中国未来养老金系统的风险分析

1、中国未来养老金系统的风险分析摘要在对中国未来养老金系统的风险分析中，首先采用了两种人口预测模型模型和模型，进行对比优化后，我们采用了残差平方和较小的模型所预测出的结果，再对不同通货膨胀率下，所预测未来养老金规模是否能真正保障退休水平。对于问题一，将从中国统计年鉴中导出1970年到2013的人口数据，来预测出中国未来40年的人口结构。且对于人口结构，我们将其简单化，仅考虑性别、是否老龄化和城镇农村所占比例。对此考虑采用模型、模型进行预测，编程得出结果，预测出中国未来40年的人口结构。将二者结果进行比较，推测出最优化模型为。由于人口增长限制条件的增多，进行模型的推广，可使用模型，再分析出中国老龄化

2、的速度。对于问题二，利用从中国统计年鉴得出的1995年到2013年养老金规模的数据，建立在问题一模型和模型的基础上，同样利用编程，预测出未来的养老金规模。考虑让两模型进行比较，将得出较精确的数据。对于问题三，考虑未来养老金能否真正保障退休水平，是建立在一定水平的通货膨胀率下，关键是涉及到养老人均保险和人均消费之间的关系，再其寻找一个真正能保障退休水平的条件。对于问题四，考虑解决未来“养老难”的可行性方法，先需要了解社会当前养老现状，在经济、政策和社会观念上进行分析。根据实际情况合理提出解决未来“养老难”的可行性方法。 关键词：模型、模型、居家养老方式1 问题重述中国的养老金制度面临一胎化政策、

3、人口老龄化、及通膨加剧、社保基金收益低等一系列问题。请各参赛队根据自身实际情况考虑以下全部或仅其中的几个问题。（1）利用人口模型（如：Leslie 模型等），分析中国未来 40 年内的人口结构，分析中国老龄化的速度。 （2）查找统计年鉴1等各种资料，找出中国已公布的历年养老金规模，并根据相关数据预测未来的养老金规模。（3）在不同水平的通货膨胀率下，结合（2）的结果说明未来养老金是否能真正保障退休水平（收入为当时居民收入的平均收入水平或一些保证生活所需的收入水平）。（4）根据相关资料结合自己学习的知识，提出解决未来“养老难”的可行性方法。2 问题分析2.1问题1的分析根据问题一，要预测分析出中国

4、未来40年内的人口结构，并推测出中国老龄化的速度。要从中国统计年鉴得出的1970到2013年的人口数据，且人口结构比较复杂，我们将其优化和简单化，仅考虑性别、是否老龄化和城镇农村所占比例。分析所得数据，发现城镇人口逐渐增多，老龄化人数也随着时间的增多而增多，男女人口比例依然趋向于1：1。由于有关人口模型的数学模型比较多，所以考虑采用模型、模型这两种数学模型分析预测出中国未来40年内的人口结构，编程得出数据后，进行对比，将取得较优化模型，可再进行模型的推广。则将分析出中国人口老龄化的速度。2.2 问题2的分析根据问题二，要预测未来养老金规模，可使用与问题一同样的两种模型模型和模型。所以对问题二的

5、解答，考虑建立在问题一的基础上进行解答。并同样将两模型进行比较分析，利用进行编程，寻找一个较精确的答案。2.3 问题3的分析对于问题三，应先考虑通货膨胀率，根据资料查询，可知有三类：温和的或缓行的通货膨胀、疾驰的或奔腾的通货膨胀和恶性通货膨胀。要在这三类通货膨胀率下，考虑未来养老金能否在此条件下真正保障退休水平。据分析，养老人均保险和养老人均消费的大小关系是与保障退休水平息息相关的。所以在考虑退休水平的保障问题时，应先考虑每月工资是否能支撑起养老人均保险和消费。2.4 问题4的分析对于问题四，要提出解决未来“养老难”的可行方案。我们应先分析现在养老存在什么问题，现状如何，再根据现有的条件，还有

6、当今的政策，寻求一个最佳解决方案。3 模型假设 1. 假设从中国统计年鉴中所得的数据真实可靠；2在稳定的环境下，每个年龄类的女性在每一个时间段内的生殖率和死亡率的假设是合理的；3假设除了资源有限，还有出生率和死亡率的影响，别的影响人口增长的限制条件都不存在；4不考虑移民对人口总数的影响；5在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变。4 定义与符号说明：时间变量。：时刻的人口数。：人口的增长率（增长率=出生率死亡率）。：自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数。：随着人口的增加而减少的量。：第次观察时第个年龄类的女性人数。：第个年龄类的女性在每一时间段内的生殖率。：第个年龄类的女性在每一时间段

7、内的死亡率。5 模型的建立与求解5.1 问题一的解答 模型的建立假设表示时刻的人口数，且连续可微。且人口的增长率是常数（增长率=出生率死亡率），并已知人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个个体都具有同样的生育能力和死亡率。时刻到时刻人口的增量为：于是得：可化简为： 模型的求解从上式可得，利用解得、。得到残差值为，这样可预测出未来40年的总人口数据： 表5.1.1 单位：万人年份20142015201620172018201920202021人数145482.81 147143.44 148823.02 150521.77 152239.92 15

8、3977.67 155735.27 157512.92 年份20222023202420252026202720282029人数159310.87 161129.34 162968.56 164828.78 166710.23 168613.16 170537.81 172484.43 年份20302031203220332034203520362037人数174453.27 176444.59 178458.63 180495.66 182555.95 184639.75 186747.33 188878.98 年份20382039204020412042204320442045人数1910

9、34.96 193215.54 195421.02 197651.67 199907.78 202189.65 204497.56 206831.82 年份20462047204820492050205120522053人数209192.72 211580.57 213995.67 216438.35 218908.90 221407.66 223934.93 226491.06 如表5.1.1得，人口呈指数规律的增长，则趋于无限的增长，过于理想化。不符合现实情况。 模型（阻滞增长模型）的建立地球的资源是有限的，它只能提供有限数量的生命生存所需的条件，随着人口数量的增加，自然资源，环境条件等对

10、人口再增长的限制作用将越来越显著，所以当人口增加到一定的数量之后，假设表示人口的函数，可视为一个随着人口数的增加而减少的量，即为的减函数。且设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数为，当=时，增长率=0。可得：则有： 解为： 模型（阻滞增长模型）的检验由上式可得 人口总数有如下的规律：（1） ，即无论人口初值如何，人口总数都以为极限。（2） 当0<<时，>0，这说明是单调增加的。又由上式可知，当<时，>0，为凹函数；当>时，<0，为凸函数。（3） 人口变化率在时取到最大值，即人口总数达到极限值一半以前是加速生长时期，经过这一点之后，生长速率会逐渐变小，

11、最终达到0. 模型（阻滞增长模型）的求解由以上可得，总结出，残差值为，相对于模型，残差值为。易得，模型的残差值更小，所预测数据更为精确，则总人口数据为：表5.1.2 单位：万人年份20142015201620172018201920202021人数137456.20 138092.08 138705.42 139296.79 139866.78 140415.99 140944.99 141454.38 年份20222023202420252026202720282029人数141944.73 142416.63 142870.63 143307.30 143727.19 144130.85

12、144518.82 144891.61 年份20302031203220332034203520362037人数145249.75 145593.73 145924.06 146241.20 146545.64 146837.82 147118.19 147387.18 年份20382039204020412042204320442045人数147645.22 147892.72 148130.06 148357.64 148575.82 148784.98 148985.45 149177.57 年份20462047204820492050205120522053人数149361.68 14

13、9538.08 149707.09 149868.99 150024.07 150172.60 150314.85 150451.08 由表5.1.2分析可得，人口先按指数规律增长，后增长速率越来越慢，趋于一个平缓值。人口增长更加符合现实生活。 模型与模型的比较模型是建立在一个理想化环境中，不存在对资源的竞争，人口数可以无限制的增长，所以残差值更大。而模型相对于所考虑的限制条件更多，所以残差值较小。根据所预测出的两份数据，画图得出：由图所得，模型的预测总人口一直在无限增长，而模型的预测值开始是一直增长，后来趋于平缓。所以模型预测与现实生活更加相符。当环境条件达到一定时，人口数量也会趋于一个饱和

14、值。 图5.1.3.2：男性人口 图5.1.3.3：女性人口同样，由图5.1.3.2和图5.1.3.3可知，模型预测男女性人口趋于无限增长，但是模型男女性预测值虽增长，但越来越趋于平缓。表明模型更加适合去描述人口增长。5.1.4 小结对于问题一，使用了两种模型进行求解，分别是模型和模型，发现前者过于理想化，人口数是呈“”型增长模式，这样得出的数据不可靠，而后者，认为地球资源有限化，人口增长开始是呈指数增长，后来趋于一稳定值，则人口数是“”型增长模式。联系现实生活，人口是不可能只呈指数增长的，所以相对于模型更加符合。虽然模型相对于更加符合，但是还是存在一定局限性。所以进行模型的推广，考虑到在不同

15、的年龄段女性的生育能力是不同的，所以导致出生率和死亡率是不可能时时刻刻一样的。若将此考虑在内，可化为模型。这样得出的结果也将更加精确。5.2 问题二的解答 模型的建立建立在问题一的基础上，建立的模型是模型和模型。采用1995年到2013年的养老金规模的数据，进行预测。 模型的求解 根据建立的模型，编程所得结果如图5.2.2.1、图5.2.2.2和图5.2.2.3：图5.2.2.1：养老保险基金收入由图5.2.2.1可知，由观察值拟合的比较好，呈“”型增长，根据实际情况以及未来的趋势预测出来的数据也比较符合实际。则养老金保险基金支出和养老金累计结余的图示见附录二。根据建立的模型，编程所得养老金保

16、险基金支出，收入和累计结余数据如下表: 表5.2.2.2: 基金收入 单位：亿元年份20142015201620172018基金收入30079.18 35572.04 41808.46 48847.63 56750.46 年份20192020202120222023基金收入65579.58 75399.37 86275.88 98276.91 111471.98 表5.2.2.3: 基金支出 单位：亿元年份20142015201620172018基金支出24284.27 29342.57 35260.19 42132.23 50058.65 年份20192020202120222023基金支出

17、59144.36 69499.11 81237.58 94479.33 109348.81 表5.2.2.4: 累计结余 单位：亿元年份20142015201620172018累计结余38580.60 46622.56 55846.06 66356.41 78263.06 年份20192020202120222023累计结余91679.57 106723.65 123517.14 142186.01 162860.36 观察以上三张表得，养老金保险基金支出，收入和累计结余有缺口，是由于隐形债务的存在或者是个人账户“空账”问题严重。 且预测出养老金保险人数如下表：表5.2.2.2：预测养老金保险

18、人数年份20142015201620172018人数/万人5143056220614706720073460年份20192020202120222023人数/万人803208780095990104940114730根据表5.2.2.2得，养老保险规模越来越大，人们越来越注重老年时的生活保障。则老龄化占总人数的比例随着年份的增加，也逐渐的增长，呈单一的变化趋势，实际情况如图5.2.2.3所示：图5.2.2.3 5.3 问题三的解答 模型的建立根据查阅网上资料通货膨胀率的高低划分以下三种类型：温和的或缓行的通货膨胀、疾驰的或奔腾的通货膨胀和恶性通货膨胀，在取通货膨胀率分别为3%、 10%、 15

19、%、 20%下，需考虑养老人均保险和养老人均消费之间的大小关系，从而来确定是否能真正保障退休水平。在 养老人均保险 > 人均消费水平 的基础上，则可保障退休水平。如图5.3.1，当平均消费水平消费越高时，养老人均保险应增长的越快，才可以真正的保障退休水平。 模型的求解当通货膨胀在1%-3%之内，能保证养老金基本满足需要；在3%-6%之间，会对一小部分人产生影响；在6%-9%之间，会对多数人产生影响；在10%-50%之间，绝大多数的老人得不到保障。通货膨胀影响居民购买力和市场供需平衡，影响消费与积累的比例。5.4 问题四的解答 现状的分析一是经济水平发展不高，公共财政投入有限，资金受到了限

20、制；二是老龄化速度快，养老保障体系建设跟不上。并且老人身体状况并不是很好，但是求医难，存在着许多医疗问题；三是家庭日益小型化，家庭养老功能不断弱化。养儿防老是我国传统的养老方式，当前家庭所能提供的资源越来越少；四是受历史因素影响，本来养老金应该是在年轻时慢慢积累下来的，但是当下很多老人都是新中国成立前后出生的。在中青年时基本没有个人财富积累。社会养老保险制度建立后，他们的养老金主要由国家财政和社会养老保险基金来承担。5.4.2 可行方案的提出养老问题的解决要从物质养老和精神养老两方面综合去考虑。在精神养老方面，应该增加要求子女常回家看看这样的法律条款，政府需要积极制定更多类似的法律条款，并将其

21、落到实处，而不是一纸空文。督促子女常回家看看，是政府对老年公民最大的关怀。养老问题不仅仅需要伦理道德的约束，也需要法律的保障。提出对于拒绝养老的家庭，老人有权提出诉讼的相关办法。为子女尽义务养老敲响警钟。在另一方面，可以从居家养老方式入手，需要像机构养老一样，让政府提供公共服务，社区履行好服务责任，相对于机构养老要花大量资金在规模化养老设施和养老措施上，居家养老就免去许多养老场所，政府的资金可以投入到更为细致的服务上去。所以国家需要加大对居家养老的投入，把机构养老的工作重心转移到居家养老上去，健全居家养老机制，同时对于企业和社会发挥企业作用,建立企业年保险金,或者建立个人养老保险金预存制度,促

22、进私人储蓄养老金发展,强化人们的养老意识。加强社区内的有关养老问题的条例的执行。居家养老应与家庭养老并存，家庭赡养还是应该为主流，在家庭赡养中，特别是老人们对子女的关爱，精神上的慰藉是尤其重要的。希望国家要鼓励家庭赡养占主流，宣扬孝观，在家务事家人解决的前提下。在服务与物质层面推广居家养老方式。6 模型评价与推广6.1 模型的评价模型的优点：模型相对于模型更符合于现实生活，多增加一个环境条件和资源有限化的条件限制。模型的缺点：模型考虑的周边条件相对较少，例如出生率和死亡率的值并不唯一确定，甚至环境条件有可能恶劣，所处的地域并不一定是非常适宜人们生活，存在一定的影响因素等等。6.2 模型的推广对

23、于模型，人口数会由于资源问题趋于一个饱和值，也存在其余的限制情况，例如不同年龄的出生率和死亡率是有明显的不同。为了更精确地预测人口的增长，进行模型的推广，可以考虑使用按年龄分组的人口增长模型。假设在中国总人口中女性的最长寿命为岁，把年龄区间0，分成个等长的年龄段，从而将女性分为个年龄类。用表示第次观察时第个年龄类的女性人数。且观察时间间隔与年龄段等长，第个年龄类的女性在每一个时间段内的生殖率均为，死亡率均为。可推断出，第次观察时第1个年龄类的女性人数为第次观察时各年龄类的女性所生育的女性人数之和，则为：以此类推，第次观察时第个年龄类的女性人数为第次观察时第个年龄类的女性存活下来的数量，即为：

24、令，则存活率>0，再记，则可统一表示为：因已知，则。7 参考文献1 刘承平.数学建模方法.北京：高等教育出版社，2002.2 张宜华.精通MATLAB5.北京：清华大学出版社，2000.3 蔡锁章.数学建模原理与方法.北京：海洋出版社，2000.4 韩中庚.数学建模方法及其应用.北京：高等教育出版社，2005.5 肖树铁.数学实验.北京：高等教育出版社，1999.6 胡守信，李柏年.基于MATLAB的数学实验.北京：科学出版社，2004.8 附录附录一：1970到2013年人口数据如表8.1和表8.2： 表8.1 单位：万人（人数），%（比重） 名称 年份 总人数男女城乡人口数比重人口数

25、比重人口数比重人口数比重1970829924268651.434030648.571442417.386856882.621971852294381951.414141048.591471117.267051882.741972871774481351.44236448.61493517.137224282.871973892114587651.424333548.581534517.27386682.81974908594672751.434413248.571559517.167526482.841975924204756451.474485648.531603017.347639082.

26、661976937174825751.494546048.511634117.447737682.561977949744890851.54606648.51666917.557830582.451978962594956751.494669248.511724517.927901482.081979975425019251.464735048.541849518.967904781.041980987055078551.454792048.551914019.397956580.6119811000725151951.484855348.522017120.167990179.8419821

27、016545235251.54930248.52148021.138017478.8719831030085315251.64985648.42227421.628073478.3819841043575384851.65050948.42401723.018034076.9919851058515472551.75112648.32509423.718075776.2919861075075558151.75192648.32636624.528114175.4819871093005629051.55301048.52767425.328162674.6819881110265720151

28、.525382548.482866125.818236574.1919891127045809951.555460548.452954026.218316473.7919901143335890451.525542948.483019526.418413873.5919911158235946651.345635748.663120326.948462073.0619921171715981151.055736048.953217527.468499672.5419931185176047251.025804548.983317327.998534472.0119941198506124651

29、.15860448.93416928.518568171.4919951211216180851.035931348.973517429.048594770.9619961223896220050.826018949.183730430.488508569.5219971236266313151.076049548.933944931.918417768.0919981247616394051.256082148.754160833.358315366.6519991257866469251.436109448.574374834.788203865.2220001267436543751.6

30、36130648.374590636.228083763.7820011276276567251.466195548.544806437.667956362.3420021284536611551.476233848.535021239.097824160.9120031292276655651.56267148.55237640.537685159.4720041299886697651.526301248.485428341.767570558.2420051307566737551.536338148.475621242.997454457.0120061314486772851.526

31、372048.485828844.347316055.6620071321296804851.56408148.56063345.897149654.1120081328026835751.476444548.536240346.997039953.0120091334506864751.446480348.566451248.346893851.6620101340916874851.276534348.736697849.956711350.0520111347356906851.266566748.746907951.276565648.7320121354046939551.25660

32、0948.757118252.576422247.4320131360726972851.246634448.767311153.736296146.27 表8.2 单位：万人年份总人口(年末)65岁及以上0-64岁65岁以上百分比65岁以下百分比1990114333.00 6368.00 107965.00 5.57 94.43 1991115823.00 6938.00 108885.00 5.99 94.01 1992117171.00 7218.00 109953.00 6.16 93.84 1993118517.00 7289.00 111228.00 6.15 93.85 1994

33、119850.00 7622.00 112228.00 6.36 93.64 1995121121.00 7510.00 113611.00 6.20 93.80 1996122389.00 7833.00 114556.00 6.40 93.60 1997123626.00 8085.00 115541.00 6.54 93.46 1998124761.00 8359.00 116402.00 6.70 93.30 1999125786.00 8679.00 117107.00 6.90 93.10 2000126743.00 8821.00 117922.00 6.96 93.04 200

34、1127627.00 9062.00 118565.00 7.10 92.90 2002128453.00 9377.00 119076.00 7.30 92.70 2003129227.00 9692.00 119535.00 7.50 92.50 2004129988.00 9857.00 120131.00 7.58 92.42 2005130756.00 10055.00 120701.00 7.69 92.31 2006131448.00 10419.00 121029.00 7.93 92.07 2007132129.00 10636.00 121493.00 8.05 91.95

35、 2008132802.00 10956.00 121846.00 8.25 91.75 2009133450.00 11307.00 122143.00 8.47 91.53 2010134091.00 11894.00 122197.00 8.87 91.13 2011134735.00 12288.00 122447.00 9.12 90.88 2012135404.00 12714.00 122690.00 9.39 90.61 2013136072.00 13161.00 122911.00 9.67 90.33 问题一程序：clc;clear;close all; T=1970:2

36、013; N=xlsread('shuju.xls','Malthus','D2:AU2'); y=log(N); p=polyfit(T,y,1) t=2014:2053; format short g M=exp(polyval(p,T); RM=sum(N-M).2) M1=exp(polyval(p,t); subplot(2,1,1); plot(T,N,'+k',T,M,'vg'); hold on plot(t,M1,'-r'); legend('¹Û

37、78;ìÖµ','ÄâºÏÖµ','Ô¤²âÖµ',2); title('MalthusÔ¤²â×ÜÈË¿Ú'); xlswrite('shuju.xls',M1,'Malthus','AV2:CI2'); xlswrite('shuju

38、.xls',RM,'Malthus','CJ2'); b0=226491.06 0.0113; fun=inline('b(1)./(1+(b(1)/82992-1).*exp(-b(2).*(t-1970)','b','t'); b1=nlinfit(T,N,fun,b0); L=b1(1)./(1+( b1(1)/82992-1).*exp( -b1(2).*(T-1970); RL=sum(N-L).2) L1=b1(1)./(1+( b1(1)/82992-1).*exp( -b1(2).*(t-1

39、970); subplot(2,1,2); plot(T,N,'+k',T,L,'vg'); hold on; plot(t,L1,'-r'); legend('¹Û²ìÖµ','ÄâºÏÖµ','Ô¤²âÖµ',2); title('LogisticÔ¤²â×&#

40、220;ÈË¿Ú'); xlswrite('shuju.xls',L1,'Logistic','AV2:CI2'); xlswrite('shuju.xls',RL,'Logistic','CJ2'); 模型预测出的未来40年的人口数据：表8.3 单位：万人 名称 年份 总人数男女人口数比重人口数比重2014145482.810574669.3430351.3251997270812.2404448.674800282015147143.4373755

41、16.4727451.3216723171625.7234748.678327692016148823.019676373.2132151.3181451472448.551748.681854862017150521.773677239.6734751.3146182273280.8324948.685381782018152239.918278115.9637951.3110915474122.6744248.688908462019153977.674779002.1956951.307565174974.1873448.69243492020155735.26779898.481975

42、1.304038975835.4823448.69596112021157512.921580804.9366851.3005129576706.6718148.699487052022159310.867281721.675251.2969872377587.869448.703012772023161129.335782648.8141951.2934617678479.1900848.706538242024162968.561383586.4716551.2899365479380.7501648.710063462025164828.780984534.7669151.2864115

43、580292.6672648.713588452026166710.234185493.8206551.2828868181215.0603648.717113192027168613.163486463.7549451.2793623182148.0498148.720637692028170537.813887444.693251.2758380583091.7573448.724161952029172484.433388436.7602951.2723140384046.3060748.727685972030174453.272789440.0824751.2687902685011

44、.8205548.731209742031176444.585690454.7874151.2652667385988.4267548.734733272032178458.628591481.0042651.2617434486976.2520948.738256562033180495.660892518.8636351.2582203987975.4254648.741779612034182555.945193568.4975951.2546975888986.0772248.745302422035184639.746794630.0397451.2511750290008.3392

45、448.748824982036186747.33495703.6251651.247652791042.3448848.75234732037188878.978696789.390551.2441306292088.2290648.755869382038191034.95597887.4739451.2406087893146.1282548.759391222039193215.54198998.0152251.2370871994216.1804648.762912812040195421.0175100121.155751.2335658395298.5253148.7664341

46、72041197651.6687101257.038351.2300447296393.3040148.769955282042199907.7818102405.807551.2265238597500.6594148.773476152043202189.6475103567.609751.2230032398620.7359848.776996772044204497.5598104742.592551.2194828499753.6798748.780517162045206831.8159105930.905751.2159627100899.638948.78403732046209192.7166107132.700351.2124428102058.762548.78755722047211580.5661108348.129551.20892314103231.202148.791076862048213995.6719109577.347751.20540372104417.110548.794596282049216438.3451110820.511651.20188454105616.642548.79811546205021890