外心和垂心间的向量关系及应用

1、外心和垂心间的向量关系及应用定理：设 ABC的外心为0,则点H为厶ABC的垂心的充要条件是 OH =0A 0B 0C 。证明：如图1,若H为垂心，以OB、0C为邻边作平行四边形 0BDC，贝y 0 OB OC/ 0为外心， OB=OC,.平行四边形 OBDC为菱形C 0D 丄 BC，而 AH 丄 BC , AH / 0D ,存在实数，使得AH =，0D =，0B0C OH = OA AH = OA OB 0C 。同理，存在实数， ，使得OH =0B BH =01 01 OA®OH -OC CH =0C OA OB比较、可得, = -i =, / , OH = OA OB OC反之，若

2、 OH =0A OB OC，则 AH -OB OC ,/ 0 为外心， OB=OC- AH CB = (OB OC)(0B OC) =| OB |2 -| OC |2 = 0 AH丄CB，同理，BH丄AC。二 H为垂心。1推论： ABC的外心、重心、垂心分别为0、G、H，则0、G、H三点共线，且 0G= - GH。0、G、H2三点连线称为欧拉线。这就是关于三角形的外心、重心、垂心的欧拉定理图2证明：如图2,由命题1、2知，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。21 - 0G = OA AG = OA AD 二 OA (AB AC) 33=0A 1(OB - OA OC - OA)二-(

3、OA OB OC)33/ H 是厶 ABC 的垂心 OH 二 OA OB OC , OH -30G1 0、G、H三点共线，且 0G= 1 GH。2例1、已知P是非等边厶ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值。解：如图3,设外接圆半径为 R,点0是外心，则pa2+pb2+pc2= (PO OA)2(PO OB )2(PO OC)26R2 2( PO OA PO OB PO OC)=6R22PO (OA OB OC)二 6R2 - 2PO OH ( H 为垂心)PAOBC图3当P为OH的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6R2+2R OH当P为OH的延

4、长线与外接圆的交点时，有最小值6R2-2R OH例2、已知H是厶ABC的垂心，且 AH=BC，试求/ A的度数 解：设 ABC的外接圆半径为 R，点O是外心。H是厶ABC的垂心 OH -OA OB OC AH = OH - OA = OB OC AH2 =1 AH |2 = (OB OC)2 =2R2(1 2coS2A)- BC = OC - OB , BC2 =| BC I2 = (OC - OB)2 = 2R2 (1 一 2cos2A)/ AH=BC , 1 2cos2 A 二 1-2 cos2 A cos2A 二 0而/ A ABC 的内角， 0V 2A V 360° 从而 2

5、A=90。或 270°A的度数为45°或135°。例3、( 2002年联赛加试第一题)在锐角 ABC中，/ A=60 ° , AB >AC，点O是外心，两条高 BE、CF交于H点，点M、MH + NH “N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN。求的值。OH解：如图4,设外接圆的半径为r,设OA = a，OB=b，OC=c丁点 O 是外心，/ A=60° OA=OB=OC=R，。且/ BOC=2 / A=120 °，/ COA=2 / B，Z AOB=2 / Cv h 为垂心，二 OH = a b c b-k b-«

6、rBH = a c，CH = a bv点M、N分别在线段 BH、HF上!I- H-XHI- F令 BM 二 xBH 二 x(a c)，CN 二 yCH 二 y(a b)，(0 x 1， y _ 1)则 MH 二(1 -x)(a c)，HN =(y-1)(a b)， | BM |2=2x2 R2(1 COS2B)， bm= 2xR cosB同理，cn= 2 yRcosC，mh 二 2(1 - x) R cosB， nh 二 2( y -1) R cosCbm=cn ，2xR cos B = 2 yRcosC 即 x cosB = y cosCAB > AC， / BvZ C又 |OH |2 =2R2(仁cosC -B)，二 oh= 2RsinC -2-mh+nh 二 2(4 -