历年初中数学竞赛试题精选

1、.初中数学竞赛专项训练初中数学竞赛专项训练1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A. 111B. 1000C. 1001D. 1111解：依题意设六位数为，则abcabca105b104c103a102b10ca102（1031）abcabcb10（1031）c（1031）（a103b10c） （1031）1001（a103b10c） ，而 a103b10c 是整数，所以能被 1001 整除。故选 C方法二：代入法2、若，则 S 的整数部分是_2001119811198011S解：因 1981、19822001 均大于 1980，所以，又

2、9022198019801221S1980、19812000 均小于 2001，所以，从而知22219022200120011221SS 的整数部分为 90。.3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被 100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，

3、它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。4、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的 b%，所以调价后每件衬衣的零售价为 m（

4、1a%）b%元。应选 C5、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么的所有可能|abcabcccbbaa的值为（）.A. 0B. 1 或-1C. 2 或-2D. 0 或-2解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。当 a，b，c 为两正一负时：；0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，当 a，b，c 为两负一正时：0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，由知所有可能的值为 0。|abcabcccbbaa应选 A6、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B60，则的bcabac值为（）A. B. 2122C

5、. 1D. 2解：过 A 点作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，则于B60，所以 DB，AD2C。在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所以有（a）2b2C2，整理得C232C43a2c2=b2ac，从而有1)(22222bbcabacbcabcabcbaabacbcbcabaccABCab.应选 C7、设 ab0，a2+b2=4ab，则的值为（baba）A. B. C. 2D. 336解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab0，得，abbaabba26，故。3baba应选 A8.已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式 a

6、2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 332) 1() 1(21211)()()(21222222222原式，又，解：accbbaaccbbacabcabcba9、已知 abc0，且 a+b+c0，则代数式的值是（abccabbca222）A. 3B. 2C. 1D. 0.3)()()()()()(ccbbaabcaccbabcabaabcbaacbcabcacb解：原式10、某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为解：设该商品的成本为 a，则有 a(1+p%)(1-

7、d%)=a，解得p100p100d11、已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9，则 x+2y+3z=_解：由已知条件知（x+1）y=6，(x1)y=z29，所以 x1，y 是 t26tz29=0的两个实根，方程有实数解，则（6）24（z29）4z20，从而知z=0，解方程得 x+1=3，y=3。所以 x+2y+3z812.气象爱好者孔宗明同学在 x（x 为正整数）天中观察到：有 7 个是雨天；有 5 个下午是晴天；有 6 个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则 x 等于（）A. 7B. 8C. 9D. 10选 C。设全天下雨 a 天，上午晴下午雨 b 天，上午雨下午晴

8、 c 天，全天晴 d 天。由题可.得关系式 a=0，b+d=6，c+d=5，a+b+c=7，得 2d-a=4，即 d2，故 b=4，c=3，于 xa+b+c+d=9。13、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时、千米，1v2v3v4v且满足0，其中，为河流的水流速度（千米/小时） ，它们在河1v2v3v4v水v流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。 （2）经过 1 小时，、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号？ 解：出发 1 小时后，、号艇与号艇的距离分别为441)(vvvvvvSiii水水（）各艇追上号艇的时间为4444

9、4421)()(vvvvvvvvvvvvvtiiiiii水水对有，即号艇追上号艇用的时间最小，号是冠1v2v3v4v321ttt军。14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用 12 台水泵需 5 小时，用10 台水泵需 7 小时，若要在 2 小时内抽干，至少需水泵几台？.解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为xy，2 小时抽干满池水需 n 台水泵，则znzyxzyxzyx2210771255由得，代入得： zyzx535nzzz21035，故 n 的最小整数值为 23。2122n答：要在 2 小时内抽干满池水，至少需要水泵 23 台15.某宾馆一

10、层客房比二层客房少 5 间，某旅游团 48 人，若全安排在第一层，每间 4 人，房间不够，每间 5 人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每 3 人，房间不够，每间住 4 人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得x)5( x)5(448)5(35484xxxx由得：，即xx54848412539 x由得：，即)5(44848)5(3xx117 x原不等式组的解集为11539 x.整数的值为。x10 x答：一层有客房 10 间。16、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做 10 个零件，这样 8 个人一天做的零件超过 200 个，后来改进技术，每人

11、一天又多做 27 个零件，这样他们 4 个人一天所做零件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？解：设劳动竞赛前每人一天做个零件x由题意)10(8)2710(4200)10(8xxx解得1715 x是整数16xx（1637）163.3故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的 3.3 倍。初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（5 5）（方程应用）一、选择题：1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行 1 小时后他们分别到达各自的终点 A 与.B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B，甲乙的速度之比为（）A. 35B

12、. 43C. 45D. 342、某种产品按质量分为 10 个档次，生产最低档次产品，每件获利润 8 元，每提高一个档次，每件产品利润增加 2 元，用同样工时，最低档次产品每天可生产 60 件，提高一个档次将减少 3 件，如果获利润最大的产品是第 R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加） ，那么 R 等于（）A. 5B. 7C. 9D. 103、某商店出售某种商品每件可获利 m 元，利润为 20%（利润） ，若这种商售价进价进价品的进价提高 25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元，则提价后的利润率为（）A. 25%B. 20%C. 16%D. 12.5%4、某项工程，

13、甲单独需 a 天完成，在甲做了 c（cb，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（）baA. B. C. D. 213 215 223 225 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A. 0B. 1C. 3D. 58、若函数与函数的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，)0(kkxyxy1则ABC 的面积为（）A. 1B. 2C. kD. k2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a，b，则 d 与的大小关系是2ba 2、如图 8-5，AA、BB分别是EAB、DBC 的平分线，若 AABBAB，则BAC 的度数为3、已知五条线

14、段长度分别是 3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7） 、 （5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长4、如图 8-6，P 是矩形 ABCD 内一点，若PA3，PB4，PC5，则 PD5、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正图 8-6ABDCP16米20米ABCD甲乙图 8-7图 8-8BACPABBDC图 8-5EA.北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30，此时求如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。6、如图 8-8，在ABC

15、 中，ABC60，点 P 是ABC 内的一点，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，则 PB.三、解答题1、如图 8-9，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD（AB+AC）212、已知一个三角形的周长为 P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？3、如图 8-10，在 RtABC 中，ACB90，CD 是角平分线，DEBC 交 AC 于点 E，DFAC 交 BC于点 F。求证：四边形 CEDF 是正方形。CD22AEBF4、从 1、2、3、4、2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等） ，试问满足条

16、件的 k 的最小值是多少？数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（8 8）参考答案）参考答案ABDC图 8-9ACFBDE图 8-10.一、选择题1、如图过 C 作 CEAD 于 E，过 D 作 DFPB 于 F，过 D 作DGCE 于 G。 显然 DGEFAB5，CDDG，当 P 为 AB 中点时，有 CDDG5，所以 CD21长度的最小值是 5。2、如图延长 AB、DC 相交于 E，在 RtADE 中，可求得AE16，DE8，于是 BEAEAB9，在 RtBEC3中，可求得 BC3，CE6，于是 CDDECE2333BCCD5。33、由已知 AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CFAD+A

17、E+FDEB+BC+CF11)(21CDBCABADEFBC，EFAD，FCDFEBAE设，kFCDFEBAE141161kkCDkkDFkkABkkAE，AD+AE+FD3+解得 k413131416kkkkkk111313kk作 AHCD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G，则 GFHCAD3，BHBCCH9-36，54ABAEBHEG52454BHEG5393524GFEGEF4、假设 、 三个角都是锐角，即 90，90，90，也就是 A+B90，ABCDPEFG60ABCDEADCBEFHG.B+C90，C+A90。2（A+B+C）270，ABC135与ABC180矛盾。故 、

18、不可能都是锐角，假设 、 中有两个锐角，不妨设 、 是锐角，那么有 AB90，CA90，A(ABC)b，故A 是ABC 的最小角，设AQ，则以b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为 Q，从而它与ABC 全等，所以 DCb，ACDQ，因有公共底角B，所以有等腰ADC等腰CBD，从而得，即，令，即得方程BCBDABBCbbaabbax ，解得。选 B。012 xx215 bax7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不能超过 3个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易QABCD.构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形。8、A。设点

19、A 的坐标为（） ，则，故ABO 的面积为，又因为yx，1xy2121xyABO 与CBO 同底等高，因此ABC 的面积2ABO 的面积1。二、填空题1、如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为 M、N，MNd，另一组对边是 AD 和 BC，其长度分别为 a、b，连结 BD，设 P 是 BD 的中点，连结MP、PN，则 MP，NP，显然恒有，当 ADBC，由平行线等分2a2b2bad线段定理知 M、N、P 三点共线，此时有，所以与的大小关系是2badd2ba 。)2(2dbabad或2、12。设BAC 的度数为 x，ABBB BBD2x，CBD4xABAAAABAB A

20、CBD4xAAB)180(21x，于是可解出 x12。18044)180(21xxx3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7） 、（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、（5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+711 可以判定（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，11）这三组不能构成三角形的边长，因此共有 7 个数组构成三角形三边长。4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过

21、P 作 BC 的平行线分别交ABDCPMN.AB、CD 于 G、H。设AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，则222222222222DPadcbBPdbCPcaAP，于是，故，2222DPBPCPAP184532222222BPCPAPDPDP325、设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中 CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设 CEAB 于点 E，那么在AEC 中，AEC90，ACE30，EC20 米。所以 AEEC（米） 。6 .11332030tan20tanACECDEBAB-AE16-11.64.4（米）设点 A 的影子落到地面上某一

22、点 C，则在ABC 中，ACB30，AB16 米，所以（米） 。所7 .27316cotACBABBC以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要 27.7 米。6、提示：由题意APBBPCCPA120，设PBC，ABC60则ABP60，BAPPBC，ABDCPEFGHaabbcd16米20米ABCD甲乙E.ABPBPC，BP2APPCPCBPBPAP3448 PCAPBP三、解答题1、证明：如图延长 AD 至 E，使 ADDE，连结 BE。BDDC，ADDE，ADCEDBACDEBDACBE在ABE 中，AEABBE，即 2ADABACAD（ABAC）212、答案提示：在ABC 中，不

23、妨设 abca+bca+b+c2c即 p2cc，2p另一方面 ca 且 cb2ca+b3c。3pcpcba因此23pcp3、证明：ACB90，DEBC，DFAC，DEAC，DEBC，从而ECFDECDFC90。CD 是角平分线DEDF，即知四边形 CEDF 是正方形。在 RtAED 和 RtDFB 中，DEBCADEBRtAEDRtDFB，即 DEDFAEBFCDDEDF，BFDEDFAE22BFAEDFDEDFDECD222224、解：这一问题等价于在 1，2，3，2004 中选 k1 个数，使其中任意三个数ABDCE.都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最

24、大值是多少？符合上述条件的数组，当 k4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使 k 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2an显然总有 ai大于等于中的第 i 个数，所以 n16k1，从而知 k 的最小值为 17。初中数学竞赛专项训练初中数学竞赛专项训练（9 9）（面积及等积变换）一、选择题：1、如图 9-1，在梯形 ABCD 中，ABCD，AC

25、与 BD 交于 O，点 P 在 AB 的延长线上，且 BPCD，则图形中面积相等的三角形有（）A. 3 对B. 4 对C. 5 对D. 6 对2、如图 9-2，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边AB、BC 的中点，连 AF、CE，设 AF、CE 交于点 G，则等于（ABCDAGCDSS矩形四边形PADCBO图 9-1ABCDEFG图 9-2.）A. B. C. D. 655443323、设ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且，若在边 AC 上取一点 E，使ABAD31四边形 DECB 的面积为，则的值为（）43EACEA. B. C. D. 213141514、如图 9-3，在

26、ABC 中，ACB90，分别以 AC、AB 为边，在ABC 外作正方形 ACEF 和正方形 AGHB，作 CKAB，分别交AB 和 GH 于 D 和 K，则正方形 ACEF 的面积 S1与矩形 AGKD 的面积 S2的大小关系是（）A. S1S2B. S1S2C. S1S2D. 不能确定，与的大小有关ABAC5、如图 9-4，四边形 ABCD 中，A60，BD90，AD8，AB7，则 BC+CD 等于（）A. B. 5C. 4D. 3363336、如图 9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设 a1，则正方形的面积为（）A. B. 253C. D. 2537 215 2)21 (

27、 ABCDHGKFE图 9-3ABCD图 9-4abaabb图 9-5ab.7、如图 9-6，矩形 ABCD 中，ABa，BCb，M 是 BC 的中点，DEAM，E 为垂足，则 DE（）A. B. 2242baab224baabC. D. 2242baab224baab8、O 为ABC 内一点，AO、BO、CO 及其延长线把ABC 分成六个小三角形，它们的面积如图 9-7 所示，则 SABC（）A. 292B. 315C. 322D. 357二、填空题1、如图 9-8，梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a，高为 h，则图中阴影部分的面积为2、如图 9-9，若等腰三角形的底边上的高等于 1

28、8cm，腰上的中线等于 15cm，则这个等腰三角形的面积等于3、如图 9-10，在ABC 中，CEEB12，DEAC，若ABC 的面积为 S，则ADE 的面积为4、如图 9-11，已知 D、E 分别是ABC 的边 BC、CA 上的点，且BD4，DC1，AE5，EC2。连结 AD 和 BE，它们相交于点P，过点 P 分别作 PQCA，PRCB，它们分别与边 AB 交于点Q、R，则PQR 的面积与ABC 的面积之比为ABCDEM图 9-6ABCDEFO84xyy40y30y35y图 9-7图 9-8AEDCFBAMCDBG图 9-9ACEBD图 9-10ABQRDCEP图 9-11ABCDGFE图

29、 9-12.5、如图 9-12，梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC25，AFFD11，BEEC23，EF、CD 延长线交于 G，用最简单的整数比来表示，SGFDSFEDSDEC6、如图 9-13，P 是矩形 ABCD 内一点，若PA3，PB4，PC5，则 PD三、解答题1、如图 9-14，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，F 是 CD 上的点，SABESADFS矩形 ABCD。31求：的值。CEFAEFSS2、一条直线截ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F。求证：1FBAFEACEDCBDABCDP图 9-13ADFCEB图 9-14ABCDEF图 9

30、-15.3、如图 9-16，在ABCD 中，P1、P2、P3Pn-1是 BD 的 n 等分点，连结 AP2，并延长交 BC 于点 E，连结 APn-2并延长交 CD 于点 F。求证：EFBD设ABCD 的面积是 S，若 SAEFS，求 n 的值。834、如图 9-17，ABC 是等腰三角形，C90，O 是ABC 内一点，点 O 到ABC 各边的距离等于 1，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 45得到A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形 KLMNPQ。证明：AKL，BMN，CPQ 都是等腰直角三角形。求证：ABC 与A1B1C1公共部分的面积。DBACEFP1P2Pn-2Pn-1图 9-16图

31、 9-17ABCC1A1B1LMKNQPO.数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（9 9）参考答案）参考答案一、选择题：1、C。ACDBCPBCDBCPBCDACDBOCAODABDABCSSSSSSSSSS，2、D。连结 AC，有，则3:1:ABCAGCSS。ABCDABCDABCDACDAGCAGCD32212131S矩形矩形矩形四边形SSSSS3、B。如图联结 BE，ADES41431设，则xACCExABE1S414131SxxADE，31EACE4、A。解：，因为，AGADSACS221，ACBRtADCRt所以，即，又因为 ABAG，ABACACADABADAC2所以，所以应选 A。

32、221SAGADACS5、B。解：如图延长 AD，BC 相交于 E，在 RtABE 中，可求得 AE14，于是 DEAE，AD=6，又BE，在 RtCDE 中，可求得3CD2，CE4，于是33BCBECE，BC+CD5。336、A。解：由右图与左图的面积相等，得，已知，所以有2)()(bababb1aAEDBCABCDE60.，即，解得，从而正方形2) 1() 12(bbb012bb251b的面积为。2537)253() 1(22b7、A。解：由ADEABM，得 DE222242)21(baabbaabAMABAD8、B。，即CDOACOBDOABOSSDOAOSS30354084xy又，即C

33、EOBCOBDEABOSSOEBOSS357084xy，解之得84211234yxyx5670yxSABC84+40+30+35+70+56315。二、填空题1、。解：延长 AF 交 DC 的延长线于 M，则ABFMCF，ahS21阴影AFFM，SABFSCMF。S阴影SDFM，AFFMSADFSMDF，。ABCDS21梯形阴影SahSABCD梯形ahS21阴影2、144。解：作 MNBC 于N，AMMC，MNAD，DNNC。，在 RtBMN 中，921ADMNBM15，MN9。BN12，而BDDC2DN，3DN12，DN4，BC16，S.ABC=ADBC1816144。21213、SADES

34、。解：CEEB12，设 CEk，则 EB2k，DEAC，92而 BEBC2k3k23，SBDES2)32(sSBDE94DEAC，则 SADE SBDES21BECEBDAD21BDADSSBDEADE21924、。解：过点 E 作 EFAD，且交 BC 于点 F，则，所以108940052EACEFDCF。因为 PQCA，所以75255CDFD33287544BFBDBEBPEAPQ于是。因为 PQCA，PRCB，所以QPRACB，33140PQ因为PQRCAB 故。1089400)3320()(22CAPQSSCABPQR5、126。解：设 AD2，则 BC5，FD1，EC3GFGEFDE

35、C13，GFFE12，SGFDSFEDGFFE12显然有 SEFDSCEDFDEC13，SGFDSFEDSCED126。6、3。解：过点 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线2分别交 AB、CD 于 G、H。设AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，则，222222222222CPadDPcbBPdbcaAP，于是，故，2222DPBPCPAP184532222222BPCPAPDPDP3。2.三、解答题1、设 BCa，CDb，由，得。BEa，ABCD31矩形SSABEab31BEb2132则 ECa。同理 FCb，。3131abba1813

36、13121SCEF，abCDADECSAECD32)(21梯形ababaabSSAEF1853118132SSADFCEFAECD梯形。15181185ababSSCEFAEF2、答案提示：连结 BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。3、解：因 ADBC，ABDC，所以DAPBEPABPFDPnn2222，从而有22AP2222222222nBPDPEPnDPBPFPAPnnnn，即所以 EFBDFPAPFPAPnn2222由可知，所以，同理可证22nABDFSnSAFD21SnSABE21显然，所以，22nDCDF241nnDCDFDCDFDCDCFC从而知，已知所以有Sn

37、nSECF2)24(21,83SSAEF，即SnnSnSS2)24(212128383)2(2)4(22122nnn解方程得 n6。4、证明：连结 OC、OC1，分别交 PQ、NP 于点 D、E，根据题意得COC145。点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于 1，OC 是ACB 的平分线。.ACB90OCEOCQ45同理OC1DOC1N45OECODC190CQPCPQC1PNC1NP45CPQ 和C1NP 都是等腰直角三角形。BNMC1NP45A1QKCQP45B45A145BMN 和A1KQ 都是等腰直角三角形。B1MLBMN90，AKLA1KQ90B145A45B1ML 和AKL 也都

38、是等腰直角三角形。在 RtODC1和 RtOEC 中，ODOE1，COC145OCOC1CDC1E-122PQNP2（-1）2-2，CQCPC1PC1N（-1）222222223)22(212CPQS延长 CO 交 AB 于 HCO 平分ACB，且 ACBC.CHAB，CHCOOH+12ACBCA1C1B1C1（1）2222223)22(212ABCSA1QBN（2+）（2-2）（2）2222KQMN2221)2(212BMNSAK（2+）（2）22221)2(212AKLS22411)223)223(S-S-S-SAKLBMNCPQABCKLMNPQ（多边形S初中数学竞赛专项训练（初中数学竞

39、赛专项训练（1010）（三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖）一、填空题：1、G 是ABC 的重心，连结 AG 并延长交边 BC 于 D，若ABC 的ACBE图 10-1.面积为 6cm2，则BGD 的面积为（）A. 2cm2B. 3 cm2C. 1 cm2D. cm2232、如图 10-1，在 RtABC 中，C90，A30，C 的平分线与B 的外角的平分线交于 E 点，则AEB 是（）A. 50B. 45C. 40D. 353、在ABC 中，ACB90，A20，如图 10-2，将ABC绕点 C 按逆时针方向旋转角 到ACB的位置，其中 A、B分别是 A、B 的对应点，B 在 AB上，CA交

40、 AB 于 D，则BDC 的度数为（）A. 40B. 45C. 50D. 604、设 G 是ABC 的垂心，且 AG6，BG8，CG10，则三角形的面积为（）A. 58B. 66C. 72D. 845、如图 10-3，有一块矩形纸片 ABCD，AB8，AD6，将纸片折叠，使 AD 边落在AB 边上，折痕为 AE，再将AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，CEF的面积为（）A. 2B. 4C. 6D. 8ABCDAB图 10-2.6、在ABC 中，A45，BCa，高 BE、CF 交于点 H，则 AH（）A. B. C. aD. a21a22a27、已知点 I 是锐角三角形 A

41、BC 的内心，A1、B1、C1分别是点 I 关于 BC、CA、AB 的对称点，若点 B 在A1B1C1的外接圆上，则ABC 等于（）A. 30B. 45C. 60D. 908、已知 AD、BE、CF 是锐角ABC 三条高线，垂心为 H，则其图中直角三角形的个数是（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题1、如图 10-4，I 是ABC 的内心，A40，则CIB2、在凸四边形 ABCD 中，已知 ABBCCDDA2231，且ABC90，则DAB 的度数是3、如图 10-5，在矩形 ABCD 中，AB5，BC12，将矩形ABCD 沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形ABCDDAE

42、BCADEBCF图 10-3ACIBD图 10-4ABCDED图 10-5.覆盖桌面的面积是4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是 12 点整，则经过秒钟后，OAB 的面积第一次达到最大。5、已知等腰三角形顶角为 36，则底与腰的比值等于6、已知 AM 是ABC 中 BC 边上的中线，P 是ABC 的重心，过 P 作 EF（EFBC） ，分别交 AB、AC 于 E、F，则AFCFAEBE三、解答题1、如图 10-6，在正方形 ABCD 的对角线 OB 上任取一点 E，过 D 作 AE 的垂线与 OA交于 F。求证：OEOF.2、在ABC

43、 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA、CB 到点 E、F，使 DEDF，过E、F 分别作 CA、CB 的垂线相交于 P，设线段 PA、PB 的中点分别为 M、N。求证：DEMDFNPAEPBFAECBFDPMN图 10-7.3、如图 10-8，在ABC 中，ABAC，底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M、N，边 CN并延长交 AB 于 E。求证：EMBNABCNMED图 10-8.4、如图 10-9，半径不等的两圆相交于 A、B 两点，线段 CD 经过点 A，且分别交两于C、D 两点，连结 BC、CD，设 P、Q、K 分别是 BC、BD、CD 中点 M、N 分别是弧 BC 和弧 BD

44、 的中点。求证：QBNQPMBPKPMNQKABCDMNKPQ图 10-9.数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（1010）参考答案）参考答案一、选择题1、解：。选 C。)( 12131312cmSSSABCABDBGD2、解：在 RtABC 中，C90，A30，则ABC60，因为 EB 是B 的外角的平分线，所以ABE60，因为 E 是C 的平分线与B 的平分线的交点，所以 E 点到 CB 的距离等于 E 到 AB 的距离，也等于 E 点到 CA 的距离，从而 AE 是A 的外角的平分线。所以，AEB180607545。应选 B。752150BAE3、解：依题意在等腰三角形 BCB 中，有BCB，B902070。所以 18027040，即DCA40，从而BDCDCAA402060。应选 D。4、解：设 AD 为中线，则 DGAG3，延长 GD 到 G，DGDG3，21。应选 C。723246821GBCABCCGGGBCSSSS5、解：由折叠过程知，DEAD6，DAECEF45，所以CEF 是等腰直角三角形，且 EC862，所以 SCEF2。