实数几个基本定理

1、关于实数几个基本定理黄翔中山大学应用数学04级定理一 实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数 r,它大于或等于下类 A的每一实数。 小于或等于上类B中的每一个实数。定理二 单调有界有极限 单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。定理三 确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。定理四 区间套定理 设an,bn是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即ran ,bn 。n吕定理五Borel有限覆盖定理 实数闭区间a,b的任一个覆盖 E，必存在有限的子覆盖。定理六Bol

2、zano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。定理七 Cauchy收敛原理 在实数系中，数列xn有极限存在的充分必要条件是：任给；>0,存在N，当n>N，m>N时，有 焉xm| £名。定理一 一三是对实数连续性的描述， 定理四 一定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。下面给出其等价性的证明： 定理一=定理二：设数列Xn单调上升有上界。令 B是Xn全体上界组成的集合，即B=b| Xn岂b, -n，而A=RB,则A|B是实数的一个分划。事实上，由 Xn有上界知B

3、不 空。又 Xn单调上升，故X- - A，即A不空。由A=RB知A、B不漏。又a - A,b二B ， 则n。，使a ： Xn° < b，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理,存在唯一的rR使得对任意a A，任意b B，有a乞r乞b。下证lim xn = r。事实上,n对一； 0，由于r - ； A，知N，使得r - ； ： Xn。又Xn单调上升。故当n>N时,有r - ； ： xN - xn。注意到rB，便有xn - rr ;。故当n>N时有2 2rg£xn £r + e，于是 xn r £ g。这就证明了nmxn

4、汀若Xn单调下降有下界,r，则则令yn = "Xn，则Yn就单调上升有上界，从而有极限。设极限为lim xn =lim(-yn) = -lim yn = -r。定理二证完。 nnn_定理二=定理三：只需证明在实数系 R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X非空，且有上界。则 b R，使得对-xX，有x_b。又幕R是全序集，.对- x,y R，x乞y与x y有且只有一个成立。故-r R, X。 X ,有X。岂r与x° . r有且只有一个成立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。 X有上界，. 实数是X的 上界。若不存在实数不是 X的上界，则由上知，-实数都

5、是X的上界，这显然与 X非空矛盾。故ai,d R，使得ai不是X的上界，bi是X的上界。贝UX。 X使得a,：x。乞b。用a, ,bi的中点色一bl二等分ai,bi，如果引b1是X的上界，则取2 2a2 = a4,b2 = a1 £ b1 ；如果_-不是X的上界，则取a2 = 1 ? ,b2 = b,。继续用生皂二等分a2，b2，如果a皂是X的上界，则取as =a2,b32 b2 ;如果a2b222不是x的上界，则取22 2 2a2b2a3,匕3 = b?。如此继续下去，便得到两串序列2an,bn。其中an都不是X的上界且单调上升有上界（例如 b）, bn都是X的上界且单调下降有下界

6、（例如 a-）。并且bn - an = bl ：ai T 0 （当nT旳时）。由a.单调上升2有上界知有：存在，使得- -lim an。下证1 = supX。事实上；lim a. - -, 对 nJfXiV& >0,2N $>0，当nA N名时有P - & <an。又丁 an都不是X上界二对每一个,x ； X，使得 aN. 1 ： x ；。故对 一 ； 0,X，使得 - -:aN / ： x ；。若x0 X ,使得 x:，则由 bn = an b12；1知 lim._bn = im._an'叽笃： 二:。故n0 0 ,使得x0bn0。又bn都是X的上界

7、，故对x X有x辽bn°< x0。而x0 X ,故x° : x°，这是不可能的。故对 -x X，有x°岂：。综上、即有,=supX。即X 有上确界存在。定理三二定理四：由条件知集合 A=an| n= 1,2,非空，且有上界(例如 b,)。故由确界定理知A有上确界，记为：。则对-an A，有an乞:。同理可知集合B 二bn |n =1,2,有下确界，记为 1。则对-bn B，有 bn _ 一：。又；im (g - a.) =0，由上可知bn - a* 一。两边取极限，令n有0 _ - -。又显然_ 。否则由于a是A的上确界，则2ani A，使得a&#

8、169; a 0 ；同理mb% B，使得bn2 ，则有 bn <a < P < an。又由区间套的构造可知，对寸n,N+，记k=max (n,m),则有an兰ak兰bk <bm。故有a兰bn2，矛盾。故必有P o故P =a，记为r。则对Pn迂N+， 有an乞r空bn。下证具有这一性质的点是唯一的。用反证法，如果还有另一r- r，使得QOru Can,bn。由于 an Er,rYbn对一切 n成立，故 r r 兰bn an,n= 1,2，,令 n £n t血，得r r = 0 ,与r学r矛盾。故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r，使得r包含在所有的区间里，即r

9、an ,bn 。n=1定理四二定理五：用反证法。设e是区间a,b的一个覆盖，但a,b没有E的有限子覆盖。 记a,bi =a,b,二等分a,b，则必有一区间没有 E的有限子覆盖(否则把两区间的E的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E',则E'是a,b的E的有限子覆盖，即 a,b有E的有限子覆盖与反证假设矛盾)，记其为a2,b2。二等分a2,b2，则必有一区间没有 E的有限子覆盖，记为a3,b3。如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列an,bn, n=1,2，满足(i)时&©, n = 1,2，；d a1(叫冋-和哄二=0。故an,bn构成一个区间套，且每个an

10、 ,bn都没有E的有限子覆盖。则由区间套定理有存在唯一的实数r,使得nan,bn。又 n a,bn ¥由覆盖的定义有G , ) E，使得(，：)，即r :：。又由上区间套定理的证明可知 r = supA = inf B，其中 A =an |n = 1,2, , B =bn | n = 1,2, 。故 an A ,使得:-:an - r , -ibn - B，使得 r < bn < -。设 k 二 maxri| ,n2，贝U:-<ani - ak _r _bk _bn2 ： 一：，即有 G , ）覆盖ak,bk。这与an,bn（ n=1,2,）没有E的有限子覆盖的构造

11、矛盾，故a,b必有E的有限子覆盖。定理五=定理六：设数列xn有界，即实数-la,b，且a<b，有xn a,b,n =1,2,。用反证法，如果xn无收敛子数列，则对-x ：二a,b, TC x, ： x）, x ：= （： x, ： x），使得只有有限个 Xn C x, :x）。（如果不然，即-t a,b，对-（二，：），c （二，:），有（，：）中有无限1i个xn。选定xn （c -1, c 1），再选n2 n，使xn- （c ,c）。这是办得到的，因1 2 21111为（c - ，c ）包含数列的无限多项。再取 n3 n2，使Xn3 （c - ，c ）。如此继续下22331 1去，便得

12、到xn的一子数列Xnk。令kT旳，则有匚）兰四乂入兰Fm（C+）。1 1又何（一1）问2匸），kimxnc与反证假设矛盾）。又以这样的Cx,7nk作为元素组成的集合显然是a,b的一覆盖，记为 E。则由Borel有限覆盖定理知a,b有E 的有限子覆盖。而E中的每个元素都只包含xn的有限项，有限个有限的数相加仍为有限数，故a,b只包含xn的有限项。这与xn a,b, n=1,2，矛盾，故xn必有收敛子数列，即有界数列必有收敛子数列。定理六=定理七：必要性：设在实数系中，数列xn有极限存在，则 一 ； 0, N 0,使得只要n > N，有xn - a v % （记”坠乂“ = a）。因此只要n

13、 > N , m > N，就有 Xn Xm兰Xn a' +|xm -玄£雳十% = E。必要性得证。充分性：设在实数系中，数列 Xn满足：一；0， N 0，当 n A N,m A N时，有Xn -Xm| V E，即Xn是基本列。先证焉是有界的。事实上，取 % =1，则 mN A0，使得当 n A N ,m A N 时，有 x. - Xm v % =1。取定一 n> N，则 有 Xn.= Xn-Xn。+Xn°| 兰 Xn-+ X.。< +|Xn°|。取 M=|XJ, XJ"' , Xn| +|Xn0 ，则有Xn M（

14、 n =1,2，）。这就证明了 Xn是有界的。再证明Xn有极限存在。由Bolzano-Weierstrass紧致性定理可知xn有子数列xnk，使得lim xnk存在，记为a。下证lim Xn =a。事实上,寸名>0，由题设知三Ni > 0，当n > Ni, Ni时，有Xn - Xm £ %。又丁 kmxnk =a，二 Hko，只要 nk >nko，就有 Xnk -a<% 。取 N = max(Ni, n)，则只要n a N，选取nk > N，就有Xn a兰Xn Xnk + Xnk - a £ % + % = g。这就证明了 nimXn &

15、quot;。即Xn有极限存在。充分性得证。综上，定理七证完。定理七=定理一：对任意给定的实数 R的分划A|B , ； A、B非空，.可任取点aAQ B。又；分划满足不乱，.a-i:b1。用a1, b|的中点 空b1二等分a1,b| ，2如果 aibB，则取a2二 aib =aibl；如果 ai bl. a。则取2 2 2ai bia丁，5 5。分划满足不漏对任意实数，或者属于A，或者属于B。故叭A或吩壬B。继续用屮二等分&，如果貯H B，则取a3二a?：二也 b2 ；如果生 如 A，则取a如4二b?。如此继续下去，2 2 2便得到两串序列an,bn。其中an A单调上升有上界（例如 b

16、i）， bn B单调下降有b a下界（例如ai），并且bn -an1 n丄一；0 （当n；心时）。下面用柯西收敛原理来证明2lim an存在。事实上如果不然，则日名0 >0，VN，三nN > N,mN > N，有anN -amN兰5。不妨设n” -mN，由an单调上升有anN -aN - anN - amN - ；o。；对一 N上式都成立（N）， 取N =i, nn比，N'，并把所得的不等式相加得 anN. -印k；o。其中 k为不等式的个数。故 anN. =ai +k%T十吃，当kT血时。而由N的取法可知对每一个 k都有相应的N '与之对应，即有相应的 nN.与之对应。故对 _m 0， n0 0 ,使得an0>an>M。即an无界，与有界矛盾。故liman存在，记为r。下证对00 a n n-a A,b B，有a空r空b。这等价于证明对 -a :：: r,b . r，有a A,b B。事实上，b - ai一a ： r，由lit an 二 r 知-n，使 a ： a 二 A。故 a A。而对一 b . r，由 bn 二 an - 一 n12 n知lim bn = r。故 n2，使b bnB