几何中线段的最值问题

1、几何中线段的最值问题一、 一条线段的最值问题一（1）借助旋转求最值2013通州一模24已知：，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当ADB=60°时，求AB及CD的长；（2）当ADB变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应ADB的大小.ADBC2011丰台一模25.已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ACB=90°，则

2、CD= ；（3）如图3，当ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的ACB的度数. 图1 图2 图3（2）借助直角三角形性质求最值（1） 勾股定理（2） 直角三角形斜边中线等于斜边一半（3） 直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得【例1】 如图，在ABC中，C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是 【例2】 如图，ABC 是边长为定

3、值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A在x轴上。 求出AC边上的高线BD的长度； 当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值； 已知点P是ABC内切圆的圆心，请求出OP的最大值。 2011海淀一模25在RtABC中，ACB=90°，tanBAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图1 设，则k = ；（2）若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋

4、转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值2010海淀一模25.已知：中，中，,. 连接、，点、分别为、的中点. 图1 图2(1) 如图1，若、三点在同一直线上，且，则的形状是_，此时_；(2) 如图2，若、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；(3) 在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.28正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF连接BF，作EHBF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明

5、；若不成立，说明理由； （3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值（3）与圆相关2014燕山24.如图1，已知是等腰直角三角形，,点是 的中点作正方形，使点、分别在和上，连接 ， （1）试猜想线段和的数量关系是 ； （2）将正方形绕点逆时针方向旋转， 判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； 若，当取最大值时，求的值2013昌平一模24在ABC中，AB=4，BC=6，ACB=30°，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线

6、上时，求CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1若CBC1的面积为3，求ABA1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值2015房山一模28如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.(1) 依题意补全图1，并证明：BDE为等边三角形；(2) 若ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将CDE绕点D 顺时针旋转度（0°360°）得到，点E的对

7、应点为E，点C的对应点为点C.如图2，当=30°时，连接证明：=；如图3，点M为DC中点，点P为线段上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？图1图2图33. 如图，已知是等腰直角三角形，点是的中点作正方形，使点分别在和上，连接（1）试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于360°），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由ACBFDEG图25-1ACBFDEG图25-2（3）若，在的旋转过程中，当为最大值时，求的值11

8、以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB和COD，其中ABO=DCO=30°（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_；如图2，将图1中的AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_，最大值为_图2图1（4）其他2011海淀一模24已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线与直线的一个公共点为. （1）求此抛物线和直

9、线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.朝阳25如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，CBO的正切值是2(1)求此二次函数的解析式(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点直接写出点P所经过的路线长点D与B、C不重合时，过点D作DEAC于点E、作DFAB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，EP

10、F的大小是否发生变化？若不变，求EPF 的度数；若变化，请说明理由在的条件下，连接EF，求EF的最小值二、多线段的最值问题2013一模海淀25. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.(1) 求点的坐标（用含的代数式表示）；(2) 直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧. 若为直线上一动点，求的面积；抛物线的对称轴与直线交于点，作点关于直线的对称点. 以为圆心，为半径的圆上存在一点，使得的值最小，则这个最小值为 .2012朝阳二模25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BDBC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒

11、1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQMA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.2012东城一模25. 如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.(1) 求此二次函数解析式；(2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请

12、求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、，求和的最小值. 2012海淀二模24. 如图, 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴交于点C.（1）求点B的坐标 (用含m的代数式表示)； （2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐CAOBxyCAOBxy 备用图2010海淀二模25.如图，在平

13、面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，为的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点、在线段上，求及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长. （备用图）2012丰台一模25已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使MBP的面积是菱形ABCP面积的如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长.25. 在平面直角坐标系中