基本不等式知识梳理

1、基本不等式【考纲要求】1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会用基本不等式解决最大（小）值问题.3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】基本不等式重要不等式最大（小）值问题基本不等式基本不等式的应用【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的

2、，都是“当且仅当时取等号”。（3）可以变形为：，可以变形为：.3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边

3、长为。这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2. 代数法 ，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三、用基本不等式求最大（小）值在用基

4、本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。要点四、几个常见的不等式1），当且仅当a=b时取“=”号。2），当且仅当a=b 时取“=”号。3）；特别地：；4） 5）；【典型例题】类型一：基本不等式的理解例1. ，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）. （1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.【解析】（1）；（2）（1），（当且仅当时取等号）.（2），（当且仅当时取等号）.（3），（当且仅当即时取等号），与矛盾，上

5、式不能取等号，即【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.举一反三：【变式1】给出下面四个推导过程： ，； ，； ， ； ，.其中正确的推导为（ ）A. B. C. D.【解析】，符合基本不等式的条件，故推导正确.虽然，但当或时，是负数，的推导是错误的.由不符合基本不等式的条件，是错误的.由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故正确.选D.【变式2】下列命题正确的是（ ）A.函数的最小值为2. B.函数的最小值为2C.函数最大值为 D.函数 的最小值为2【答案】C【解析】A选项中，当时由基本不等式；当时

6、.选项A错误.B选项中，的最小值为2（当且仅当时，成立）但是，这是不可能的. 选项B错误.C选项中，故选项C正确。类型二：利用基本不等式求最值例2设，则的最小值是A1B2C3D4【解析】当且仅当即时取等号.【答案】D举一反三：【变式1】若,求的最大值.【解析】因为,所以, 由基本不等式得:,（当且仅当即时, 取等号）故当时,取得最大值.【变式2】已知，求的最大值.【解析】， （当且仅当，即时，等号成立）（当且仅当，即时，等号成立）故当时，的最大值为4.例3.已知a0，b0，ab2，则y的最小值是AB4CD5【解析】,，答案选C举一反三：【变式1】若,且,求的最小值 .【解析】,，（当且仅当即，

7、时，等号成立）（当且仅当，时，等号成立）故当，时，的最小值为64.【变式2】已知x0，y0，且，求x+y的最小值。【解析】，x0，y0，（当且仅当，即y=3x时，取等号）又，x=4，y=12当x=4，y=12时，x+y取最小值16。类型三：基本不等式应用例4. 设,求证：【证明】 成立举一反三：【变式1】已知，求证:【解析】（当且仅当即,等号成立）.【例5】(2015春 东城区期末)已知，且.(1)若则的值为 .(2)求证：【解析】(1)由题意可得带入计算可得(2)由题意和基本不等式可得，举一反三：【变式】(2015 石家庄一模)已知函数的定义域为R.(1)求实数m的取值范围.(2)若m的最大

8、值为n，当正数a、b满足时，求7a+4b的最小值.【解析】(1)因为函数的定义域为R,恒成立设函数则m不大于的最小值即的最小值为4，(2)由(1)知n=4当且仅当时，即时取等号.的最小值为类型四：基本不等式在实际问题中的应用例6. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？ 【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为，于是还需要建造新墙的长为设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元，则（当且仅当即时，等号成立）故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.举一反三：【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班