23跳蚤应当与人跳同样的高度

1、跳蚤应当与人跳同样的高度1. 引言 在英国作家斯威夫特（J. Swift,16671745）1726年出版的名著格列佛游记中，格列佛所到的小人国中的每个人只有大约六英寸高，而大人国的每个人却是数十英尺的巨人。这里姑且设大人国的人比小人国的人大两个数量级，即大人国的人的尺寸大约是小人国的人的100倍。按照小说中的描写，在如此尺寸悬殊的条件下，人的各部分却都是成比例的。在中小学生中广泛阅读的科学普及读物十万个为什么中说，跳蚤是当之无愧的跳高高手吧！它虽然只有1毫米来长，但它却能跳20多厘米高，是它自己身高的200多倍呢！就是说，动物的弹跳能力应当是和身体的大小成比例的。书中把跳蚤弹跳的高度，与它的

2、身体尺度相比，意思是说，所有动物弹跳高度要以它的身体尺寸来度量，来决定弹跳能力的强弱。这些看上去貌似正确的论断，其实都是错误的。小动物和大动物，不可能几何相似，大小不同的动物弹跳能力也不是与它们的尺寸成比例的。我们就来从力学上加以分析。为了使问题不过分复杂化，而且在一定程度上也能够说明问题，我们做如下的简化假定：1.所有的动物，无论大小，身体的平均密度是相同的；2.所有的动物，无论大小，其承力材料，即骨骼的强度是相同的；3.所有的动物，无论大小，其单位体积的肌肉在单位时间内能够提供的能量是相同的。这些假定大致上是符合实际情况的。2动物变大，骨头要变得更大简单的计算告诉我们，人或动物的重量即身体

3、各部分的负重是和身体的特征尺寸的立方成比例的，设比重为 ，则负重大体上是和3 成比例的。身体各个支撑部件如臂、腿、脊柱的骨骼断面上在应力相同的条件下，所承受的总力却是和断面尺寸的平方成比例的。设材料所能承受的应力，即许用应力，为，则这些器官承受的总力大体上应当是，这里是部件断面的特征尺寸。显然我们有。这里，我们用“”号表示两端属于同一数量级的意思，其间可以差一个常数。由于按照我们的假设，对人和高等动物组成身体材料的比重和允许应力是不变的。所以有。 （1）由此，我们有。即器官断面的特征尺寸是身体的特征尺寸的次方。就是说，如果人的身长增大了100倍，那么他的四肢的断面尺寸就要增大1000倍。也就是

4、说在格列佛游记中，大人国比小人国人的身长增大了100倍，这时他们的四肢不可能成比例地增大100倍，而是要增大1000倍，否则他的四肢将不能支持他的体重。这种情形在格列佛看来，小人国的人一定是细胳臂细腿，而大人国里的人一定是粗胳臂粗腿的“怪物”，绝不会像格列佛游记中所描写的那样所有的人都是几何相似的。在现实世界中，同一种动物大小尺寸相差100倍是很难看到的。但是在不同的物种中尺寸相差100倍却是常见的事情。就拿大象和螳螂来说，它们的尺寸相差不止100倍，但是它们四肢尺寸相差却还要大得多。大象的腿比起螳螂的腿要粗壮得多。在历史上最早关注这个问题的是伽利略。他在1638年出版的关于两门新科学的对话中

5、，说：“谁都知道，一匹马从3或4库比特（长度单位，45.7cm）的高处掉下来将会骨折，同时一只狗从同样高度或一只猫从8或10库比特的高度掉下来不会受伤。一只蝗虫从一座塔上掉下来和一只蚂蚁从月亮的距离掉下来同样会不受伤害。小孩子从足以使大人跌断腿或许跌破头的高度掉下来不是安然无恙吗？正如较小的动物与相应的较大的动物相比，其强度更大也更结实；小的植物比大植物可以直立得更好。”就是说，动物大了，它要承受的体重是与尺寸的立方成正比的。这时，它的承力结构，即骨骼就要按照上面给出的比例增大。他在书中设计了一根巨人的骨头。他说：“我曾经勾画过一根骨头，它的长度比自然长度增加了三倍，它的粗细放大到这样的大小，

6、使之对于对应的大动物所承担的功能，与小骨头对小动物所承担的功能一样。从这张图上你们可以看到，放大的骨头是多么不成比例。于是显然，如果想在一个巨人保持与一个常人同样肢体的比例，或者必须寻找一种更硬和强度更大的材料来构造他的骨骼，或者必须认可他的骨骼强度要比中等身材的人减小，他就会在自重下跌倒和摔坏。鉴于如果身体的尺寸减小，其身体的强度力不是成比例地减小；的确，身体愈小，它的相对的强度就愈大。因此一只小狗也许能够在它的背上携带和它一样大的两或三只小狗；但是我相信一匹马甚至驮不起和它大小一样一匹马。”图1 伽利略原书的插图 由此伽利略还断言：“不管是人工还是在自然界，把结构的大小增加到巨大尺寸的不可

7、能性；就像建造在巨大尺寸船、宫殿或庙宇时，将它们的桨、桅杆、梁、铁栓等，简言之，所有其他的零件，都结合在一起的不可能性一样；在自然界也不可能产生超常尺寸的树，因为树枝会在它们的自重下折断；同样，如果人、马或其他动物增大到非常的高度，要构造它们的骨骼结构，把这些骨骼结合在一起并且执行它们的正常的功能也是不可能的；因为这种高度的增大只通过采用一种比通常更硬和更强的材料，或者增大骨骼的尺寸，这样就改变了它们的外形，以至于动物的形状和外貌呈现一种畸形。”3.跳蚤应当与人跳同样的高度许多书上都说跳蚤是跳高冠军。说的是它弹跳的高度与它们体高来比这个比值要比人弹跳高度与体高之比大得多。其实不然。在我们前面的

8、假设下，我们可以证明所有的动物，不论大小，它们都大致上能够跳到同样的高度。根据力学中的能量守恒原理，动物在一次弹跳中，由肌肉收缩所发出的总能量应当等于它随后身体升到最高的高度所具有的势能。这里m是身体的质量，g是重力加速度。也就是说，它的弹跳高度应当是 （2）式中u是单位体积的肌肉在单位时间内能够提供的能量。根据我们的假设它和比重都是与动物大小无关的常数。所以不同大小的动物弹跳高度大致也是相同的。事实上，我们看到不同大小的动物，例如人大致上弹跳高度是1米左右，而比人大的马差不多也是1米左右，而比人小的动物如狗、猫，也差不多能够跳1米高。比人更小的动物，如老鼠，则对1米的高度更是轻易就可以跳过。

9、当然，有些动物跳高的本领已经退化了，例如大象乌龟等，不在我们讨论之列。我们的意思是说只要是这种动物是善于跳跃的，则不论大小，它们的跳跃高度大致上是相同的。从这个分析，我们返回来看跳蚤。它的最高纪录大约是30厘米。这当然和1米的高度还是属于一个数量级的。从上面我们的分析，跳蚤不但不能算是跳高冠军，它甚至连猫和老鼠以及人的跳高能力都不如！上面的结论，我们还可以换一个角度，从骨骼的强度方面来论证。设动物跳跃达到高度为h，当它回落时，身体上的某个承力元件受的荷载，接近悬臂梁一端固定一端受集中力的受力状况。这时，显然悬臂梁固定端根部的应力最大。我们假定这个最大应力就是许用应力。还是由能量守恒定理，动物升

10、高h的势能，回落后应当变为悬臂梁的变性能。我们通过计算，还是可以得到相同的结论。即不管动物大小，它们弹跳高度大致上是相同的。不过计算稍微复杂一点，我们这里就略去了。以上这个事实，实际上在300年以前伽利略就注意到了。英国的生理学家J.B.S.哈尔丹（J. B. S. Haldane，1892-1964）说：“虽然伽利略在300年前就证明了下面情况不是这样，但人们还是认为跳蚤要是像人一样大的话就能跳过1,000英尺的高度。事实上，一个动物一跳所能达到的高度与其说与其躯体规模成正比，倒不如说几乎与此无关。”54.小动物的骨骼为什么在外边？细心观察，我们会发现小动物，如螳螂、蝗虫、蚂蚁和螃蟹等小动物

11、，它们身体坚硬的承力部分，即骨骼都处于身体的外部，而柔软部分，即肌肉组织都处于内部。也就是说，大的动物大部分是肌肉裹着骨头，而小动物则是骨头裹着肌肉。我们前面讨论过，单纯从强度来考虑，动物愈小它的承力器官比按比例缩小更细。但是，承力器官细到一定程度，也会出现另一种问题。就是它的弯曲刚度减小得太快。这可以从一根1厘米粗细的玻璃棒为例，它的刚度是很大的，要使它弯曲并不容易。如果把玻璃棒做得很细，比方说细到1/100毫米。这时玻璃棒就变为柔韧的可以任意弯曲的玻璃丝了。同样动物的承力器官要是非常细了，对于支持器官的拉压强度是足够的。但是在他略微受弯曲时，变形就太大。我们知道，增加弯曲刚度的办法，是在相

12、同截面积条件下，增大截面的转动惯量。而要做到这一点，就要把材料往截面的边远地方分布。这就是为什么在小动物，骨骼包裹肌肉的情形。这里，有一个问题，就是当动物的承力元件变细时，也相应地变短了。怎么能够说明在变短的情况下它的柔性更大呢。为了说明这个问题，我们还是假定动物的承力元件是一根等截面悬臂梁。我们来看在它的根部达到许用应力时它的端部的转角。从材料力学我们知道，悬臂梁在端部受集中力P时，根部达到许用应力为，它们之间应当有关系 。 （3）这里l是梁长，而a是度量截面的尺寸。也同样从材料力学弯曲的线性理论，我们知道在根部固定而端部集中力p作用下，端部的转角。其中E是材料的弹性模量J是截面的转动惯量。

13、我们知道，在把（3）代人上式，考虑到l是与成比例的，而，我们最后有 （4）从这个式子，我们看出，当身体的尺寸缩小100倍时，梁端的转角就要扩大10倍。而这就是小动物必须从结构形式上来改变的根本原因。5.尺寸的启示动物的尺寸影响它的形态和功能给我们很好的启示。就是说我们在考虑工程结构乃至选拔运动员时，必须要考虑尺寸带来的效果。举例说，一定速度下物体在水中运动的阻力是和它的尺寸l的平方成正比的，而它的重量是与l的立方成正比的。就是说如果我们造船，那么船造得愈大愈合算。因为在同样速度下单位重量所要克服的阻力就愈小。而如果对我们在选游泳运动员来说，运动员的总体能也是与他的尺寸l的立方成正比的。所以，在

14、游较长距离的优秀游泳运动员，一般块头都比较大。再例如，物体的转动惯量是与尺寸l的四次方成正比的。转动惯量大了，旋转就要费较大的能量。而体能只和尺寸l从三次方成比例。所以在选拔要求翻跟头的体操运动员或跳水运动员时，又一般要选块头较小的运动员。总结上面的讨论。我们说，动物小了，它的骨骼尺寸减小比身体尺寸减小得还要快。一般情形下，大小动物可以弹跳得同样高。对于更小的动物，因为骨骼非常细了，为了增加弯曲刚度，骨骼生长在肌肉的外面。这种形态的形成是由于动物各种器官受力条件不同在长期进化过程中形成的。这使我们回忆起在1892年，德国外开医生沃尔夫（Julius Wolff，1836-1902）所总结的生物骨骼生长的规律：骨组织的变化取决于其所受应力与应变的大小。这个结论现今被成为沃尔夫定律。其实，与生物尺寸相关的问题还有许多。例如大小动物由于体表面与体积比例不同，对热量的供求关系就有很大的不同，因之营养和进食习性也有不同。大小动物由于自重与在介质中的阻力不同，所以飞行、游泳的方式也有别。另外，由于陆地上的大动物的体重较大，骨骼所受的应力也较大，根据沃尔夫定律，它们的骨头生长得也相对密实，例如象牙就要比狗、猫等的骨骼密实得多，所以用它可以制造珍贵的工艺品。等等。总之，研究生物形态的形成与演化，研究这些规律在技术中的应用，乃至研究运动员的特长，都是和所研究对象的尺寸对力学行为的影响