33_圆周角和圆心角的关系(11)

1、圆周角和圆心角圆周角和圆心角的关系的关系3.33.3学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，学思疑问才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！学思疑问才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！类比圆心角类比圆心角探知探知圆周角圆周角l在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的相等的弧弧所对的所对的圆心角圆心角相等相等. .l在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的相等的弧弧所对的所对的圆周角圆周角有什么关系？有什么关系？n 为了解决这个问题为了解决这个问题, ,我们先探究一条弧所对的圆周我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间的关系角和圆心角之间的关系. .演示演示圆

2、周角与圆心角有何关系圆周角与圆心角有何关系?圆周角定理圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆心角的一半。条件：圆周角与圆心角对同一条弧。条件：圆周角与圆心角对同一条弧。结论：圆周角是圆心角的一半。结论：圆周角是圆心角的一半。演示演示n老师提示老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视要予以重视.思考与巩固思考与巩固1.1.如图如图, ,在在O O中中,BOC=50,BOC=50, ,求求A A的大小的大小. .OBAC解解: A= BOC=25: A= BOC=25. .21练习、在下列各图中，练习、在下列各

3、图中，OCABOCAB15060，.OCABDOCAB120140拓展练习拓展练习n1.1.如图如图(2),(2),在在O O中中,B,D,E,B,D,E的大小有的大小有 什么关系什么关系? ?为什么为什么? ?OOCABDBACDEOABC(1) (2) (3)推论推论1 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。演示演示推论推论1中，中， “同弧或等弧同弧或等弧”能否改为能否改为“同弦或等弦同弦或等弦”？ “同圆或等圆同圆或等圆”这一条件能否省去？这一条件能否省去？不能不能不能不能演示演示

4、返回返回拓展练习拓展练习OOCABDBACDEOABC(1) (2) (3)n2.2.如图如图(3),AB(3),AB是直径是直径, ,你能确定你能确定C C的度数吗的度数吗? ?推论推论2： 直径所对的圆周角是直角；直径所对的圆周角是直角； 反过来，反过来，90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。演示演示拓展练习拓展练习l1.1.如图如图(1),(1),在在O O中中,BAD=50,BAD=50, ,求求C C的大小的大小. .OOCABDBACDEOABC(1) (2) (3)推论推论3 3：圆内接四边形对角互补。圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形内接于圆。对角互补的四边形

5、内接于圆。演示演示O OB BA AC CD D1、如图，、如图，A、B、C、D四点共圆，找出四边形四点共圆，找出四边形ABCD的对角线把的对角线把4个角分成的个角分成的8个角中，哪些是个角中，哪些是相等的角？图中有几对相似三角形？相等的角？图中有几对相似三角形？基础练习：基础练习：演示演示返回返回.,6,10,. 2的长和求于的平分线交圆为弦为中直径已知在圆如图BDADBCDOACBcmACcmABOOADBC解答下列各题：解答下列各题：基础练习：基础练习：演示演示返回返回O ODABC 3. 3.如图如图,AB,AB是是O O的直径，的直径，BDBD是弦是弦, ,延长延长BDBD到到C,C

6、,使使DC=BD,DC=BD,ACAC与与ABAB的大小有什么关系的大小有什么关系? ?为什么为什么? ?返回返回1.如图，如图， 的弦的弦AC、BD相交于相交于 内内一点一点. 求证：求证：OCABDPE四、思考下列各题四、思考下列各题,并记住结论：并记住结论：21APB( 的度数的度数+ 的度数的度数)ABCD演示演示返回返回OABPDC2.如图，如图， 的弦的弦AC、BD相交于相交于 外外一点一点. 求证：求证：四、思考下列各题四、思考下列各题,并记住结论：并记住结论：21APB( 的度数的度数 的度数的度数)ABCD演示演示返回返回三三.小结小结1、本课时学习了圆周角定理（包括三种情形

7、）、本课时学习了圆周角定理（包括三种情形）定理也可理解成定理也可理解成:一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的倍；倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.2、角与弧有着密切的关系，因此在证明角的关、角与弧有着密切的关系，因此在证明角的关系时，可考虑证明角所对的弧的关系。系时，可考虑证明角所对的弧的关系。3、圆周角定理的证明应用了数学中的分类思想、圆周角定理的证明应用了数学中的分类思想推论推论3 3：圆内接四边形对角互补。圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形内接于圆。对角互补的四边形内接于圆。 圆周角定理：圆周角定理：

8、 一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角圆心角的一半的一半. .总结：总结：推论推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径。度的圆周角所对的弦是直径。推论推论1 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。结束寄语结束寄语要养成用数学的语言去说明要养成用数学的语言去说明道理道理, ,用数学的思维去解读用数学的思维去解读世界的习惯世界的习惯. .1 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？、探究半圆或直径所

9、对的圆周角等于多少度？2 2、9090的圆周角所对的弦是否是直径？的圆周角所对的弦是否是直径？ 线段线段ABAB是是O O的直径，点的直径，点C C是是O O上任意一点上任意一点（除点（除点A A、B B），）， 那么，那么，ACBACB就是直径就是直径ABAB所对的圆所对的圆周角周角. .想想看，想想看，ACBACB会是怎么样会是怎么样的角？为什么呢？的角？为什么呢？ 证明：证明： 因为因为OAOAOBOBOCOC， 所以所以AOCAOC、BOCBOC都是等腰三角形，都是等腰三角形，所以所以OACOACOCAOCA， OBCOBCOCBOCB. . 又又OACOACOBCOBCACBACB1

10、80180所以所以ACBACBOCAOCAOCBOCB9090因此，不管点因此，不管点C C在在O O上何处（除点上何处（除点A A、B B），），ACBACB总等于总等于9090，7.5 圆周角圆周角 （一）（一） 教学目的：教学目的：1、使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及三、使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及三个推论，并能运用这些知识进行有关的计算和证明；个推论，并能运用这些知识进行有关的计算和证明；2、使学生掌握利用直径所对的圆周角是直角作辅助、使学生掌握利用直径所对的圆周角是直角作辅助线的方法；线的方法；3、使学生认识到圆周角定理及其推论是证明和圆有、使学生认识到圆周角定理

11、及其推论是证明和圆有关的角相等的重要定理，培养学生分析问题、解决问关的角相等的重要定理，培养学生分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。题以及综合运用知识的能力。教学重点：教学重点：圆周角定理及三个推论的理解与掌握。圆周角定理及三个推论的理解与掌握。教学难点：教学难点：圆周角定理及三个推论的灵活运用及辅助圆周角定理及三个推论的灵活运用及辅助 线的添加。线的添加。一一.复习复习 图中的图中的AOB叫什么角？它与所对的弧叫什么角？它与所对的弧AB的度数有何关系？的度数有何关系？ OABAOB叫圆心角叫圆心角AOB的度数的度数=弧弧AB的度数的度数演示演示二二.新课新课圆周角：圆周角：顶点在圆上，

12、两边与圆相交的角顶点在圆上，两边与圆相交的角 叫做圆周角叫做圆周角.POBAP就是圆周角就是圆周角定义满足两个条件：定义满足两个条件：顶点在圆上；顶点在圆上；两边与圆相交（两边是弦）两边与圆相交（两边是弦）演示演示练习：练习：1.1.判断：所有顶点在圆上的角都叫圆周角判断：所有顶点在圆上的角都叫圆周角.（）（）POABPOBA2.下列图形中的角是否圆周角？下列图形中的角是否圆周角？OPABDCOABPOBAPOBA3.判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？圆周角的顶点一定在圆上。（圆周角的顶点一定在圆上。（ ）顶点在圆上的角是圆周角。（顶点在圆上的角是圆周角。（ ）圆周角的两边都和圆相交

13、。（圆周角的两边都和圆相交。（ ）两边都和圆相交的角是圆周角。（两边都和圆相交的角是圆周角。（ ）圆内角：圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交顶点在圆内，两边与圆相交 的角叫做圆内角；的角叫做圆内角；POBAPOBA圆外角：圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交顶点在圆外，两边与圆相交 的角叫做圆外角的角叫做圆外角. . 演示演示ABCOABCCOOAB.DDOOOABCABCABCn一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系. .l如图如图, ,观察观察圆周角圆周角ABCABC与与圆心角圆心角AOCAOC, ,它们的它们的大小有什么关系大小有什么关系? ?演示演示圆周

14、角和圆心角的关系l1 1. .首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：l当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时, ,圆圆周角周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系. .nAOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，nAOC=B+A.AOC=B+A.nOA=OBOA=OB，OABCnA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ? 一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于等于它所对的它所对的圆心角圆心角的一半的一半. .老

15、师期望老师期望:你可要理你可要理解并掌握解并掌握这个模型这个模型.演示演示l如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ?l2.2.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?n老师提示老师提示: :能否转化为能否转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC= AOC. ABC= AOC.21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ? 一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角

16、等于等于它所对的它所对的圆心角圆心角的一半的一半. .ABCDnABD= AOD,CBD= COD,ABD= AOD,CBD= COD,2121圆周角和圆心角的关系演示演示l如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ?l3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?n老师提示老师提示: :能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC= AOC.

17、ABC= AOC.21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ? 一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于等于它所对的它所对的圆心角圆心角的一半的一半. .DnABD= AOD,CBD= COD,ABD= AOD,CBD= COD,2121ABC圆周角和圆心角的关系演示演示ABCOABCCOOABDD圆周角和圆心角的关系概括为:演示演示圆周角定理l综上所述综上所述, ,圆周角圆周角ABCABC与与圆心角圆心角AOCAOC的大小的大小关系是关系是: :l圆周角定理圆周角定理 一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .n老师提示老师提示:圆周角定理是

18、承上启下的知识点圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视要予以重视.即即ABC= AOC.ABC= AOC.21OOOABCABCABC演示演示1.1.如图：如图：OAOA、OBOB、OCOC都是都是O O的半径的半径 AOB=2BOC.AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BAC.ACB=2BAC.证明：证明：ACB= AOB12BAC= BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 规律规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理然后再灵活运用圆周角定理分析分析:AB所对圆周角是所对圆周角是ACB, 圆心角是圆心角是AOB. 则则ACB= AOB. BC所对圆周角是所对圆周角是 BAC , 圆心角是圆心角是BOC, 则则 BAC= BOC 21_21_圆周角圆周角l在射门游戏中在射门游戏中( (如图如图),),球球员射中球门的难易程度与员射中球门的难易程度与他所处的位置他所处的位置B B对球门对球门ACAC的张角的张角(ABC)(ABC)有关有关. . 读一读读一读P P101101n圆周角：圆周角：顶点在圆上顶点在圆上, ,它的两边分别与圆还它的两边分别与圆还有交点有交点, ,像这样