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文档简介

矩阵的奇异值分解和线性变换T 三、矩阵的奇异值分解和线性变换TA 矩阵A 矩阵AC m×n可以定义线性变换 TA ： C n C m 设矩阵的奇异值分解A=U 则将U 设矩阵的奇异值分解A=U VH ，则将U和V的列分 别取做空间C 的基，则变换T 的矩阵为 别取做空间C m 、C n的基，则变换TA的矩阵为: =VX =VX C m ,则TAX=(U VHVX=U(X=U X=(U VX=U( 1 x1 x 2 2 M r xr 0 变换T 在单位球上的象： 变换TA在单位球上的象： 定理3 定理3.16 (P.88 四、矩阵的极分解(Polar Decomposition 矩阵的极分解(Polar 方阵的极分解 设矩阵A 设矩阵AC n×n ，则矩阵A的奇异值分解: 则矩阵A的奇异值分解: A=U A=UVH=U (UH UVH = (U UHUVH=PQ P是半正定的Hermite 矩阵，P相似于 。 是半正定的Hermite 矩阵， 相似于 Q是酉矩阵 方阵极分解的意义和应用 描述变换Y=AX的拉伸和扭曲 描述变换Y=AX的拉伸和扭曲 3 2 例题1 求矩阵A= 的极分解， 例题1 求矩阵A= 的极分解， 0 3 依此讨论变换Y=AX的几何特性。 依此讨论变换Y=AX的几何特性。 的几何特性 解: 5 A = PQ =

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