中考数学例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题

1、“将军饮马”老歌新唱例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题王柏校 古希腊有位将军要从A地出发到河边去饮马，然后再到B地军营视察，问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？这是著名的“将军饮马”问题，在河边饮马的地点有很多处，怎样找出使两条线段之和最短的那个点来，我们只要设L为河（如图1），作AOL交L于O点，延长AO至，使O=AO；连结B，交L于C，则C点就是所要求的饮马地点。再连结AC，则路程（AC+CB）为最短的路程。为什么饮马地点选在C点能使路程最短？因为A是A点关于L的对称点，AC与C是相等的。而B是一条线段，所以B是连结A、B这两点间的所有线中，最短的一条，所以AC+CB=C+CB=B也

2、是最短的一条路了。这就是运用轴对称变换，找到的一种最巧妙的解题方法。这一流传近2000年的名题至今还被命题者所喜爱，近年来许多省市中考中出现了以此故事为背景的试题，它们所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，而且又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效地体现学生的数学学习能力，现从2009年中考试题中撷取与此相关的试题来分类说明，供广大读者参考。一、演变成与正方形有关的试题例1（2009年抚顺）如图2所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D 分析与解：正方形ABCD是轴对称图形

3、，对角线AC所在直线是它的一条对称轴，相对的两个顶点B、D关于对角线AC对称,在这个问题中D和E是定点，P是动点。我们可以找到一个定点D的轴对称点B，连结BE，与对角线AC交点处P就是使距离和最小的点（如图3），而使PD+PE的和的最小值恰好等于BE,因为正方形的面积为12，所以它的边长为2，即PD+PE的最小值为2。二、演变成与梯形有关的试题例2（2009鄂州）已知直角梯形ABCD中ADBC,ABBC，AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（ ）A B C D3BCDAP图4分析与解：如图，先作出A点关于BC的对称点E,连结DE交BC于P

4、点，连结AP,再过点D作DFBC于F,过点D作DGAP于G.先可以根据梯形知识和勾股定理可以求得DF=4,从而AB=4,再由AB=BE且ADBC,知道BP是ABE的中位线，BP=AD=1得AP=.因为ADP的面积=ADDF=APDG,所以AP边上的高DG为=,即正确答案是C.三、演变成与圆有关的试题例3（2009龙岩）如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 .分析与解：首先根据对称知识确定点P的位置，连结BC交MN于点P，根据垂径定理易知AE=4,CF=3,EF=7.再过C作C

5、GAB于点G,在RtBCG中，CG=EF=7,BG=BE+EG=3+4=7,所以PA+PC的最小值为BC=7.四、演变成与直角坐标系有关的试题例4（2009孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n = 时，AC + BC的值最小分析与解：点A和B在直角坐标系下的位置如图8，此问题中A,B是定点，而点C（1，n）在直线x=1上,可以找出A点关于直线x=1的对称点A坐标是(1,-2),经过点B和A的直线解析式为y=x-，所以当x=1时n=-。这题与点的坐标和一次函数知识想结合，考查了学生的数形结合能力。解题时要画出示意图，在直角坐标系中确定点的大致位

6、置，就可以比较明确的看出利用将军饮马的背景，再利用坐标知识求出对称点的坐标，最后结合一次函数求出结果。五、演变成与一次函数有关的试题例5（2009荆门）一次函数y=kxb的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)如图9(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PCPD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标 图9分析与解：利用待定系数法易求得函数解析式为：y2x4；求 PCPD的最小值时既可以用代数方法求解，也能用几何方法求出，关键还是正确找到能使PC+PD的值最小的点的位置。如图10，设点C关于点O的对称点为，连结P、D，则PCPC

7、PCPDPCPDCD，即C、P、D共线时，PCPD的最小值是CD连结CD，在RtDCC中，CD2；易得点P的坐标为(0，1)(亦可作RtAOB关于y轴对称的)六、演变成与二次函数有关的试题例6（2009重庆）如图11，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.分析与解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代中得 抛物线解析式为： (2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称 直线BC与的交点即为Q点， 此

8、时AQC周长最小 C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解 Q(1，2)七、演变成综合型试题例6（2009 衢州）如图12，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说

9、明理由图124x22A8-2O-2-4y6BCD-44图134x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP分析与解： (1) （如图13）将点A(-4，8)的坐标代入，解得将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)图144x22A8-2O-2-4y6BCD-44A直线AP的解析式是令y=0，得即所求点Q的坐标是(，0)(2)（如图14）解法1：CQ=-2-=，故将抛物线向左平移个单位时，AC+CB最短，此时抛物线的函数解析式为解法2：设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A，B的坐标分别为A(-4-m，8)和B(2-m，2)，点A关于x轴对

10、称点的坐标为A(-4-m，-8)直线AB的解析式为要使AC+CB最短，点C应在直线AB上，将点C(-2，0)代入直线AB的解析式，解得图154x22A8-2O-2-4y6BCD-44AB故将抛物线向左平移个单位时AC+CB最短，此时抛物线的函数解析式为（如图15）左右平移抛物线，因为线段AB和CD的长是定值，所以要使四边形ABCD的周长最短，只要使AD+CB最短；第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有AD+CB>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A和点B的坐标分别为A(-4-b，8)和B(2-b，2)因为CD=2，因此将点B向左平移2个单位得B(-b，2)，要使AD+CB最短，只要使AD+DB最短点A关于x轴对称点的坐标为A(-4-b，-8)，直线AB的解析式为要使AD+DB最短，点D应在直线AB上，将点D(-4，0)代入直线AB的解析式，解得故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为综上所述，