面积计算法绘制梁的弯矩图(共6页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上面积计算法绘制梁的弯矩图摘要：梁的内力作为梁的设计和检验的基本数据，在工程实际中具有非常重要的地位。教学中梁的内力图绘制， 尤其是梁弯矩图的绘制是力学课程的重点。本文依照荷载与内力的微分关系原理，采用面积计算法来计算梁控制面上的弯矩，是一种新的快速绘制梁弯矩图的简便方 法。关键词：剪力图；弯矩图；面积计算法 中图分类号：TU223 文献标识码：A一、引 论为了计算梁的强度和刚度，不仅要计算梁任意横截面上的剪力和弯矩，还必须知道 剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律。在一般情况下，梁截面位置不同，则剪力和弯矩也不同。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标X来表示。则各横截面上的剪力和弯

2、矩 都可以表示为位置坐标X的函数，即Q=Q（x）M=M（x）剪力方程和弯矩方程可以表明梁上剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律。?为了一目了然地表明剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置，可以根据剪力方程和弯矩方程绘制梁的剪力图和弯矩 图。按选定的比例，用与梁轴线平行的坐标X表示梁沿轴线的截面位置，用与X轴正交的Q（或M）坐标轴表示相应截面的剪力（或弯矩），描点画出 Q（X）M（X）所表示的函数图像，分别称为剪力图，弯矩图。在土建工程中，习惯把正剪力画在Q轴的正向，负剪力画在Q轴的负向，并注明（+）（-）号； 弯矩图总是画在梁受拉的一侧，并注明（+）（-）号。二

3、、剪力、弯矩与荷载之间的微分关系?由力学分析可得剪力、弯矩与荷载之间存在有以下微分关系:? dQ（x）/dx=q（x） ?dM（x）/dx=Q（x）?由数学知识可知，上两式的几何意义是：剪力图上任一点的切线的斜率等于梁上对应点处的荷载集度；弯矩图上任一点的切线的斜率等于梁在对应截面上剪力。?利用M（x）、Q（x）、q（x）之间的关系及其几何意义，可以分析画Q图和M图的一些规律，下面分析集中情况：?1在无分布荷载作用的梁段，由于Q（x）为常数，M（x）为一次函数，因此剪力图为一条平行于X轴的直线，弯矩图为一条斜直线。?2在有均布荷载作用的梁段，由于Q（x）为一次函数，M（x）为二次函数，因此剪力

4、图为一条斜直线，当q（x） 0时，Q图为右上斜直线，弯矩图为一条下凸或上凸的二次曲线。?注意：根据M图的坐标规则，当q（x）向下时，对应梁段M 图为下凸曲线；当q（x）向上时，对应梁的M 图为上凸曲线。?3由dM（x）/d（x）=Q（x）可知，在Q（x）=0处，M（x）有极值。即剪力等于零的截面上弯矩具有极值（极大值或极小值）。?4在集中力作用的截面上，由于此处Q（x）函数不连续，截面左右两侧剪力值不相等，因此剪力图发生突变，且突变值等于该集中力的大小,其突变方向与集中 力方向一致。?5在集中力偶作用的截面上,由于此处M(x)函数不连续,截面左右两侧弯矩值不相等,因此弯矩图有突变,且突变值等于

5、该集中力偶矩。?根据梁段落上的外力情况，利用以上各项规律就可判断出该梁剪力图和弯矩图的形状，只要确定梁的控制截面并求出控制截面的剪力值和弯矩值，就可画出剪力图和 弯矩图，而不需要列剪力方程和弯矩方程，因而非常简便。三、面 积 计 算 法?由与微分关系相对应的积分关系还可得：若梁上无外力偶作用，则指定截面上的弯矩等于该截面左侧(右侧)部分上剪力图的面积代数和：?M=QiLi?这里：?(1) 若取截面左侧部分为研究对象，则正的剪力对应于正的面积，负的剪力对应于负 的面积;若取右侧部分为研究对象，则正好与之相反。(2) 剪力图长的因次为长度，其高度的因次为力，故剪力图面积的因次为力长度为弯矩的因次相

6、同。?(3) 两截面之间若有集中力作用。此方法仍然适用。四、面积计算法应用说明?（一） 单个集中力作用下的弯矩图?例1如图一所示：图一剪力图为一条平行于X轴的直线位于Q轴的负向。可知弯矩图为一条斜直线，由面积法绘制弯矩图的结论可知?MB= -FL=-FL?则可直接绘制弯矩图如图1所示。?例2如图二所示图二由剪力图可知弯矩图为一斜直线。由先按弯矩图在所取截面左侧。左侧有正剪力对应正面积，负剪力对应的面积 则:? MC左= Pba/L=pab/L?弯矩从A点弯矩为零开始到B点弯矩为pab/L的斜直线。?MB左=pab/L -pab/L=0?所以弯矩图由P点开始向B点弯矩为零过渡由上可得由上可得该简

7、支梁弯矩。如图2所示。?同样取右侧也是一样的：?MC右Pab/L?MA右=pab/L-pab/L=0?注：右侧正剪力对应负的面积，负剪力对应正的面积。以后的几种情况都是用该方法确定面积值的正负。?以上两例为一个集中力作用下的悬臂梁和简支梁的弯矩图的绘制。下面为大家介绍几种常见情况。?(二)多种力作用下的弯矩图绘制。?例3如图三所示：图三对于AB段：?先按截面左侧计算因为剪力图为斜直线。?所以对应的弯矩应为下凸直线。AB段?对应的剪力图面积为：?-821/2=-8?MB左=-8?对于BC段，CD段?因为剪力图为平行于X轴的直线所以对应的弯矩图为斜直线?MC左=-8+122=16?MD左=16-8

8、2=0?描点连接AB段BC段CD段全梁M图，如图3所示。?(三)有集中力偶作用下的弯矩图?例4如图四所示图四对于AB段：因为剪力图为平行X轴的直线，所以对应的弯矩图应为斜直线?MA=0?MA 左62=12?对于BC段：?剪力图为斜直线则弯矩图为下凸，二次抛物线又因为D点剪力为零，所以抛物线极值在该处。由三角形相似可得：?BD/DC=6/8?BD+DC=4 ?得BD=1 DC=3?MD右1831/2=27?所以D 点对应的极值为27KNM? 因为在B点处有集中力偶作用，所以B点处的M应有突变其值等于力偶值该力偶为顺时针，所以B点处的M值由原来12KNM突变为24KNM描点连接AB段 BC段即为该梁弯矩图如图4所示。 ? 四）特殊形式?例5，如图为斜直线? AC段：?剪力为平行于X轴的直线，所以弯矩图为斜直线。? MC左FAFA?CB段：图五剪力为零，但由于梁段受集中力偶作用，整段的弯矩值等于力偶值，所以为平行于X轴的直线。?对于这种剪力为零的梁段的特殊形式，若是没有集中力作用，面积法同样适用。若是有集中力偶作用。则弯矩为一条平行X轴，直线距离X轴的为弯矩值，正负由力 偶的正负来确定。? 五、结 语?通过理论分析和实例验证，面积计算法绘制弯矩图