命题及充分与必要条件

1、第一章 常用逻辑用语知识点网络 第1讲 命题、充分条件与必要条件 考点1：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题 设和结 论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式： 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出. 若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.例1

2、 已知命题,;命题,则下列命题中为真命题的是:（）ABCD例2.下列命题中的假命题是A. B. C. D. 【解析】对于C选项x1时，故选C变式1.下列命题是真命题的为 A若,则 B若,则 C若,则 D若,则 解析 由得,而由得,由,不一定有意义,而得不到 故选A.例3.下列4个命题 1/2x>1/3x 1/2x 1/3x 其中的真命题是 （ ）A. B . C. D. 解析 取x,则1/2x1,1/3xlog321,p2正确 当x(0,)时,()x1,而1/3x1.p4正确答案 D考点2：四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则

3、四种命题的形式为：原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除、之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.例4. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假: (1) 若q<1，则方程x22xq0有实根； (2) 若ab0，则a0或b0； (3) 若x2y20，则x、y全为零.解：(1)逆命题：若方程x22xq0有实根，则q1，为假命题否命题：若q1，则方程x22x

4、q0无实根，为假命题逆否命题：若方程x22xq0无实根，则q1，为真命题(2)逆命题：若a0或b0，则ab0，为真命题否命题：若ab0，则a0且b0，为真命题逆否命题：若a0且b0，则ab0，为真命题(3)逆命题：若x、y全为零，则x2y20，为真命题否命题：若x2y20，则x、y不全为零，为真命题逆否命题：若x、y不全为零，则x2y20，为真命题例5. “ABC中,若C=90°,则A.B都是锐角”的否命题为: _，否定形式是_-解：否定形式：ABC中,若C=90°,则A.B不都是锐角” 否命题：ABC中,若C90°,则A.B不都是锐角”例3.下列四个命题中属于真

5、命题的是_，“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；“两个全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。解：显然正确；不正确；不正确，因=1-4q未必大于0；不对。变式2.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_.解：如果两条直线平行，那么它们同时与另一条直线垂直。例6. 已知p：有两个不等的负根，q：无实根若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分

6、类讨论解：p：有两个不等的负根q：无实根因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反() 当p真且q假时，有；() 当p假且q真时，有综合，得的取值范围是或例7.命题“存在，使得”的否定是 变式3 命题“存在R，0”的否定是 A. 不存在R, >0 B. 存在R, 0 C. 对任意的R, 0 D. 对任意的R, >0解析：由题否定即“不存在，使”，故选择D。变式4 .命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）A“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B“若一个数的平方是正数，则它是负数” C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D“若一个数的平方不是正数，则它

7、不是负数”答案 B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。考点3：充分条件与必要条件1. 定义：对于“若p则q”形式的命题：若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.2. 理解认知：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论 推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”

8、.“等价于”“反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.3. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3) 利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且BA，即AB.如图：“”“，且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件. 例8在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由(1) A：，B：方程有实根；(2)A：；B：；解：(1) 当，取

9、，则方程无实根；若方程有实根，则由推出或6，由此可推出所以A是B的必要非充分条件(2) 由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件变式5：指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）对于实数x、y，p：x+y8,q:x2或y6;（2）非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；解： (1)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.(2)显然xAB不一定有xB,但xB一定有x

10、AB,所以p是q的必要不充分条件.例9. 已知p：2m0，0n1；q：关于x的方程x2mxn0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.解：若方程x2mxn0有两个小于1的正根，设为x1、x2则0x11、0x21，x1x2m，x1x2n0m2，0n1 2m0，0n1p是q的必要条件又若2m0，0n1，不妨设m1，n则方程为x2x0，(1)24×10 方程无实根 p是q的非充分条件综上所述，p是q的必要非充分条件例10.“”是“”成立的 （ ）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.解析：，所以充分；但反之不成立，如例11. “a0

11、”是“0”的A(A)充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：本题考查充要条件的判断， a0”是“0”的充分不必要条件变式6.已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是(A) (B) (C) (D) 【解析】由于a>0,令函数，此时函数对应的开口向上，当x=时，取得最小值，而x0满足关于x的方程ax=b,那么x0=,ymin=，那么对于任意的xR,都有=变式7 设0x，则“x sin2x1”是“x sinx1”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件解析：因为0x，所以sinx1

12、，故xsin2xxsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题例11. “”是“一元二次方程”有实数解的A充分非必要条件 B.充分必要条件C必要非充分条件 D.非充分必要条件【解析】由知，例12.已知是实数，则“且”是“且”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的变式8. “”是“且”的 A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件解析 易

13、得时必有.若时，则可能有，选A。变式9 .设的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 因为，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。例13.已知，为实数，且.则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件解析 显然，充分性不成立.又，若和都成立，则同向不等式相加得,即由“”“” 例14.已知：， ：若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围 【解法一】由：，解得，“”： 3分由：解得：“”： 6分由“”是“”的必要而不充分条件可知： 8分 解得 满足条件的

14、m的取值范围为 12分【解法二】由：， 解得由：, 解得： 由“”是“”的必要而不充分条件可知： ， 即：（等号不同时成立）， 解得：满足条件的m的取值范围为课堂过关检测一、选择题1对命题p：A，命题q：AA，下列说法正确的是（ ）Ap且q为假 Bp或q为假 C非p为真 D非p为假2已知下列三个命题方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零；矩形的对角线互相垂直且平分；2是质数，其中真命题是（ ）（A）和 （B）和 （C）和 （D）只有3下列结论中正确的是（ ）（A）命题p是真命题时，命题“P且q”一定是真命题。（B）命题“P且q”是真命题时，命题P一定是真命题（C）命题“P且q”是假命题时，命

15、题P一定是假命题（D）命题P是假命题时，命题“P且q”不一定是假命题4使四边形为菱形的充分条件是（ ）（A）对角线相等 （B）对角线互相垂直 （C）对角线互相平分 （D）对角线垂直平分5如果命题“非P为真”，命题“P且q”为假，那么则有（ ）（A）q为真 （B）q为假 （C）p或q为真 （D）p或q不一定为真6如果命题“p或q”和命题“p且q”都为真，那么则有（ ）（A）p真q假 （B）p假q真 （C）p真q真 （D）p假q假7给出4个命题：若，则x=1或x=2；若，则；若x=y=0，则；若，xy是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数那么： （ ）A的逆命题为真 B的否命题为真C的逆否命题为

16、假D的逆命题为假8一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件9“ABC中，若C=90°，则A、B都是锐角”的否命题为（ ） AABC中，若C90°，则A、B都不是锐角 BABC中，若C90°，则A、B不都是锐角 CABC中，若C90°，则A、B都不一定是锐角 D以上都不对10“”的含义是 （ ）A不全为0 B 全不为0 C至少有一个为0 D不为0且为0，或不为0且为011下列说法正确的是（ ）（A）x3是x>5的充分不必要条件 （B）x±1是1的充要

17、条件（C）若pq，则p是q的充分条件（D）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形12如果命题“P或Q”是真命题，命题“P且Q”是假命题，那么（ ） (A) 命题P和命题Q都是假命题 (B) 命题P和命题Q都是真命题（C）命题P和命题“非Q”真值不同 (D) 命题Q和命题“非P”真值相同13.下列有关命题的说法正确的是 ( )A命题“若，则”的否命题为：“若，则”B“”是“”的必要不充分条件C命题“使得”的否定是：“ 均有”D命题“若，则”的逆否命题为真命题14 若是两个简单命题，且“或”的否定是真命题，则必有（）A真真B假假C真假 D假真15 已知A与B是两个命题，如果A是B的充分不必要条

18、件，那么是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16 已知全集U且，则集合A的真子集共有（ ）A3个B4个C5个D6个17 二次函数中，若，则其图象与轴交点个数是（ ）A1个B2个C没有交点D无法确定18 设集合A，那么下列关系正确的是（ ）ABCD19.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（ ）（A）命题p不一定是假命题 （B）不一定是真命题（C）命题q一定是真命题 （D）命题p与命题q真值相同20.x2+2x-8=0”是“x-2=”的 （）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件21.命题“P或Q”是真命

19、题，命题“P且Q”是假命题，那么（ ） (A) 命题P和命题Q都是假命题 (B) 命题P和命题Q都是真命题（C）命题P和命题“非Q”真值不同 (D) 命题Q和命题“非P”真值相同22设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件23.在实数m，使方程x2mx10有实数根，则“非p”形式的命题是A.存在实数m，使得方程x2mx10无实根 B.不存在实数m，使得方程x2mx10有实根C.对任意的实数m，使得方程x2mx10有实根D.至多有一个实数m，使得方程x2mx10有实根24.若函数在其定义域内

20、是减函数，则”的逆否命题是A.若，则函数在其定义域内不是减函数B.若，则函数在其定义域内不是减函数C.若，则函数在其定义域内是减函数D.若，则函数在其定义域内是减函数25.如果命题“”为假命题，则A.p，q均为真命题 B.p，q均为假命题 C.p，q中至少有一个为真命题 D.p，q中至多有一个为真命题26.已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是A.B.C.D.27. “”是“”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 28. “成立”是“成立”的( )A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件29 “x>1”是“”成立的（ ）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分又不必要条件30.命题：“若，则”的逆否命题是（ ）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则 31.若集合，则“”是“”的 （