◇图形折叠二√

1、图形折叠 二一选择题（共9小题）1如图，ABCD是一张矩形纸片，点O为矩形对角线的交点，直线MN经过点O交AD于M，交BC于N操作：先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕O点旋转180°后，恰好与直角梯形NMAB完全重合，再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得的图形可能是（）ABCD2如图所示，梯形纸片ABCD，B=60°，ADBC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE的长度为（）A2B2C3D43如图，已知一张纸片ABCD，B90°，点E是AB的中点，点G是BC上的一个动点，沿EG将纸片折叠

2、，使点B落在纸片上的点F处，连接AF，则下列各角中与BEG不一定相等的是（）AFEGBAEFCEAFDEFA4如图，已知长方形纸片ABCD，AB=1以点A所在直线为折痕折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；再以点E所在直线为折痕折叠纸片，使点A落在射线BC上，若折痕恰好经过点D，则长方形纸片ABCD的面积约为（）A1.4B1.5C1.6D1.75小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cosDFC的值为（）ABCD6如图矩形ABCD纸片，我们按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点

3、E；（2）将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD或直线AB于F，则AFE的值为（）A22.5°B67.5°C22.5°或67.5°D45°或135°7如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A4cmB5cmC6cmD10cm8如图，一张四边形纸片ABCD，A=50°，C=150°若将其按照图所示方式折叠后，恰好MDAB，NDBC，则D的度数为（）A70°B

4、75°C80°D85°9如图：将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D、C的位置，ED的延长线与BC交于点G若EFG=55°，则1=（）A100°B110°C120°D125°二解答题（共11小题）10如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK（1）若1=70°，求MKN的度数；（2）MNK的面积能否小于？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由；（3）如何折叠能够使MNK的面

5、积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值11有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N（1）已知BC上的点E，试画出折痕MN的位置，并保留作图痕迹（2）若BE=，试求出AM的长（3）当点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围（4）连接DE，是否存在这样的点E，使AME与DNE相似？若存在，请求出这时BE的长，若不存在，请说明理由12将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上（1

6、）求证：ABED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明13如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F你认为四边形ABEF是什么特殊四边形？请说出你的理由14如图，把一张矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F（1）线段BF与DF相等吗？请说明理由（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，试判断四边形BGDF的形状，并说明理由（3）若AB=4，AD=8，在（1）、（2）的条件下，求线段DG的长15有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5把这张纸片折

7、叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得AME与DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由16有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x（1）求证：AF=EC；（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的

8、下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？17如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？18如图所示，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置上，ED的延长线与BC的交点为G，若EFG=50°

9、，求1，2的度数19如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠（1）重合部分是什么图形？试说明理由；（2）若CD=1，BC=，求FED的面积20将一张矩形纸片按如图所示的方法折叠：回答下列问题：（1）图中AEF是多少度？为什么？（2）若，求这张矩形纸片的面积三填空题（共10小题）21如图，梯形纸片ABCD，B=60°，ADBC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=_22如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A处，第二次过A，再折叠，使折痕DEBC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为_23如图，ABCD是一张矩形纸片，沿过点D的折痕将A角

10、翻折，使得点A落在BC上，折痕交AB于点E，若BC=2AB，则AEB=_24如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点CD分别落在点C、D的位置上，EC交AD于点G已知EFG=55°，那么BEG=_度25如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C，D的位置上，EC交AD于点G，已知EFG=50°，那么BEG的度数为_26如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，若DBC=15°，则BOD等于_27如图，一张矩形纸片ABCD的长AD=8 cm，宽AB=4 cm，现将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF

11、，则折痕EF的长是_cm28如图，将一张长方形纸片沿对角线AC折叠后，点D落在点E处，与BC交于点F，图中全等三角形（包含ADC）对数有_ 对29如图：一张短边BC是10cm的长方形纸片，将按图所示的方法折叠，使得一顶点C恰好落在AB上，则折痕DE的长度（用表示）是_cm30如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=3，BC=4，将直角三角形纸片ABC折叠，使直角边AC落在斜边AB上，折痕为AD，则BD=_图形折叠 二一选择题（共9小题）1如图，ABCD是一张矩形纸片，点O为矩形对角线的交点，直线MN经过点O交AD于M，交BC于N操作：先沿直线MN剪开，并将直角梯形MNCD绕O点旋转180&#

12、176;后，恰好与直角梯形NMAB完全重合，再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得的图形可能是（）ABCD解：直角梯形MNCD绕O点旋转180°后，恰好与直角梯形NMAB完全重合，再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得的图形中AM，CN都不与MN垂直，BN，DM也不与MN垂直，所以D满足条件故选D2如图所示，梯形纸片ABCD，B=60°，ADBC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE的长度为（）A2B2C3D4解：梯形ABCDADBC纸片折叠，使点B与点D重合ABEADE四

13、边形ADEB为平行四边形AD=BE=2BC=6故选D3如图，已知一张纸片ABCD，B90°，点E是AB的中点，点G是BC上的一个动点，沿EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点F处，连接AF，则下列各角中与BEG不一定相等的是（）AFEGBAEFCEAFDEFA解：由折叠的性质可知：BEG=FEG，BE=EF，又点E是AB的中点，AE=BE=EF，AFE=EAF，又2BEG=AFE+EAF，BEG=EAF=EFA，AEF不一定与BEG相等故选B4如图，已知长方形纸片ABCD，AB=1以点A所在直线为折痕折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；再以点E所在直线为折痕折叠纸片，使点A

14、落在射线BC上，若折痕恰好经过点D，则长方形纸片ABCD的面积约为（）A1.4B1.5C1.6D1.7解：如图，以点A所在直线为折痕折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E，AB=AB，四边形ABEB为正方形，AE=AB=，又以点E所在直线为折痕折叠纸片，使点A落在射线BC上，折痕恰好经过点D，AED=DEA，而DEA=ADE，AED=ADE，AD=AE=，矩形纸片ABCD的面积=1.4故选A5小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，若AB：BC=4：5，则cosDFC的值为（）ABCD解：由折叠的性质得，CB=CF，设AB=4x，则BC=5x，在RTDF

15、C中，DF=3x，cosDFC=故选B6如图矩形ABCD纸片，我们按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E；（2）将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC的延长线上，折痕EF交直线AD或直线AB于F，则AFE的值为（）A22.5°B67.5°C22.5°或67.5°D45°或135°解：以过点A的直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于点E，实际上是折成一个正方形；将纸片展开后，再次折叠纸片，以过点E所在的直线为折痕，使点A落在BC或BC

16、的延长线上，折痕EF交直线AD于F，AEC=45°+90°=135°所以，AFE=FEC=AEC=67.5°；交AB的延长线交于一点F1时，BEF=MEC=67.5°，AFE=90°BEF=22.5°，故选C7如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A4cmB5cmC6cmD10cm解：两直角边AC=6cm、BC=8cm，AB=10cm，由题意知，点E是AB的中点，故BE=AB=5cm故选B8如图，一张四边形纸片ABCD，A=50°

17、;，C=150°若将其按照图所示方式折叠后，恰好MDAB，NDBC，则D的度数为（）A70°B75°C80°D85°解：MND由MND翻折而成，1=DMN，2=DNM，MDAB，NDBC，A=50°，C=150°1+DMN=A=50°，2+DNM=C=150°，1=DMN=25°，2=DNM=75°，D=180°12=180°25°75°=80°故选C9如图：将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D、C的位置，ED的延长线与BC

18、交于点G若EFG=55°，则1=（）A100°B110°C120°D125°解：四边形ABCD是矩形，ADBC，DEF=EFG，1=DEGDEF=GEF，1=2EFG=110°故选B二解答题（共11小题）10如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK（1）若1=70°，求MKN的度数；（2）MNK的面积能否小于？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由；（3）如何折叠能够使MNK的面积最大？请你用备用图探

19、究可能出现的情况，求最大值解：（1）ABCD是矩形，AMDNKNM=11=70°，KNM=KMN=70°，MKN=40°（2）不能过M点作MEDN，垂足为E，则ME=AD=1KNM=KMN，MK=NK，又MKME，NK1MNK的面积=NKMEMNK的面积不可能小于（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合MK=MD=x，则AM=5x由勾股定理得12+（5x）2=x2，解得x=2.6MD=ND=2.6SMNK=SMND=1.3情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为ACMK=AK=CK=x，则DK=5x同理可得MK=NK=2

20、.6MD=1，SMNK=SMND=1.3MNK的面积最大值为1.311有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N（1）已知BC上的点E，试画出折痕MN的位置，并保留作图痕迹（2）若BE=，试求出AM的长（3）当点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围（4）连接DE，是否存在这样的点E，使AME与DNE相似？若存在，请求出这时BE的长，若不存在，请说明理由解：（1）连接AE，并作AE的中垂线，交AB与M、交AD与N如图：（3分）（2）连接ME，如图1，BE=，设B

21、M=x，则ME=2x，由勾股定理可得：BM2+BE2=ME2，2+x2=（2x）2，2+x2=44x+x2，x=，AM=；（3）延长NM交CB延长线于G点，如图2，BE=x，令BM=a，则a2+x2=（2a）2，a2+x2=44a+a2，a=，AM=，AN=y，GB=yx，GBMANM，即：，y=，0x2，0y5，5x2；（4）若BC上存在点E，如图3，使AMEDNE，AM=ME，MAE=MEA，又EN=ND，NDE=NED，ADBC，NED=DEC，要使AMEDNE，则ABEDEC，x25x+4=0，解得：x1=4（舍去），x2=1，BE=1，存在点E（12分）12将一张矩形纸片沿对角线剪开

22、，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上（1）求证：ABED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明证明：（1）由题意得，A+B=90°，A=D，D+B=90°，ABDE （2）若PB=BC，在RtABC和RtDBP，RtABCRtDBP说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：RtAPNRtDCN、RtDEFRtDBP、RtEPMRtBFM13如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F你认为四边形ABEF是什么特殊四边形？请说出你的

23、理由解：四边形ABEF是正方形 四边形ABCD是矩形，BAF=B=90°由于B与AFE折叠后重合，AFE=B=90°四边形ABEF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）AB，AF折叠后重合，AB=AF四边形ABEF是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）14如图，把一张矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F（1）线段BF与DF相等吗？请说明理由（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，试判断四边形BGDF的形状，并说明理由（3）若AB=4，AD=8，在（1）、（2）的条件下，求线段DG的长解：（1）BF=DFFDB

24、C，FDB=DBG，由折叠不变性知，FBD=GBD，FBD=FDB，FB=FD；（2）FD=FB，BG=BF，FD=BG，又FDBG，四边形BGDF是平行四边形，BG=BF，四边形BGDF是菱形；（3）设AF=x，则BF=FD=8x在RtABF中，x2+42=（8x）2，解得，x=3则DF=83=5，即DG=515有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）

25、连接DE，是否存在这样的点E，使得AME与DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由解：（1）画出正确的图形（折痕MN必须与AB、AD相交）设AM=t，则ME=t，MB=2t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=（2）如上图（a），仿（1）得，AM=由AMNBEA，得=，推出，0x2，0y5，x的取值范围为：（3）如上图（b），若AME与DNE相似，不难得DNE=AME又因为AM=ME，所以DN=NE=NA=，所以，解得：x=1或x=4又，故x=1或者由DEN=AEM，得AED=90°，推出ABEECD，从而得BE=116有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是

26、BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x（1）求证：AF=EC；（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？解：（1）证明：由（x+AF）

27、a=（bx+bAF）a，得AF=bx，又EC=bx，AF=EC（2）翻折后的图形如图，如图1，当直线EE经过原矩形顶点D时，x：b=，如图2，当直线EE经过原矩形的顶点A时，x：b=；如图1，当矩形EE经过原矩形顶点D时，BEEF，理由如下：根据题意得，BE=DF，EE=EF，又BEE=DEC=EDF，在BEE与FED中，BEEFED（SAS），BEE=FED，BEEF；如图2，当直线EE经过元矩形的顶点A时，且当a：b=时，BE与EF垂直17如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？解：设BF=x，则FC=ax

28、，长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，FC=FA=ax，AFE=CFE，DC=AD，在RtABF中，AB2+BF2=AF2，即b2+x2=（ax）2，解得x=，SABF=ABBF=b=又AEF=CFE，AFE=AEF，AF=AE，而AD=DC=AB，RtABFRtADE，18如图所示，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置上，ED的延长线与BC的交点为G，若EFG=50°，求1，2的度数解：ADBC，DEF=EFG，EFG=50°，DEF=50°；又DEF=DEF，DEF=50°；1=180°50°

29、50°=80°；又ADBC，1+2=180°，即2=180°1=180°80°=100°19如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠（1）重合部分是什么图形？试说明理由；（2）若CD=1，BC=，求FED的面积解：（1）重合部分是等腰三角形四边形ABCD是矩形，ADBC，DBC=ADB又DBC=DBF，DBF=ADBFB=FD（2）四边形ABCD是矩形，DEB=C=A=90°，AB=ED，又AFB=EFD，ABFEDFEF=AF设EF=x，则x2+1=（x）2解得x=SFED=20将一张矩形纸片按如图所示的方法折叠：回

30、答下列问题：（1）图中AEF是多少度？为什么？（2）若，求这张矩形纸片的面积解：（1）根据折叠，得AEF=×180°=90°；（2）AD=5，BE=1，CE=4B=C=90°，AEF=90°，AEB=EFCABEECF，即，AB=3则矩形纸片的面积是15三填空题（共10小题）21如图，梯形纸片ABCD，B=60°，ADBC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=4：解：连接DE因为两个三角形能够完全重合，故ABEADE，BAE=DAE，BEA=DEA又ADBC，DAE=AEB，BAE=DEA，AB

31、DE，四边形ABED是平行四边形，是BE=AD，AD=2，BE=2，CE=BCBE=62=4故答案为：422如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A处，第二次过A，再折叠，使折痕DEBC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为9解：ABCABCB，C是ADE的中位线ABCADE，相似比是ABC的面积是ABAC=×2×3=3ADE的面积是3×4=12梯形BDEC的面积=ADE的面积ABC的面积=123=9故答案为：9点评：本题主要考查了折叠的性质，正确理解BC是ADE的中位线是解决本题的关键23如图，ABCD是一张矩形纸片，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点

32、A落在BC上，折痕交AB于点E，若BC=2AB，则AEB=30°解：AD=2CD，A1D=2CD，C=90°，DA1C=30°，ADA=30°，AEDADE，ADE=ADE=15°，AED=AED=75°，AEB=180°75°75°=30°故答案是：30°24如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点CD分别落在点C、D的位置上，EC交AD于点G已知EFG=55°，那么BEG=70度解：ADBC，CEF=EFG=55°，由折叠的性质，得GEF=CEF=55°，BEG=180°GEFCE