平面向量的基本概念

1、平面向量的实际背景及基本概念1 .向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。2 .数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.3 .有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。4 .有向线段的三要素：起点，大小，方向5 .有向线a少的区猿（1都有大小和方向A（起点）（2）不同点：有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在中的两个有向线段表示相同（等）的向量。向量是用有向线段来表示的，可

2、以认为向量是由多个有向线段连接而成6 .向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；7 .向量的模：向量AB的大小（长度）称为向量的模，记作|AB|.8 .零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。9 .平行向量定义：方向相同叟相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.即：0/a说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a/b/c.10 .相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量a与b相等，记作a=b；（2）零向量与零向量相等；（3）

3、任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.11 .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)说明：(1)平行向量是可以在同一直线上的。(2)共线向量是可以相互平行的。例1.判断下列说法是否正确，为什么？BA(1)平行向量是否一定方向相同？B(2)不相等的向量是否一定不平行？/O(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？c/.f(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？D-E(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(7)共线向量一定在同一直线上

4、吗？解析：(1)不是，方向可以相反，可有定义得出。(2)不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。(3)零向量(4)零向量(5)共线向量(平行向量(6)长度相等且方向相同(7)不一定，可以平行。例2.下列命题正确的是(：；A. a与b共线，b与c共线，则a与c：也共然B. 1."芍个：I。IW司片内始点,涔点J平i汁L这形L%力C.向量a与b不共线，则a与b：部纪北零同吊D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可

5、能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C,其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.例3.如右图所示，设O是正六边形ABCDEF勺中心，fff分别写出图中与向量oa,OB,OC相等的向量。解：按照向量相等的定义可知：T T TOA = CB = DOOB=DC=EOOC=AB=ED=FO向量的加法运算及其几何意义1 .向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量

6、的加法2 .三角形法则(记忆口诀：“首尾相接，从头指尾”)3 .三角形法则的来由记作a+ b ,如图，已知向量a、b.在平面内任取一点，作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,即a+b=ABBC二AC规定：a+0-=0+a4.向量加法的C5.平行四边形a+bBAB图1ABBC=ACa+b.字母公式:法则如图1,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.6.平行四边形法则与三角形法则的区别:(1)平行四边形法则是将两个向量的起点放在一起做出平行四边形，最终和向量的结果的起点和两

7、个分向量的起点是同一起点。(2)三角形法则要求第一个向量终点和第二个向量的起点连接在一起,然后连接第一个向量的起点和第二个向量的终点组成三角形，最终和向量的结果是：由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。7.一般结论当a,b不共线时，|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;当a,b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|.一般地,我们有|a+b|<|a|+|b|

8、.二.例题讲解例1、已知正方形ABCD勺边长为1,=a,b,=c,则|a+b+c|等于()A.0B.3C.2D.2.解:作出正方形ABCD的图形如上图所示，那么：a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=2,所以选D.例2.化简：(i)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+CD+BC+.例3.如图所示，已知矩形ABCD中,|AD|=4，设AB=a,BC=b,BD=c,试求向量a+b+c的模.解:过D作AC的平行线，交BC的延长线于E,.DE/AC,AD/BE.:四边形ADEC为平行四边形DE=AC,=AD.于是a+b+c=AB+BC+BD=DE+BD=

9、AD+AD=2AD,|a+b+c|=2|AD|=8.1 .判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；一个向量方向不确定当且仅当模为0;共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。2 .(1).判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因=0.-=0(2)若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是(3)将所有共线向量移至同一起点，终点构成的图形是什么图形？3 .下列说法正确的是()A.平行向量是方向相同的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量是在同一条

10、直线上的向量4 .若非零向量与共线，则以下说法下确的是()A.与必须在同一直线上B.与平行，且方向必须相同'C.与平行，且方向必须相反D.与平行1、在四边形ABCD中，若AC=XB+TD,则四边形ABCD的形状一定是(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和，那么下列命题中错误的一个是()A、与为平行向量B、与为模相等的向量C、与为共线向量D、与为相等的向量3、下列命题中正确的是A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>bD.对于任意向量a、b,必有|a+b|&|a|+|b|平面向量的加法运算1、用三角形法则和平行四边形法则分别画出K()A.单位向量都相2、下列命题中正B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>bD.对于任意向量a、b,必有|a+b|w|a|+|b|3、已知正方形的边长为1,AB=a,BC加，AC=c，则|a+b+c|等于()A.0B.3C.D.24、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为和,那么下列命题中错误的一个是A与为平行向量B、与为模相等的向量C与为共线