广义积分的收敛判别法

1、第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在a, + ）上的广义积分收敛的充分必要条件是：, 存在A>0, 使得b, >A时，恒有证明：对使用柯西收敛原理立即得此结论同样对瑕积分(为瑕点), 我们有定理9.2（瑕

2、积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在a,b)上有定义，在其任何闭子区间a, b上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: , , 只要0<，就有定义9.5如果广义积分收敛，我们称广义积分绝对收敛（也称f(x)在a,+上绝对可积; 如收敛而非绝对收敛，则称条件收敛，也称f(x)在a,+上条件可积由于，均有 因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理定理9.3如果广义积分绝对收敛，则广义积分必收敛它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法比较判别法：定理9.4（

3、无限区间上的广义积分）设在a,+)上恒有（k为正常数）则当收敛时, 也收敛;当发散时, 也发散证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5 设f(x), g(x) 均为a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使a, b), 则1） 如收敛，则也收敛。2）如发散，则也发散比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式定理9.6 如果f(x), g(x)是a,+上的非负函数, 且 则(1) 如果, 且收敛, 则积分也收敛(2) 如果, 且发散，则积分也发散证明：如果 则对于, 存在A,当时, 即成立. 显然与同时收敛或同时发散，在l=0或

4、l=时，可类似地讨论.使用同样的方法，我们有定理9.7 对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与 如果f(x), g (x) 是非负函数，且 则（1） 当, 且收敛时，则也收敛（2） 当，且发散时，则也发散对无限区间上的广义积分中，取作比较标准，则得到下列Cauchy判别法：设f(x)是a,+的函数，在其任意闭区间上可积,那么:定理9.8若0f(x)， p>1,那么积分收敛，如f(x)，p1,则积分发散其极限形式为定理9.9 如 (, p>1), 则积分收敛如, 而, 1, 则发散.例9.8 判断下列广义积分的收敛性。(1) (2) (m>0, n>0)解：（1）因为0由收敛推出

5、收敛（2）因为 所以当nm>1时，积分收敛. 当nm1时，积分发散对于瑕积分，使用作为比较标准，我们有下列柯西判别法定理9.10设x=a是f(x)在a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1） 如0f(x) (c>0), p<1, 则收敛（2） 如f(x) (c>0), p1, 则发散瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理9.11 设如0k<, p<1, 则收敛如0<k, p1, 那么发散例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。(1) (k2<1)(2) (p,q>0)解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 =由知瑕积分收敛（2）0与都

6、是被积函数的瑕点先讨论 由知: 当p<1时, 瑕积分收敛; 当p1时,瑕积分发散再讨论 因所以当 q<1时, 瑕积分收敛，当q1时，瑕积分发散综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分收敛; 其他情况发散例9.10 求证: 若瑕积分收敛，且当时函数f(x)单调趋向于+，则x f(x)=0.证明：不妨设, f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上单调减少。已知收敛，由柯西收敛准则，有, (<1), 有从而0<或0<x f(x)即x f(x)=0.例9.11 求证瑕积分(>0), 当<时收敛当时发散.证明:=所以当3<1时，即<时，瑕积

7、分收敛当31，即时，瑕积分发散前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在a,b上可积，f(x)在a,b上单调，则存在a,b使=为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况引理9.1设f(x)在a, b上单调下降并且非负，函数g(x)在a,b上可积，则存在ca,b，使 =f(a)证明：作辅助函数= f(a) 对a,b的任一分法P: a=x0<x1<x2<<xn=b我们有=由此得到|=|xi这里L是|g(x)|在a,b的上界, 是在上的振幅，从这个估计式可知, 当时

8、,应当有 我们来证明 为此，引入记号 G(x)= 并作如下变换=（）=因为, , 所以 = =同样可证 我们证明了不等式 即现令|p|, 取极限，就得到 因此，存在ca,b，使得 =（因为在上是连续函数）也就是= 证毕下面我们证明定理9.12证明：如f(x)是单调下降的，则f(x)f(b)单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在ca,b, 使 =即 =对f(x)单调上升的情形，可作类似讨论.使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法定理9.13若下列两个条件之一满足，则收敛（1）（Abel判别法）收敛，g(x)在a,上单调有界;（2）（Dirichlet判别法）设F(

9、A)=在a,上有界，g(x)在a,上单调, 且g(x)=0.证明：（1）, 设|g(x)|M，a,), 因收敛，由Cauchy收敛原理，, 使时, 有由积分第二中值定理，我们得到 +=再由Cauchy收敛原理知收敛(2) 设M为F(A)在a,+上的一个上界，则, 显然有同时, 因为g(x)=0，所以存在, 当x>A0时, 有 g(x)|<于是，对有 +=由Cauchy收敛原理知收敛例9.12 讨论广义积分的敛散性，解：令f(x)=, g(x)=cosx则当x时，f(x)单调下降且趋于零，F(A)= =在a,上有界由Dirichlet判别法知收敛，另一方面因发散，收敛从而非负函数的广

10、义积分发散由比较判别法知发散，所以条件收敛例9.13 讨论广义积分的敛散性解：由上一题知，广义积分收敛, 而arctanx在a, +上单调有界，所以由Abel判别法知收敛。另一方面, 当时, 有前面已证发散由比较判别法知发散, 所以条件收敛.对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法定理9.14若下列两个条件之一满足，则收敛：（b为唯一瑕点）（1）（Abel判别法）收敛, g(x)在a,上单调有界(2) (Dirichlet判别法) =在a, 上有界, g(x) 在(上单调, 且.证明: (1) 只须用第二中值定理估计 读者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的

11、证明.(2) 读者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证明.例9.14 讨论积分 (0<p2) 的敛散性解: 对于0<p<1 , 因为 由收敛知 绝对收敛敛对于0p<2, 因为函数f(x) =, 当时单调趋于0, 而函数 g(x)= 满足所以积分收敛.但在这种情况下, 是发散的, 事实上由因发散, 收敛, 知 发散从而当0p<2时, 积分条件收敛. 最后我们讨论p=2的情形, 因为 当时, 上式无极限, 所以积分发散.值得注意的是, 两种广义积分之间存在着密切的联系, 设中x=a为f(x)的瑕点, 作变换y=, 则有 = 而后者是无限区间上的广义积分. 习题 9.21、 论下列积分的敛散性（包括绝对收敛， 条件收敛， 发散）(1)；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) 2证明：若瑕积分收敛， 且当时， 函数f(x)单调趋于+， 则x f(x)=03. 若函数f(x)在有连续导数f /(x)， 且无穷积分与都收敛， 则 f(x)=0