一个最值问题的联想发现

1、一个最值问题的联想发现广东深圳市育才中学 王 扬检验学生数学学习水平高下的重要标志，就是通过某重方法检验解决数学问题的能力（即解题能力），而解题能力的培养和训练又是通过数学学习过程来完成的，学生学习的过程是一个不断探索，不断尝试的过程，在探索中有失败的经验教训，也有由成功带来的无比喜悦，对于一个人来讲，解题的失败往往是家常便饭，而成功则是沙里淘金，怎样才能从失败的深渊中尽快的解脱出来，使自己在成功的道路上能多一些锦上添花，少一些失败的痛苦磨难，我常在课堂上鼓励学生，树立正确的解题观：不会解数学题是常有的，但又是暂时的，而会做的数学题则不常有、可以说是偶尔的成功，老师也是这样.当然，我们多么希望

2、学生在听完一节数学课后马上就会解决所有数学问题，但事实上，这是不可能的，而且是永远办不到的，要想学好数学，只有通过不断的探索和尝试，通过分析借鉴别人解题的成功经验而逐步学会解题，而领悟成功解题的关键是善于从分析别人的解题过程中，学会自己应用所掌握的知识，并揣摩别人想法的由来，这是成功学会解题的第一步，继而对别人的解法提出自己的新见解，新认识，从而达到自己在学习上从未有过的新高度，这才是数学学习真正进步和提高的良好开端，下面以一道填空题为例简要介绍一下自己在一次竞赛辅导课上的做法.问题1：（1994年全国高中数学联赛中的一道填空题）设0x，则sin(1+cosx)的最大值是 .本题在当年竞赛考试

3、时也曾难住了许多优秀学生，因为解决本题也是需要一定的技巧和灵活的应变能力，先看下面的解法.解1：设f(x)= sin(1+cosx),于是，由三角知识及代数不等式知道f(x)2 =sin2(1+cosx)2= 4sin2cos4= 2·2sin2（1sin2）（1sin2）= 等号成立的条件是：2sin2=（1sin2），即x=2arcsin.解2：设f(x)= sin(1+cosx),于是，由三角知识及代数不等式知道f(x)2 =sin2(1+cosx)2= 4sin2cos4= 2·（22cos2）cos2 ·cos2, 等号成立的条件为即 .启示：上面提供的

4、两种方法在本质上似乎没有什么两样，但是，在不同的场合里你将看到它的奇特功效.同法，可令学生处理下面的变题：设0x，试求cos(1cosx)的最大值.由于问题1在我国联赛命题里的出现，引起国人同行对本题解法的研究，于是乎，本人也联想到如下曾经有过的看似与此无关的一道最值问题（列为）问题2：（30届IMO训练题（1989，加拿大）：对于，的正数x、y、z，求 的最小值.对于本题的解答，有的竞赛名家曾给出过较为复杂的解法（限于篇幅，这里不再转述），并说他的“辅助的恒等变形似乎平常，实际做起来并非易事，尝试一下本题的解法就会有较深的体会”.对于本题的名家解法，笔者也曾将其介绍给省数学实验班的学生，普遍

5、感到解法之不易想到和变形之迂回曲折，到当前为止，也未见到有更好的方法出炉，但由于本题的结构简单对称，特别勾人解题情趣，所以，引起笔者对本题解法的简洁性的研究，几经周折，联想到问题1的解法，并从等号成立的条件入手，从而得到较为满意的解法，为叙述方便，现抄录如下1：解：由条件及代数不等式知=注意到题目条件知x0，所以 x(1-x2) (*) （*） 同理可得 ，.上述三个不等式相加便得.等号成立的条件是x=y=z=.即 的最小值为.注：这一证法是极其简洁的.由于本题中所述的量都是正数，于是由（*）极易推出（*）等，从而得到本题结论.另外，我们得到的（*）是一个极其有价值的式子，沿着这一思路对它进行

6、不同的变形就可得到许多有意义的结论.若将各量推广为满足等式的实数，则有问题32：已知a、b、c是满足a2+b+c2=1实数，求证：a+b+c3（a2b2+b2c2+c2a2）.初看此题，似乎无从下手，左边是三个变量的一次式，右边是三个变量的四次式，相距遥远，而一般的不等式两边都是同次式，所以，常规方法不可行，而（*）就是一个非常规的不等式，要善于关注其特点，并注意应用.证明：由问题2的证明过程得到的（*）知，对于本题应有a(1a2)，所以， aa2(1a2)=a2(b2+c2),同理可得：bb2(c2+a2), cc2(a2+b2),三个不等式相加便得a+b+c3（a2b2+b2c2+c2a2

7、）.注：原作者提供的证明较为复杂，这里的证明稍微简洁了一些，由此也不难知道本题的来历.抓住（*）式，细究其本质，不难从三元均值不等式的运用联想到多元均值不等式，于是就可得到问题2的推广3：已知aiR+(I=1,2,3,，n，n3)，且证明：令xi=ai(1-a)，则 n =, ，即，两边求和并应用即得结论.对（*）式再作思考，便可解决下面的问题4：（广东省2004年全国高中数学联赛预赛填空题-19题）若0a,求的最小值.这是一个双变量函数最值问题，与前面的最值问题有点儿区别，所以，处理起来要相对迂回一些，首先是要改变从处理不等式（最值）的方式方法中解放出来，虽然说最值问题的本质仍然是不等式，但

8、在一些具体问题上还是有区别的，例如解决函数最值问题时除了不等式方法之外，还要渗进函数思想和函数方法，这是十分重要的.许多优秀学生感到本题的求解比较困难，实际上，解决本题的一个首要观点是要分步处理，由题设条件知 为正数，于是，要得到f(a,)的最小值，需先求（0）的最大值，这是解决本题的一个战略性认识，求的最大值（使用初等方法）又是一个难点，因为它也是二元函数的最值问题，观察该式的特点应该想到过去曾走过的老路反思与回顾，由于 ，所以，联想到前面曾用过的（*），于是在脑海里便形成一个想法，就是先固定一个量，将另一个量看成变量，立刻产生下面的（先固定，即将先看成常量，a看成变量）解：设，则 等号成立

9、的条件是 但由条件单调下降，所以 ，等号成立的条件为.对于本题的求解，值得一提的是在方法上用到了分步处理（或者称为逐步调整）的思想，在知识上应该注意到用到了三元均值不等式，这是两个有用的信号，沿着逐步调整和均值不等式的思路继续前行，我们很容易将本题推广为（请大家想一想，这时的题目条件应该怎样刻画？的表达式又怎样表述？）问题5：若0a（n3）,求的最小值.解：同问题4的处理方法，令 则 = =等号成立的条件是 , , .等号成立的条件为.到此，我们已经在问题1的基础上走的很远了，其实，在上述几个问题的求解过程中，均值不等式的应用是一条主线，大家是否看到了求解数学问题思路的生成过程和编拟数学问题的模式，许多人就是沿着这条康庄大道一路走来，成就辉煌的.一个人数学水平的高低，素养的厚薄，才识的高下，一个基本因素取决于他的解题能力的强弱，因为各类的数学考试都是限定在有限的时间里完成确定数量的数学题，况且，不同等级不同类别的考试还有不同难度的题目，故能否快速提高解题能力取决于自己是否真正学会分析并掌握别人的成功解题经验（即自己的研究问题解法及其来龙去脉的能力），所以，我们老师应该在教会学生分析问题解法上多下工夫，因为许多时