向量的运算和应用

1、向量的运算及应用知识梳理：1.向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的（或）向量AB模零向量长度为的向量，其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量常用 表示平行向量方向或的非零向量a与b共线可记为0与任一向量共线向量向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量a与b相等记作相反向量长度且方向的向量（1）a与b为相反向量，则（2）0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律（1）交换律：a+ b=.加法求两个向量和的运算法则结合律(a + b) + c =法则减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的a法差则(1)1 _（2）当入0

2、寸，入a的方向与a入（u=a）求实数入与向量a的积的数乘的方向：当入0寸，入a（甘卩）（a运算（a非零向量）的方向与a的方向：当入（缶b）=X= 0 时，入a2. 平面向量基本定理及坐标表示(1) 平面向量基本定理定理：如果ei, e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数入，d 使a =入ei+ te.其中，不共线的向量 e1, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 平面向量的坐标表示：a = xi + yj，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a=3. 平面向量的坐标运算：(1)加法、减法、数乘运算.(2)向量坐标的求法：已知A(xi,yi) , B(X2

3、, y2),则AB = (x2 X1 , y2 y1),即一个向量的坐标等于其 的相应坐标减去 的相应坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设 a = (X1, y”，b= (X2, 丫2),其中0,贝U a 与 b 共线？ a = _? .4. 平面向量的坐标运算：(1)已知点A(x 1, y1), B(X2, y2)，则AB =,f|AB | =(2) 已知 a= (X1,y1),b= (X2,丫2)，贝 1 a+ b =,a b=,入尸, a/ b的充要条件是 .(3)非零向量a的单位向量为 a.ff5. 两个向量的夹角：(1)定义：已知两个向量a和b,作OA = a, OB = b,则/

4、AOB =B叫做向量a与b的夹角.(2) 范围：向量夹角 B的范围是 , a与b同向时，夹角 0= _; a与b反向时，夹角 0= n.(3) 向量垂直：如果向量 a与b的夹角是，贝U a与b垂直，记作 .6. 平面向量的数量积(1) 已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为 0,则数量|a| |b|cOS做9a与b的数量积(或内积)，记作规定：零向量与任一向量的数量积为_.两个非零向量a与b垂直的条件是 ，两个非零向量a与b平行的条件是ab =±a|b|.(2) 向量的投影定义：设 0为a与b的夹角，贝U |a|cos 0 (|b|coSH做向量a在_方向上(b在_方向上)的 投影.

5、(3) 平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度|a与 b在a方向上的射影 的乘积.7. 平面向量数量积的重要性质(1)e a= a e=; (2)非零向量a, b, a丄b? ; (3)当a与b同向时，a =,当 a 与 b 反向时，a b =, a a= a2, |a|=; (4)cos =; (5)|a b|a|b|.&平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a= (xi, yi), b = (X2, y2)，则 a b =，由此得到(1)若 a= (x, y)，则 |af =或|a|=设 A(xi, y”，B(x2, 丫2),贝U A、B两点间的距离 |AB| = |A

6、B |=.(3)设 a= (xi, yi), b= (x2,讨2，则a 丄 b?.向量a与b的夹角为 0,贝U cos 0=典型例题例1.在下列各命题中为真命题的是()*fc-r fc- 若 a=(xi,yi)、 b=(x2,y2),则 a b=xiyi+x2y2 若 A(xi,yi)、B(X2,y2)，则丨 AB I = . ( -x? )2 (% -y?)2¥>F¥> F 若 a=(Xi,yi)、b =(x2,y2),则 a b=0二 xiX2+yiy2=0 若 a=(xi,yi)、b=(x2,y2),贝U a 丄 b= xix2+yiy2=0A、B、C、D

7、、例2 平面内给定三个向量 a= (3,2), b= ( i,2), c= (4,i).(i)若(a+ kc) / (2b a)，求实数 k；设 d = (x, y),满足(d c) / (a+ b)，且|d c|= i,求 d.例 3 设向量 a、b 满足：| a I = | b I =i,且 a + b =(i, 0),求 a , b、例 4.已知向量 OR,OF2,OP3 满足条件 OR +OP2+OP3 =0 , OR =OP2 =OP3 =i ,求证：APBR是正三角形例 5.已知梯形 ABCD 中，AB / CD，/ CDA= / DAB=90 ,CD=DA詔 AB、 求证：AC丄

8、BC例 6已知 a =(1,0),b =(2,1). 求|a 3b | ； 当k为何实数时，ka b与a 3b平行，平行时它们是同向还是反向？跟踪练习：1已知 a=( .3 ,-1), b=(i, .3)，那么 a , b 的夹角 9 =()A、30 ° B、60 °C、120° D、150°2. 已知下列各式：a2= |a|2呻=“(a b)2= a2 b2(a b)2= a2 2a + b2其中正确的有 a a个.( )A. 1 B. 2C. 3 D. 43. 设 A、B、C、D 四点坐标依次是(一1, 0), (0, 2), (4 , 3), (3

9、, 1),则四边形 ABCD 为()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形154已知 ABC 中，AB= a, AC = b, a b<0, S"bc=,|a|=3,|b|=5则 a 与 b 的夹角是()4A.30 °B. 150 °C.150 °D.30 或 150 °5、若 |a|=|b|=|a b|,则 b 与 a+b 的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°6、 已知|a|=1,|b|= 2，且(a b)和a垂直，则a与b的夹角为( )A. 60°B. 30°C. 135°D. 45°7、 设a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线，则()(ab)c (ca)b