单组合图形的分解 . 教学难点：对图形的分解和组合 .教学活动设计：（一）知识回顾复习提问： 1 、圆面积公式是什么 ?2、扇形面积公式是什么 ? 如何选择公式 ?3、当弓形的弧是半圆时， 其面积等于什么 ?4、 当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求 ?5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求 ?（二）简单图形的分解和组合1、图形的组合 让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴 趣，促进学生的创造力 .2、提出问题：正方形的边长为a,以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形 （阴影部分 ）的面积 . 以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法

11、，教师组织 . 给学生发展思维的空间，充分发挥学生的主体作用 . 归纳交流结论：方案1.S阴=S正方形-4S空白.方案2、S阴=4S瓣=4 （S半圆AOB）=2S 圆-4S AOB=2S 圆-S 正方形 ABCD方案3、S阴=4S瓣=4 （S半圆-S正方形AEOF）=2S圆-4S正方形AEOF =2S圆-S正方形ABCD方案 4、 S 阴 =4 S 半圆 -S 正方形 ABCD反思：对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；图形的美也存在着内在 的规律 .练习1:如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以 r 为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少 ?分

12、析：连结0A，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO 组成.解：连结AO,设P为其中一个三等分点，连结PA、PO,则厶POA是等边三角形.说明： 图形的分解与重新组合是重要方法；本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去O O 面积，也可得到阴影部分的面积 .练习2:教材P185练习第1题例5、已知O O的半径为R.(1) 求O O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与O O直径(2R)的比值；(2) 求O O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与 圆面积的比值 (保留两位小数 ).例 5 的计算量较大， 老师引导学生完成 .并进一步巩固正多边 形的计算知识，提

13、高学生的计算能力 .说明：从例 5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直 径的比值， 与直径的大小无关 .实际上， 古代数学家就是用逐 次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周 长，从而求得了的各种近似值 .从(2)可以看出， 增加圆内接正 多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积(三) 总结1、简单组合图形的分解 ；2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算 .3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.(四) 作业 教材P185练习2、3;P187中8、11.探究活动四瓣花形在边长为 1 的正方形中分别以四个顶点为圆心，以 l 为半径

14、 画弧所交成的四瓣梅花图形，如图(1)所示.再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画 弧而交成的花形，如图(12)所示.探讨： ( 1 )两图中的圆弧均被互分为三等份 . (2)两朵花是相似图形 .(3) 试求两花面积提示：分析与解 如图21所示，连结PD、PC,由PD=PC=DC 知， PDC=60.从而， ADP=30.同理 CDQ=30. 故 ADP=CDQ=30 ，即， P、Q 是 AC 弧的三等 分点 .由对称性知，四段弧均被三等分 . 如果证明了结论 (2)，则图 (12)也得相同结论 .(2)如图 (22)所示，连结 E、F、G、H 所得的正方形 EFGH 内 的花形

15、恰为图 (1)的缩影 .显然两花是相似图形 ;其相似比是AB : EF =: 1.这个工作可让学生分组负责收集整理 ,登在小黑板上 ,每周一 换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生 的知识面 ,引导学生关注社会 ,热爱生活 ,所以内容要尽量广泛 一些 ,可以分为人生、 价值、理想、 学习、 成长、责任、友谊、 爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外 ,一年便可以积累 40 多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生 动的材料 ,写起文章来还用乱翻参考书吗 ?(3)花形的面积 为： ， .唐宋或更早之前，针对 “经学 ”律“学 ”“算学”和“书学 ”各科目， 其相应传授者称为 “博士 ”，这与当今 “博士”含义已经相去甚 远。而对那些特别讲授 “武事”或讲解 “经籍”者，又称 “讲师”。 “教