平面向量的数量积导学案

1、河北孟村回民中学高一数学导学纲 编号 班级 姓名 年级高一作者温静时间课题2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，.【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用.【导学流程】一、了解感知：（一）知识链接：1、向量加法和减法运算的法则_. 2、向量数乘运算的定义是 .3、两个非零向量夹角的概念：_.思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？（二）自主探究：（预习教材P103-P106）探究1：如下图，如果一个物体在力的

2、作用下产生位移，那么力所做的功= ，其中是 .请完成下列填空：F（力）是 量；S（位移）是 量；是 ；W（功）是 量；结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的乘积启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢？新知1向量的数量积（或内积）的定义已知两个非零向量和，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即 注：记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即。探究2：向量的数量积运算与向量数乘运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？小组讨论，完成下表：的范围0°<

3、90°=90°0°<180°·的符号新知2：向量的数量积（或内积）几何意义（1）向量投影的概念：如图，我们把叫做向量在方向上的投影；叫做向量在方向上的投影. 说明：如图，. 向量投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为_值；当为钝角时投影为_值；当当q = 0°时投影为 _；当q°时投影为_；当q = 180°时投影为_.（2）向量的数量积的几何意义：数量积·等于的长度与在的方向上的投影 的乘积。新知3：由定义得到的数量积的结论 设和都是非零向量，是与的夹角，则(1)当与垂直时，即 ；（向量垂直

4、的条件）(2)当与同向时，= ；当与反向时，= ；特别的当，即= ，则 ；（向量的求模公式）(3)（向量的夹角公式） (4）因为，所以 .二、深入学习1.已知，和的夹角为，则=_2.（2010江西） 已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影是 ；3.设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 三、迁移运用1.已知正方形的边长为2，为的中点，则变式练习（1）、在平行四边形ABCD中 ，APBD，垂足为P，则= .（2）、已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为_. 四、达标检测1.在平行四边形中，则为（ ） A.4 B.-4 C.8 D.-8 2. 已知，当时，为（ ） A.钝角三角形

5、B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 3.若四边形满足，且，则四边形是（ ）. A.平行四边形 B. 矩形 C.菱形 D.正方形 4. 已知，且，则向量在向量的方向上的投影为 .5判断下列命题的真假，并说明理由.（1）、为直角三角形，则.（2）、中，若，则是钝角三角形；若，结论还成立吗？（3）、中，若，则是锐角三角形；7.已知8（2013全国新课标）已知两个单位向量 的夹角为，河北孟村回民中学高一数学导学纲 编号 班级 姓名 年级高一作者温静时间课题2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；【重点】

6、重点是数量积的定义、几何意义及运算律，.【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用.【导学流程】一、了解感知：（一）知识链接：1向量的数量积（或内积）的定义 2. 向量在方向上的投影 ；3：向量的数量积（或内积）几何意义 （二）自主探究：新知4：数量积的运算律(1)_;(2)_=_;(3) _.二、深入学习 变式练习：1、2、变式练习：（2011新课标）已知为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则=_.三、迁移运用1、在平行四边形ABCD中 ，APBD，垂足为P，则= .2、已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为_. 四、达标检测1.在平行四边形中，则为（ ） A.4 B.-4

7、C.8 D.-8 2. 已知，当时，为（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 3.若四边形满足，且，则四边形是（ ）. A.平行四边形 B. 矩形 C.菱形 D.正方形 4. 已知，且，则向量在向量的方向上的投影为 .5判断下列命题的真假，并说明理由.（1）、为直角三角形，则.（2）、中，若，则是钝角三角形；若，结论还成立吗？（3）、中，若，则是锐角三角形；7.已知8（2013全国新课标）已知两个单位向量 的夹角为，河北孟村回民中学高一数学导学纲 编号 班级 姓名 年级高一作者温静时间课题2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1. 熟练掌握向量垂直的两种形式

8、的等价条件； 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.【重点】1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式（夹角公式）； 2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.【难点】1. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法及其变式（夹角公式）； 2、熟练掌握向量垂直的两种形式的等价条件；【导学流程】一、了解感知：（一）知识链接：1、向量数量积的运算律：向量数量积的交换律：.向量的数量积的分配律： . .（二）自主探究：探究1：平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，怎样用与的坐标表示呢？思考1：设、是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若两个非零向量(), ()，则向量与

9、用、分别如何表示？思考2：对于上述向量、，则 2 = ， 2 = ， · = 根据数量积的运算性质， = 新知1：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即.探究1：由平面向量数量积的坐标表示可以得到哪些结论呢？思考1：设向量()，利用数量积的坐标表示，= 思考2：如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(), ()，那么向量的坐标如何表示？= 思考3：设向量(), ()，若，则，之间的关系如何？ 反之成立吗？ 思考4：设、是两个非零向量，其夹角为，若(), ()，那么cos如何用坐标表示？ 新知2：若，则，或.若，则，则.若，则.两个非零向量是与的夹角， 则二、深入学习例

10、1、（1）已知，求，及之间夹角余弦值. （2） 已知，求，变式：在ABC中，=(1, 1)，=(2, k)，且ABC的一个内角为直角，求k值。小结：向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一.例3、 已知，若，试求的值.三、迁移运用1. 已知，则等于（ ） A. B. C. D.2. 若，则与夹角的余弦为（ ） A. B. C. D.3. 若，则等于（ ） A. B. C. D.4. ，则= .5. 已知向量，若，则 .四、当堂检测1、若=(3，4)，=(5，2)，则·（ ）A.23 B.7 C. 23 D. 72、若=(3，4)，=(5，12)，则与夹角的余弦值为（ ）A. B