平面解析几何专题突破习题顾效禹

1、平面解析几何第一部分基本知识直线和圆的方程(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。(2)掌握两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。(3) 了解二元一次不等式表示平面区域。(4) 了解线性规划的意义.并会简单的应用。(5) 了解解析几何的基本思想，了解坐标法。(6)掌握圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念。理解圆的参数方程。圆锥曲线方程(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。(2)掌握双曲线的定义、标

2、准方程和双曲线的简单几何性质。(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。(4) 了解圆锥曲线的初步应用。(一)直线与圆知识要点1 .直线的倾斜角与斜率k=tg0c(值工9。),直线的倾斜角L定存在，范围是0,乂但斜率不一定存在。斜率的求法：依据直线方程依据倾斜角依据两点的坐标2 .直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。3 .两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。(斜率相等还有可能重合)4 .两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。5 .点到直线的距离公式。6 .会用一元不等式表示区域。能够解决简单的

3、线性规划问题。7 .曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。8 .圆的标准方程：(xa)2+(yb)2=r2圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圆的条件。犬二曰+r匚0sJ圆的参数方程：叩掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。（二）圆锥曲线1 .椭圆及其标准方程：第一定义、第二定义标港方程（注意焦点在哪个轴上），椭圆的简单几何性质4小b、C、的几何意义，浪线方程，焦半径）楠圆的参敬方程箕=乱出更当点尸在椭圆上时，可用参数方程设点的坐标，把间题转化为三角幽数闻题.2 .双曲线及其标准方程：第一定义r舞皿义C注意与椭圆相类比），标准方程注

4、意焦点在哪个轴上）麻曲线的府单几何,柱质b的几何意义，港线方程，焦华径，渐近蛾）3 .抛物线及其标准方程：完，义，以及定义在解题中的灵活应用抛物城上的点到焦点的距离问题经常转化为到淮线的距离。）粽推方程（注宜建点在哪个轴上开口方向，p的几何自文）四种形式鼬物域的储单几何性质您点坐标一方程与焦点有关的造帽）4 .直线与圆锥曲线：.位置美系，经常转生为方程旭的解密情况.弦长.运用韦达定理解决面积.注意合理分析汪息点：（1）注意防止由于零截距”和无斜率”造成丢解（2）要学会变形使用两点间距离公式I氏,当已知直线1的斜率化时，公式变形为=记%-近1或、当已知直线的倾斜角）时，还可以得到二匕一工JMc或

5、=M-m卜除c（3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算。（4）会在任何条件下求出直线方程。（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质解析几何中的一些常用结论：1 .直线的倾斜角曲范围是0,兀）2 .直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角而增大而增大。当娓钝角时，k与洞增减。3 .截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。4 .两直线：L1:A1x+B1y+C1=0L2:A2x+B2y+C2=0L1XL2=A1A2+B1B2=05 .两直线的到角公式：11到12的角为0,tan0L+鬲扁-1tl夹角为0,tan0=左诙！|注意夹角和到角的区别6 .点到直线的距

6、离公式，两平行直线间距离的求法。7.有关对称的一些结论点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称点分别是(a,b),(a,b),(a,b),(b,a)如何求点(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点直线Ax+By+C=0关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点(a,b)对称的直线方程又是什么？如何处理与光的入射与反射问题？8 .曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：(1)点(a.b)(2)x轴(3)y轴(4)原点(5)直线y=x(6)直线y=-x(7)直线x=a9 .点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。点P(x0,y0

7、)，圆的方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.如果(x0a)2+(y0b)2r2点P(%,y0)在圆外；如果(x0a)2+(y0b)20相离d=c相切dr+RG两圆相离d=r+RC两圆相外切|R-因心=两圆相交d=|Rr|0两圆相内切d0,n0)。定量一一由题设中的条件找到式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。(4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。(5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。(6)求动点轨迹方程是解析

8、几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将曲线”化成方程“，将形化成数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质.求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围。(7)参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解。第二部分解析几何中的范围问题一、题设条件中的不等式关系”之运用事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时，不失时机

9、的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关4t环节.1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线右支上，点M(m,0)到直线AP的距离为1.闲日走汨(1)若直线AP的斜率为k,且口$,求实数m的取值范围；(2)当熠=应+1时，4APQ的内心恰好是点M,求此双曲线方程.+12、设椭圆椅+1的两个焦点是瓦(一”)瑞3。)0)，且椭圆上存在点P使得直线因与直线巡垂直.(1)求实数m的取值范围；(2)设L是相应于焦点用的准线，直线F用与L相交于点Q,若引，求直线F乙的方程.圆锥曲线的有关范围”之运用E1Z1F十-丁=1(古0)1、以再骂为焦点的椭圆与x轴交于A,B两点

10、(1)过耳作垂直于长轴的弦MN,求/AMB的取值范围；(2)椭圆上是否存在点巳使/APB=1200?若存在，求出椭圆离心率e的取值范围.解：三、J元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式。，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。1、已知椭圆的一个顶点A(0,1),焦点在x轴上，且右焦点到直线工一i&=0的距离为3,若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N,使M、N关于过A点的直线对称，求直线l的斜率取值范

11、围。四、熏在圆锥曲线内部的充要条件”之运用所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：1、L匚?；一一.一，-，冷-点此颐先)在椭圆三十彳=1值b0)内部十号1.2、 Lt.八一”222点鲍；区，小Q)在双曲线J-之=ig、0,40)内部0粤一驾L3、 二-/,4、L1、已知椭圆的焦点为耳y玛巴0),过点外且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为b,国引+|刎=1。，又椭圆上不同两点a、c满足条件:MMM成等差数列.(1)求椭圆的方程；(2)

12、设弦AC的垂直平分线方程为y=kx+m,求m的取值范围.五、圆锥曲线的定义或几何性质中隐蔽的不等关系”之运用1、一“门.工厂”|一1一：2”一二I一=一J=1匕0，占0)口门1、已知双曲线N的左、右焦点分别为K、与，若在其左支上存在点P且点P到左准线的距离与忸&卜周成等比数列，求离心率e的取值范围.第三部分直线与圆锥曲线问题的解题策略众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：(1)条件或目标的等价转化；(2)对于交点坐标的适当处理。本文试从上述两

13、个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。一、条件或目标的认知与转化解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。1、化生为熟(1)向弦中点问题转化a3y2_2而1.已知双曲线/庐=1(a0,b0)的离心率”亍，过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为二(1)求双曲线方程；(2)若直线/加(kmO)与双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m的取值范围(2)

14、向弦长问题转化C一夕I例2.设F是椭圆三=1的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足网:MH-3L(1)求点P的轨迹C2的方程；(2)过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使因口网成立的直线l的方程。2.化繁为简解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略，除去化生为熟”之外，重要的当数借重投影”或避重就轻”。(1)借助投影例3.如图，

15、自点M(1,-1)引直线l交抛物线13于P1、P2两点，在线段P1、P2上取一点Q,使河川、眼、河引的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。(2)避重就轻事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。例4.已知点P、Q在椭圆外户=上，椭圆中心为0,且苏工=0,求椭圆中心。到弦PQ的距离。二、求解交点坐标的度”的把握个体与整体是辩证的统一，循着个体”与整体”的辩证关系，立足于解”交点坐标，主要是以下两种选择：1、半心半意，解至中途1.设斜率为2的直线与抛物线，=16-桁相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形A

16、BCD,使1ABRBC|=2:1,求矩形ABCD的对角线交点M的轨迹方程。2、真心实意，求解到底当目标的转化结果不是交点横标(或纵标)的对称式，而是交点坐标的个体时，则需要真心实意地将求解交点坐标进行到底。例2.正方形ABCD的中心为M(3,0),一条顶点在原点，焦点在X轴正半轴上的抛物线E,一条斜率为彳的直线1,若A、B两点在抛物线E上，而C、D两点在直线l上，求抛物线E和直线1的方程。三、求解交点坐标的转换与回避解决直线与圆锥曲线相交问题招致复杂局面或陷入绝境，究其原因，大多是求解直线与圆锥曲线所联立方程组惹的祸。因此，面对所给问题，当能预见到求解上述方程组的繁难程度时，能转换正面求解（交

17、点坐标）便尽量转换，能回避正面求解（交点坐标）便尽量回避C1、设而不解这里所谓的设而不解”，是指设出交点坐标之后，借助已知方程，运用交点坐标去表示已知条件或主要目标。其中，用所设交点坐标去构造有关直线的斜率最为多见。1.设椭圆八、式的上半部有不同三点A、B、C,它们到同一焦点的距离依次成等差数列，且点B的纵坐标与椭圆的半焦距相等，求线段AC的中垂线在y轴上的截距。2、不设不解这是解决直线与曲线相交问题的至高境界。因此，欲适时地正确选择对交点坐标不设不解”，需要我们对问题或图形本质的深刻认知，需要我们对有关知识的深厚积淀或升华。(1)利用圆锥曲线定义回避交点坐标例2.已知F1、F2为椭圆的两个焦

18、点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1,且加卜也，求椭圆的离心率。(2)借助有关图形性质回避交点坐标例3.已知直线1：*+卯-3与。CX+/+-2时斗0相交于a、b两点，当8_LCF时,求。C的方程。(3)利用有关问题的深入认知回避交点坐标这是处置直线与曲线乃至两曲线相交问题的重要策略，现以例4示范说明。1.已知圆M与圆土黄-叮1=口相交于不同两点A、B,所得公共弦AB平行于已知直线2力T口，又圆M经过点C(-2,3),D(1,4),求圆M的方程。四、高考真题1.已知椭圆处心/坐区原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆在焦点F的直线交椭圆于A、B两点，虱+前与。T)共线。(1)求椭圆的离心率；_(2)设M为椭圆上任意一点，且M6A+g(Z一),证明#,声为定值。分析：/+=i一2 .P、Q、M、N四点都在椭圆2上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知玩与PQ共线，MF与国共线，且证而=。，求四边形P