3.5确定圆的条件课时练习(含答案解析)(20220213054950)

1、1北师大版数学九年级下册第 3 章第 5 节确定圆的条件同步检测一、选择题1.下列命题中，正确的是（）A .平面上三个点确定一个圆B .等弧所对的圆周角相等C.平分弦的直径垂直于这条弦D .与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线答案：B解析：解答：A .三个点不共线的点确定一个平面，故A 不正确；B 由圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，故选项 B 正确；C.平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；D .与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线，错误，正确的应该是：一条直线垂直于圆的半径的外端，这条直线一定就是圆的切线故此选项错误；故选：

2、B.分析：根据在一条直线上的三点就不能确定一个圆可以判断A，再利用圆心角定理得出B正确；由当弦为直径时不垂直也平分，以及利用切线的判定对D 进行判定.2.下列说法错误的是（）A .直径是弦B .最长的弦是直径C.垂直弦的直径平分弦D .经过三点可以确定一个圆答案：D解析：解答：A .直径是弦，根据弦的定义是连接圆上两点的线段，故此选项正确，但不符合题意，B .最长的弦是直径，根据直径是圆中最长的弦，故此选项正确，但不符合题意，C.垂直弦的直径平分弦，利用垂径定理即可得出，故此选项正确，但不符合题意，D .经过三点可以确定一个圆，利用经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意，

3、故选：D.分析：根据弦的定义，以及经过不在同一直线上的三点可以作一个圆可判断和垂径定理分别得出即可.23.下列命题中的假命题是（）A .三点确定一个圆3B .三角形的内心到三角形各边的距离都相等C.同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等D.同圆中，相等的弧所对的弦相等答案：A 解析：解答：A.应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；B. 三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；C. 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；D. 同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确.故选 A .分析：根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析

4、判 断后利用排除法求解.则厶 ABC 外接圆的圆心坐标是（）答案：B解析：解答：第块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平4如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C 的坐标分别为（1 , 4）(5, 4)、( 1 , -2),A .( 2, 3)答案：DB .( 3, 2)C.( 1, 3)D.( 3, 1)1AAr=z/1p.Jf*s厶根据垂径定理的推论， 则作弦 AB、AC 的垂直平分线, 故选 D .分析： 根据垂径定理的推论弦的垂直平分线必过圆心 圆心.交点。1即为圆心，且坐标是（3, 1）.”，作两条弦的垂直平分线，交点即为5小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中

5、四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A .第块B .第块C .第块D .第块解析：解答：如图:4分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长.故选：B.分析：要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第块可确定半径的大小.6到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A .三边的垂直平分线的交点B .三条高的交点C.三条角平分线的交点D .三条中线的交点答案：A解析：解答：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等.故选：A分析：根据三角形外心的作法

6、，确定到三定点距离相等的点.7小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm 和 2cm,若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（）A . 2cm B . 3cmC. 2cm 或 3cm D . 2cm 或.5 cm答案：A解析：解答：由题意，若圆布的直径最小，那么2cm 必为直角三角形的斜边长；由于直角三角形的外接圆等于斜边的长，所以圆布的最小直径为2cm,故选 A .分析：由于已知的三角形两边没有明确是直角边还是斜边，因此有两种情况：11cm、2cm 同为直角边，1cm 为直角边，2cm 为斜边；由于直角三角形的外接圆直径等于斜边的长，若外接圆

7、直径最小，那么直角三角形的斜边最小，显然是不符合题意，因此直角三角形的斜边为2cm,即圆布的最小直径是 2cm.8.下列说法中错误的是（）A .三角形的外心不一定在三角形的外部B .圆的两条非直径的弦不可能互相平分C.两个三角形可能有公共的外心D .任何梯形都没有外接圆答案：D解析：解答：A.根据三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，则三角形的外心的位 置有三种情5况.正确；B. 根据垂径定理的推论可以运用反证法证明可知，该选项错误；C. 因为一个圆有无数个内接三角形，所以两个三角形可能有公共的外心.正确；6D.等腰梯形一定有外接圆.错误.故选 D .分析：本题根据三角形的外接圆与外心的位

8、置及其性质特点，逐项进行分析即可求解.9如图，已知 ABC 的外接圆OO 的半径为 1, D , E 分别为 AB, AC 的中点，贝Usin/ BAC 的值等于线段()/ D、E 分别是 AB、AC 的中点,BC DE 是厶 ABC 的中位线，即 DE=,BC sin A=si nF= = DE2 故选 B .分析：本题需将/ BAC 构建到直角三角形中求解，过BCBC圆周角定理，知/ F= / A;在 Rt BCF 中，易求得 sinF=，而 DE 是厶 ABC 的中BF 2位线，即 DE=BC，由此得解.210.如图，AD 是厶 ABC 的高，AE 是厶 ABC 的外接圆OO 的直径，且

9、 AC=5, DC=3, AB=4 2，则OO 的直径 AE=()B . DE 的长C. AD 的长D. AE 的长BCF=90,BC2B 作OO 的直径，交OO 于点 F,由A. BC的长交OO 于 F，连接 FC,则/7A.5.2C.4 2D.3 28E答案：A解析：解答：如图:连接 BE，则/ BEA=/ACB，且三角形 ABE 是直角三角形.在 RtAACD 中，AC=5, DC=3,则 AD=.AC2- DC2= .52- 32= 4AD 4sin/ BEA=sin/ACB=AC 5故OO 的直径AE = - = 5 J2si nDBEA故选 A .分析：连接 BE 易知/ BEA=

10、 / ACB，解直角三角形 ABE 即可求出 AE.311.如图，OO 是厶 ABC 的外接圆，连接 OA、OC,OO 的半径 R=2, sinB=，则弦 AC 的4长为（）- A. 3 B.C.D.答案：A解析：解答：延长 AO 交圆于点 D，连接 CD ,9/ si nD =sin B=-，JRtAADC 中，sinD=_, AD=2R=4,电 AC=AD?si nD=3.故选 A.分析：若想利用/ B 的正弦值，需构建与它相等的圆周角， 延长 AO 交OO 于 D，在 RtAADC 中，由圆周角定理，易得/ D =ZB，即可根据/ D 的正弦值和直径 AD 的长，求出 AC 的长.12三

11、角形的外心是三角形中（）A .三边垂直平分线的交点 B .三条中线的交点C.三条角平分线的交 D 三条高的交点答案：A解析：解答：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.故选：A.分析：根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，解答即可.13、有下列四个命题，其中正确的有（）1圆的对称轴是直径；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧.A . 4 个 B. 3 个 C . 2 个 D . 1 个答案：C解析：解答：圆的对称轴是直径所在的直线；故此选项错误；2当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；3三角形的外心是三角形三边的垂直平

12、分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；4在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确.故选：C.分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断.ACD=90, /D=ZB1014、若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是()A 等腰三角形B 直角三角形 C.等边三角形D 钝角三角形答案：B解析：解答：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形.故选：B.分析：根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是

13、直角三角形.15.如图， ABC 中，/ A、/ B、/ C 所对的三边分别记为 a, b, c, O 是厶 ABC 的外心,OD 丄 BC, 0E 丄 AC, OF 丄 AB，贝 OD : OE : OF=() JD-C111A. a： b： cB.一:C. cosA:cosB:cosCD . si nA:si nB:si nCabc答案：C解析：解答: 设三角形的外接圆的半径是R.连接 OB, OC./ 0 是厶 ABC 的外心，且 OD 丄 BC./ BOD= / COD= / A在直角OBD 中，OD = OB?cos/ BOD = R?cosA.同理，OE=R?cosB, OF =

14、R?cosC. OD : OE: OF=cosA： cosB: cosC.故选 C.分析：设三角形的外接圆的半径是 R,根据垂径定理，在直角 OBD 中，利用三角函数即 可用外接圆的半径表示出 OD 的长，同理可以表示出 OE, OF 的长，即可求解.、填空题1116.当点 A (1, 2), B(3,-3), C ( m, n)三点可以确定一个圆时，m, n 需要满足的条件_ .答案：5m+2 n9解析：解答：设直线 AB 的解析式为 y=kx+b, A (1 , 2), B ( 3, -3),l3k+b = -3解得：k=-2.5 , b=4.5 ,直线 AB 的解析式为 y=-2.5 x

15、+4.5 ,点 A (1, 2), B (3, -3), C (m, n)三点可以确定一个圆时，-点 C 不在直线 AB 上, 5m+2 n 工9,故答案为：5m+2 n9.分析：能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB 的解析式，然后点 C 不满足求得的直线即可.17平面直角坐标系内的三个点A (1, 0)、B ( 0, -3)、C (2, -3) _确定一个圆(填能”或不能”).答案：能解析：解答： B (0, -3)、C (2, -3), BC / x 轴，而点 A (1, 0 )在 x 轴上，点 A、B、C 不共线，三个点 A (1 , 0)、B (0, -3 )、C (2,

16、-3 )能确定一个圆.故答案为：能.分析：根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆.18.如图 ABC 中外接圆的圆心坐标是 _ .12答案：（6, 2）.解析：解答：如图:OBC 是等边三角形,/ BOC=60, / A=30 .若点 A 在劣弧 BC 上时，/ A=150 .:丄A=30 或 150故答案为：30或 150分析：利用等边三角形的判定与性质得出/ BOC=60 ,再利用圆周角定理得出答案.20.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距.如图，在RtA ABC 和 RtA ACD 中，/ ACB = Z ACD =90 ,点 D 在边 B

17、C 的延长线上，如果 BC=DC=3，那么ABC 和厶 ACD 的外心距是_ 分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6, 2）,即厶 ABC 中外接圆的圆心坐标是（6，2）.故答案为：（6, 2）.分析：本题可借助网格在网格中根据三角形三边的位置作出它们的垂直平分线,相交于一点，该点就是圆心，根据网格中的单位长度即可求解.垂直平分线19已知 ABC 的边 BC=4cm, OO 是其外接圆，且半径也为 4cm,则/ A 的度数是 _答案：30或 150.解析：解答：如图：连接 BO, CO,/ ABC 的边 BC=4cm, OO 是其外接圆，且半径也为4cm,13答案：3解析：解答：/

18、ACB=/ ACD=90 , RtAABC 和 RtAACD 分别是 AB, AD 的中点，1两三角形的外心距为ABD 的中位线，即为 _ BD=3.2故答案为：3.分析：利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为 ABD 的中位线，即可得出答案.三、证明题21.如图所示，BD , CE 是厶 ABC 的高，求证：E, B, C, D 四点在同一个圆上.答案：见解析解析：解答：如图所示，取 BC 的中点 F,连接 DF , EF . BCD 和厶 BCE 都是直角三角形. DF , EF 分别为 RtABCD 和 RtABCE 斜边上的中线， DF = EF=BF=CF.1 E, B, C,

19、D 四点在以 F 点为圆心，BC 为半径的圆上.2分析：求证 E, B, C, D 四点在同一个圆上，BCD 是直角三角形，则三个顶点在斜边中 点为圆心的圆上，因而只要再证明F 到 BC 的中点的距离等于 BC 的一半就可以.22.如图，ADABC 外接圆的直径， AD 丄 BC ,垂足为点 F, / ABC 的平分线交 AD于点E,连接 BD, CD .(1) 求证：BD=CD ;(2) 请判断 B, E, C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上？并说明理由.14答案：略解析：解答：（1）证明：/ AD 为直径，AD 丄 BC,二BD = CD BD = CD.（2） B, E

20、, C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上. 理由：由（1）知：BD = CD ,/BAD =ZCBD,又 BE 平分/ ABC, CBE= / ABE,/DBE =ZCBD+/CBE, /DEB=/BAD+/ABE, /CBE=ZABE,/DBE =ZDEB,DB=DE.由（1）知：BD=CD DB = DE = DC. B, E, C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上.分析：（1）利用等弧对等弦即可证明.（2）利用等弧所对的圆周角相等，/ BAD= / CBD 再等量代换得出/ DBE= / DEB，从而证明 DB=DE=DC，所以 B, E, C 三点在以 D 为圆

21、心，以 DB 为半径的圆上.23.如图，在 ABC 中，AB=AC,OO 是厶 ABC 的外接圆，AE 丄 AB 交 BC 于点 D，交OO 于3点 E, F 在 DA 的延长线上，且 AF=AD .若 AF=3, tan/ABD = ，求OO 的直径.415/ AF=AD , AB 丄 EF , BF=BD .是直径/ AB=AC,/FBA =ZABC=ZC=/E.3/tan/ABD=,43tanE=tan/FBA=.4在 RtAABF 中，/ BAF=90 .,AF=3, AB=4./BAE=90 , BE 是OO 的直径.3/ tanE=tan / FBA=4设 AB=3x, AE=4x

22、, BE=5x,/3x=4, BE=5x=20,3即OO 的直径是 Z03分析： 如图， 连接 BE.利用等腰三角形 三线合一 ”的性质得到 BF=BD;然后根据圆周角定 理推知/ FBA=ZABC= / C=ZE, BE 是OO 的直径利用锐角三角函数的定义可以来求BE tan / FBA=AF=3AB 4,AB=4,解析：解答：如图，连接 BE.16的长度.24已知在厶 ABC 中，AB=AC=10, BC=16，求 ABC 外接圆的半径.解析：解答：过 A 作 AD 丄 BC 于 D，连接 BO , ABC 中，AB=AC, AD 丄 BC,则 AD 必过圆心 0,RtAABD 中, AB=10, BD=8 AD=6,设OO 的半径为 x,RtAOBD 中，OB=x, 0D=6-x根据勾股定理，得：欄匸-：牌肿，即:二二 j-d25解得：x=3则厶 ABC 外接圆的半径为：-.3分析：已知ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A 作底边 BC 的垂