第二讲 一维随机变量及其函数的概率分布

1、 参考题 1、已知随机变量 X 1 , X 2 的概率分布： 1 0 1 0 X1 1 1 1 , X 2 1 4 2 4 2 1 , 且 P ( X 1 X 2 = 0 = 1 。 1 2 (1 求 X 1和X 2 随机变量的联合分布； （2）问随机变量 X 1 , X 2 是否独立，为什么？ （1）X 与 Y 是否 2、设随机变量（X,Y）在区域 D: 0 x 1, 0 y 2 服从均匀分布， 独立? (2 求随机变量 Z = 2 X + Y 的分布函数， （3）求 W = min X , Y 的概率密度。 3、设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 相互独立且同分布， P

2、( X i = 0 = 0.6, P ( X i = 1 = 0.4, i = 1, 2,3, 4 。求行列式 X = 4、已知平面区域 D 由曲线 y = X1 X3 X2 X4 的概率分布。 1 2 及直线 y = 0, x = 1, x = e 围成， （X，Y）在 D 上均匀 x 分布。求： （1） （X，Y）的联合密度。 （2）X 和 Y 的边缘分布密度； （3）问 X 与 Y 是否独 立？ 5、设随机变量 X 在0,1上均匀分布，Y 服从参数 = 1 的指数分布，且 X 与 Y 相互独 立，求随机变量 Z = Y 的概率密度。 3X 6、已知平面区域 B 是由 x 轴， y 轴及直

3、线 y = 2 x + 1 所围成的三角形区域，随机变量 （X，Y）在 B 上均匀分布，求（X,Y）的联合密度及联合分布函数。 7、设随机变量 ( X , Y 的联合密度 f ( x, y = 概率密度。 3 x 0 < x < 1, 0 < y < x ,求 Z = X Y 的 其他 0 课堂练习题答案 1、 Y X y1 1/24 1/8 1/6 y2 1/8 3/8 1/2 y3 1/12 1/4 1/3 P (Y = xi = pi 1/4 3/4 1 x1 x2 P (Y = y j = p j 2、 1 3 1 1 ； 3、 （1） a = ， P ( X

4、2 + Y 2 = 4 2 2 0 x < 0, y < 0 2 2 x y 0 x 1,0 y 1 2 x 0 x 1 2 （2） f X ( x = 4、 （1） F ( x, y = y x > 1,0 y 1 其它 0 x 2 0 x 1, y > 1 1 x 1, y 1 2 y 0 y 1 fY ( y = 其它 0 （3）X 与 Y 独立。 e x y 5、 （1） f ( x, y = 0 6、 （1） P ( Z （2） P(W x > 0, y > 0 1 （2）1 e 其它 = 3 = 0.18, P( Z = 5 = 0.54, P(

5、 Z = 7 = 0.28 = 3 = 0.12, P(W = 1 = 0.46, P(W = 1 = 0.42 2 5 7、 2 ； 3 8、1 (1 e 0 z0 1 1 2 (2a 2 z 0 < z < a 2 9、 FZ ( z = 2 (2az z 0 < z < 1 ， f Z ( z = a a 0 其它 z 1 0 参考题答案 1、 pij pi × p j ，所以X1与X2不独立 X2 0 1/4 0 1/4 1/2 1 0 1/2 0 1/2 X1 1 0 1 pi 1/4 1/2 1/4 p j 2、 （1）X 与 Y 独立 0 2 z

6、 8 （2） FZ ( z = 2 z 1 z 8 1 3、 P ( X z<0 0 z<2 2 z<4 z4 3 z 0 z <1 （3） f w ( z = 2 其它 0 = 1 = 0.1344, P( X = 0 = 0.7312, P( X = 1 = 0.1344 ( x, y D ( x, y D 1 4、 （1） f ( x, y = 2 0 e2 1 2 1 1 x e2 1 1 （2） f X ( x = 2 x ， fY ( y = 2 y 2 其它 0 0 0 5、 f Z ( z = 1 (1 e3 z 3 ze 3 z 2 3z z0 z>0 6、 0< y< 1 e2 1 y <1 e2 y 1 4 ( x, y B f ( x, y = 0 ( x, y B 0 2 y (2 x y + 1 2 F ( x, y = 4 x 2 + 4 x + 1 y 2 y (1 2 1 1 x 或y 0 2 1 < x 0且0 < y < 2 x