山东师大 数学分析试题

1、第八章 不定积分1 基本积分公式与换元积分法例1 求下列不定积分：（1）； （2）解（1）由于，因此得到 （2）解法一 由于，因此有解法二 利用换元积分法，令，则，于是有 说明 第（2）题解法二的优点在于当被积函数这个二项式的指数较大时（如求），处理起来不会增加任何困难；但若仍用解法一去计算，那将是十分繁琐的；更何况当不定积分变为，a为任意实数时，只能用解法二来计算。注意 第（2）题的两种解法所得结果在形式上虽不相同，但它们之间至多相差一个常数，可被容纳在积分常数C之内。例2 用第一换元积分法求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4） 解 （1）（2） （3） （4） = （令） 注

2、由第（2）题看到，三角函数的积化和、差公式在不定积分计算中起着关键性的作用。例3 用第二换元积分法求下列不定积分：（1）； （2）；（3）解 （1）令设，于是 （2）解法一 令，于是 解法二 利用已知的不定积分借助第一换元积分法，可得 （3）由于，因此若令，则有于是说明 在使用第二换元积分公式时，为保证和的存在，要求，为此应指出t的合适范围，这正如本例（1）与（2）的解法一中指出的例4 试用多种解法求不定积分解法一 令，于是因而 解法二 令，于是 因而 注 这里借助教材上册第185页上的例8，得到如上结果解法三 令，于是，因而 = 解法四 令，于是，因而 = 解法五 先把该不定积分变形为：然后

3、令，并由此解出， ， 因而 说明 本例使用了五种不同的换元法进行计算，其结果在形式上虽不相同，但均可相互转化，选择何种换元方法，应根据被积函数的特征，灵活应付。2分部积分法与有理函数的积分例1 求下列不定积分（降幂法）： （1）； （2）解 （1）令，于是，因而（2） 注 适合应用“降幂法”的不定积分有如下一些类型：，其中为某一n次多项式，对这些不定积分，只须令，（或），每用一次分部积分，便能使多项因子降幂一次；重复使用n次，可使多项式因子降幂成一常数，而剩下的是求（或）的不定积分。例2 求下列不定积分（升幂法）：（1）； （2）；（3）解（1）令，于是，因而 （2）令，于是，因而 （3） ,

4、而 ，从而求得注 适合应用“升幂法”的不定积分有如下一些类型：， （m为正整数）(及某些或).在使用分部积分法求上述各类不定积分时,只须令或,使用每用一次分部积分,多项式因子升幂一次,同时使或降幂,重复这个过程m次，最后化为求一多项式或一有理分式的不定积分。例3 求下列不定积分（循环法）：（1）； （2）；(3)解 （1）由前面问题2已知 ，并由此求得结果（2.6）,更一般地,按此法可得,(参见教材上册第188页例15)(2) ,于是得到 (3) ,同理得到 说明 若令,则,即化为题(2)的情形。注 适合应用“循环法”的不定积分有如下一些类型：， ，或某些类似于本例（2）、（3）那样的不这积分

5、，这些不定积分经若干次分部积分后，出现形如的“循环（或“重现”）形式，由此即可求得例4 求下列不定积分（递推法）：（1）； （2），其中n,m为正整数，并分别用以计算 和 解 （1）用“降幂法”计算得 ，这就得到递推公式：（初值：）利用此递推公式，易得 （2）用“升幂法”计算得 ，则有递推公式：（初值：）利用此递推公式，易得 说明 在计算有理函数的不定积分时，有一个重要的递推公式：（初值） （2.7）它也是通过分部积分而获得的（见教材上册第193页）。例5 计算不定积分解 对被积函数R(x)作部分分式分解： ，使得 令x=-1：；令；项的系数：；令 ， 令（常数项）： 从而有 （2.8）易见;

6、 ;再应用递推公式(2.7)，得 把这些结果代入（2.8）整理后得到 说明 （1）通过学习有理函数的不定积分计算法，知道任何有理函数都能求出它的原函数，只是当被积函数不太简单时，计算过程较为繁琐。（2）在懂得计算原理的基础上，我们就能较容易地学会使用计算机数学软件，这在今后工作中显得更为重要，例如，在MATLAB指令窗内键入。其中第一行指令是设定符号运算变量x；第二行指令是计算不定积分（int），在其后括号内的是用x表示的被积函数表达式（这里就是例5中的不定积分），按下“Enter”键后，该软件通过符号运算，一瞬间就会输出答案：其中“log”即为自然对数“ln”，“atan”即为反正切函数“a

7、rctan”，对照前面例5的最终答案，两者完全相同。§3三角函数有理式与简单无理式的积分例1 求下列三角函数有理式的不定积分（1）； （2）；（3）解 （1）由内容提要3°末的分析，这里取变换较为方便，且有 （2）由内容提要3°（3），应取则有 （令） （3）本题除一般解法（化为有理式的积分）外，还有一种较巧妙的解法，由于分母与分母的导数以及分子同为与的线性组合，因此设想：若能求得a、b，使得，则立即就可求得该不定积分，其实，把上式改写为，立即知道可由方程组，解出，于是就可求得 说明 以上第（2）题还可通过三角函数变形得到更方便的解法： = (令) 例2 求下列不定积分：（1）；（2） 解 （1）将被积函数的分母有理化，使所求不定积分变为分别求出： ； ； 从而求得 （2）把所求不定积分变形为令，解出， ， ，于是求得 例3 应用欧拉变换计算下列不定积分：（1）； （2） 解（1）由于无理根式中的二次三项式的系数，故可作欧拉变换 或 现取，两边平方后整理得 ， ， 于是有 （2）由于中的系数，且，因此可作欧拉变换 或 现取，两边平方后整理得， ，于是有 说明 （1）本例第（1）题如采用欧拉变换，则化为如下有理式的不定积分（2）如果把本例中的不定积分按教材第1