圆锥曲线离心率小结

1、高考数学专题复习求解圆锥曲线离心率及其取值范围.s椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率一、直接求出、，求解已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ）A. B. C. D. 解：由、知 ，又椭圆过原点，所以离心率.故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D 解：由题设，则，因此选C变式练习3：点P（-3，

2、1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A B C D 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，则，故选A二、构造、的齐次式，解出根据题设条件，借助、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式， 即，得，解得（舍去），故选D变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，

3、则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ,两边平方，得，整理得，得或，又 ，故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 解：如图所示，不妨设，则，又，在中， 由余弦定理，得,即， ，故选B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，是过且垂直于

4、轴的弦，于，为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 解：五、直接根据题意建立不等关系求解. 例5：若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)解析 由题意可知即解得故选B. 备选 椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）解析 由题意得故选D. 六、借助平面几何关系建立不等关系求解例2：设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段

5、的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD.分析 通过题设条件可得，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？解析：线段的中垂线过点， ，又点P在右准线上，即，故选D.点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.七、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.例3：双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.C.(3,+)D.分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？ 解析：|PF1|=2|PF2

6、|,|PF1|-|PF2|=|PF2|=，|PF2|即所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于）则可建立不等关系使问题迎刃而解. 备选 已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )A B C D |PF1|=4PF2|,|PF1|-|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.备选 已知，分别为的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D解析 ，欲使最小值为，需右

7、支上存在一点P，使，而即所以.例5：已知椭圆右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。 解：设P点坐标为（）,则有消去得若利用求根公式求运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知由得例6：椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围；解析 设将代入得 求得 .点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.八、运用数形结合建立不等关系求解例7：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）解析 欲使过点F且倾

8、斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，即即即故选C.九、运用函数思想求解离心率例8：设，则双曲线的离心率e的取值范围是A B. C. D. 解析：由题意可知，故选B.十、运用判别式建立不等关系求解离心率例9：在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的离心率.解析: 由椭圆的定义，可得 又，所以是方程的两根，由， 可得，即所以，所以椭圆离心率的取值范围是例10：设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围：解析 由C与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0.