考研数学多元函数微分法及其应用(卓越资料)

1、卓越考研内部资料（绝密）卓而优 越则成卓越考研教研组汇编0 / 16第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数、极限、连续性1多元函数的概念(1)定义：设是平面上的一个非空子集，称映射为定义在上的二元函数，记为，其中点集称为函数的定义域，集合称为函数的值域类似可定义三元函数(2)几何意义 二元函数表示空间的曲面，例如的图形为旋转抛物面；的图形为上半球面2二元函数的极限(1)定义：设在的去心邻域有定义，若对任意，存在，使得当时，有，则称为函数当时的极限，记为 【概念理解点睛】(1)二元函数的极限只有当动点以任意方式趋于时的极限都为时才存在(2) 若可找到两条不同路径沿其趋近于时的极限不相等，则二

2、元函数的极限不存在。特别，当时选择，若极限与有关，则二元函数的极限不存在【例】，证明：不存在 (3)即使沿着函数的极限存在且相等也不能说明二元函数的极限是存在的【例】，证明：不存在(2)计算 可借助一元函数求极限的方法求二元函数的极限1）利用极限性质（四则运算法则，夹逼原理）；2）消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）；3）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量.【例】，求3多元函数的连续性(1) 定义：设二元函数在的邻域有定义，若则称函数在点连续如果函数在的每一点都连续，则称函数在上连续，或者说是上的连续函数(2)多元函数在有界闭区域上的性质有界性：在有界闭区域上连续的多元函数必定

3、在上有界 最大值与最小值定理：在有界闭区域上连续的多元函数必定在上取得它的最大值和最小值 介值定理：有界闭区域上连续的多元函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值(3)二元初等函数在定义区域内连续常考题型二元函数的二次极限【例1】求下列极限：(1)，其中(2) 【例2】证明：不存在【例3】设则= 二、多元函数的偏导数与全微分1 偏导数的概念（1）定义：设函数在点的某邻域内有定义，如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为即 类似，函数在点处对的偏导数定义为如果函数在定义域内每点偏导数都存在，则称为偏导函数(2) 偏导数的几何意义(数一二)由偏导数的定义，可看成函数在处的导数，根据导数的几

4、何意义，是曲线在处的切线对轴的斜率同理，是曲线在处的切线对轴的斜率(3) 偏导数存在和连续的关系偏导数存在推不出函数连续，函数连续也推不出偏导数存在【例】判断 ，在的连续性与偏导数的存在性【概念理解点睛】 存在虽然推不出函数连续，但是可以推出，即在对是连续的（4）高阶偏导数一般情况，函数的两个偏导数和仍然是,的函数。因此，可以考虑和的偏导数，即二阶偏导数，依次记为，若函数的两个二阶混合偏导数在某区域内均连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等【概念理解点睛】二阶混合偏导数连续的时候一定要合并2、全微分(1)定义：如果函数在点处的全增量 可表示为，其中、不依赖于、而仅与、有关，则称函数在点可

5、微分，且称称为函数在点的全微分，记为，即【概念理解点睛】如果函数在点处可微分， 则函数在点处连续(2)可微的必要条件 如果函数在点可微分，则函数在点的偏导数、存在，而且有 对于可微分的三元函数，也有 (3)可微的充分条件 如果函数的偏导数在点连续，则函数在该点可微 (4)可微的等价定义若函数在点处的存在，且则在可微【例】设，判断函数在是否可微【方法理解点睛】利用全微分形式不变性可以来求隐函数的全微分和偏导数几个关系一阶偏导数连续可微偏导数存在连续性常考题型讨论连续性、可导性、可微性【例1】考虑二元函数的下面4条性质：的两个偏导数存在。若用“”表示可由性质P推出性质，则有（ ）（A） （B）（C

6、） （D）【例2】设则在点 (A)不连续； (B)连续但不可导； (C)可导但不可微； (D)可微.【例3】二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（A）. （B），且.（C）.（D），且. 三、多元函数微分法 1利用定义求偏导数【例】设，则 【方法理解点睛】(1) 分段函数用定义求偏导数(2) 求函数在某点的偏导数时，可先“代值”后求导，也可以先求偏导函数，在“代值”2复合函数求偏导，对有连续偏导数，对偏导数存在，则， 记法：(1)链式法则图(2)结构法：复合函数求偏导数等于若干项之和，其项数取决于中间变量的个数，每一项是两个偏导数的乘积【例】，求，【方法理解点睛】(1)对第一中间变量的

7、偏导数经常记为，同理记为，记为(2)还是以为中间变量为自变量的复合函数，故其对求偏导数的时候还是利用复合函数求偏导的链式法则 3隐函数求偏导(1)由方程所确定的隐函数求导 一元隐函数设，且在的某邻域具有连续的一阶偏导数，且，若，则存在，且，其中是二元函数对的偏导数 二元隐函数且在的某邻域有连续的一阶偏导数，且，若，则存在，且，其中是三元函数对的偏导数【例】设由方程确定隐函数，求及(2)方程组所确定隐函数求导(数一、二) 每个方程两边对同一自变量求导，然后用解方程组的方法求解4全微分形式不变性，则全微分运算法则： 【例】设方程可确定函数,求.常考题型1求一点处的偏导数与全微分:2求已给出具体表达

8、式函数的偏导数与全微分3含有抽象函数的偏导数与全微分4隐函数的偏导数与全微分【例1】设,求和. 【例2】设,则 【例3】 求下列偏导数(1)求(2)设,求及.【例4】(09,1)设函数具有二阶连续偏导数，求.【例5】设函数，其中具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A） (B）(C） (D）【例6】设函数一阶可导, ,求 .【例7】设具有二阶连续偏导数，具有二阶导数，求【例8】设是由方程所确定,求.【例9】设，是由和所确定的函数，其中具有一阶连续导数，具有一阶连续偏导数，求答案：【例10】设函数,由方程确定，其中为可微函数，且，则 ( )(A) (B) (C) (D)三、微分学的应用多元函数的极

9、值1一般极值(1)极值的定义：设在点的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内任意异于的点都有，则称在取得极大(小)值，且称为极大(小)值点例如在取得极小值，在取得极大值(2)极值存在的必要条件设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则，使得，同时成立的点称为函数的驻点。由该定理知道：具有偏导数的极值点一定是驻点。【概念理解点睛】 驻点不一定是极值点（）；极值点还可以出现在偏导数不存在的点 极值点只可能出现在驻点或偏导数不存在的点(3)极值存在的充分条件 设函数在驻点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，令，则 时在取得极值，且当时取极大值，当时取极小值； 时在不取得极值； 时无法判断 2条件极值求目

10、标函数在约束条件下的极值(或最值)拉格朗日乘数法 先作拉格朗日函数，其中为参数，先求的驻点，即解方程组由此解出，其中就是函数在条件下可能取得极值的点据实际问题确定驻点是最大(小)值点【概念理解点睛】 此方法适用于多个变量多个约束条件的极值 3连续函数在有界闭区域上的最值问题设函数在有界闭区域上连续，在内可微分且只有有限个驻点，求在上的最大值与最小值，其方法为：(1)求出在内的全体驻点和至少一个偏导数不存在点，并求出在这些点处的函数值；(2)求出在的边界上的最大值和最小值(一般用条件极值求法)；(3)将在各驻点和偏导数不存在点处的函数值与在的边界上的最大值和最小值相比较，最大者为在上的最大值，最小者在上的最小值常考题型1、二元函数的一般极值2、多元函数的条件极值3、多元函数在有界闭区域上的最值【例1】设函数的全微分为，则点 （ ）不是的连续点. 不是的极值点. 是的极大值点. 是的极小值点.【例2】设可微函数在点处取极小值,则