教学目的掌握第二型曲面积分的定义和计算公式教学内容ppt课件

1、上一页上一页 下一页下一页 主主 页页教学目的：教学目的：掌握第二型曲面积分的定义和计算公式掌握第二型曲面积分的定义和计算公式教学内容：教学内容：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式(1) (1) 根本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积根本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式分的定义和计算公式(2) (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联络分的联络上一页上一页 下一页下一页 主主 页页&曲面的

2、侧曲面的侧&第二型曲面积分概念第二型曲面积分概念&第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算&两类曲面积分的联络两类曲面积分的联络上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 曲面分类 双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 一、曲面的侧一、曲面的侧上一页上一页 下一页下一页 主主 页页S设连通曲面设连通曲面 S 上处处有延续上处处有延续设设 M0 为曲面为曲面 S 上一点，确定上一点，确定方向为正方向，另一个方向为负方向方向为正方向，另一个方向为负方向. L 为为 S 上任一经过点上任一经过点 M0 且不超出且不

3、超出 S 边境的闭曲线边境的闭曲线.设点设点 M 从从 M0 出发，沿出发，沿 L 延续挪动，延续挪动， M 在在 M0 点与点与M00ML变动的切平面或法线变动的切平面或法线曲面在曲面在M0 点的一个法线点的一个法线有一样的法线方向，有一样的法线方向，当点当点 M 延续挪动时，其法线方向延续挪动时，其法线方向也延续变动，最后当也延续变动，最后当 M 沿沿 L 回到回到M0 时，假设这时时，假设这时 M 的的M法线方向仍与法线方向仍与 M0 点的法线方向一致，那么称此曲面点的法线方向一致，那么称此曲面 S 为为双侧曲面；假设与双侧曲面；假设与 M0 的法线方向相反，那么称的法线方向相反，那么称

4、 S 为单侧曲为单侧曲面面上一页上一页 下一页下一页 主主 页页1. 问题的提出问题的提出),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 从给定曲面从给定曲面 S 的负侧流向正侧，的负侧流向正侧，设某流体以一定的速度设某流体以一定的速度S求单位时间内流经曲面求单位时间内流经曲面 S 的流量的流量 E 假设流体的流速是不变的常向量假设流体的流速是不变的常向量 v ，S 是平面，其正侧的单位法向量为是平面，其正侧的单位法向量为 no , 时间内流经曲面时间内流经曲面 S 的流量的流量 E 为：为：E = v no S nSv S 的面积记为的面积记为 S ，那么单位，那么单位二、第二型曲面积分的概念

5、二、第二型曲面积分的概念上一页上一页 下一页下一页 主主 页页S将曲面将曲面 S 恣意分成恣意分成 n 块块,设该点的单位法向量为：设该点的单位法向量为：)cos,cos,(cosiiiin 流经该点的流速为流经该点的流速为inv在小曲面块在小曲面块 Si 的正侧上的正侧上),(iii ),(),(),(iiiiiiiiiiRQPv 任取一点任取一点Si i = 1, 2, . . . , n),(iii 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页那么单位时间内流经小曲面那么单位时间内流经小曲面 Si的流量近似地等于的流量近似地等于iiiiiSR )cos),( 其中其中 Si 为小曲面为小曲面S

6、i 的面积的面积.Sinv),(iii iiiiiiiiiiiQPSnv cos),(cos),( 记记,cosiiiyzSS ,cosiiizxSS iiixySS cos 它们是它们是 Si 的正侧分别在坐标面的正侧分别在坐标面面积的近似值，于是单位时间面积的近似值，于是单位时间 yz , zx 和和 xy 上投影区域上投影区域内流经小曲面内流经小曲面 Si 的流量的流量上一页上一页 下一页下一页 主主 页页也近似地等于也近似地等于iyxiiiizxiiiiyziiiSRSQSP ),(),(),( 故单位时间内由曲面故单位时间内由曲面 S 的负侧流向正侧的的负侧流向正侧的 总流量总流量

7、niizxiiiiyziiiTSQSPE10|),(),(lim ),(iyxiiiSR 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页第二型曲面积分的定义第二型曲面积分的定义设设 P , Q , R 为定义在双侧曲面为定义在双侧曲面 S 上的函数，在上的函数，在 S 所所指定的一侧作分割指定的一侧作分割 T ，把，把 S 分为分为 n 个小曲面个小曲面 S1 , S2. . . , Sn , 记记 ,max|1的直径的直径iniST ixyizxiyzSSS ,分别表示分别表示 Si 在三个坐标轴上的投影区域的面积在三个坐标轴上的投影区域的面积, 在在 Si 上任取一点上任取一点),(iii 假设假

8、设 niizxiiiTniiyziiiTSQSP10|10|),(lim),(lim niixyiiiTSR10|),(lim 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页存在，那么称此极限为函数存在，那么称此极限为函数 P , Q , R 在曲面在曲面 S 所指定所指定一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲面积分一侧上的第二型曲面积分，也称为对坐标的曲面积分 SyxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),(或或 SSSyxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),(记作记作常简记为常简记为 SyxRxzQzyPdddddd SSSyxRxzQzyPddddd

9、d上一页上一页 下一页下一页 主主 页页假设令假设令),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )dd,dd,dd(dyxxzzyS 那么第二型曲面积分也记作向量方式：那么第二型曲面积分也记作向量方式： SSvd由第二型曲面积分的定义，流体以速度由第二型曲面积分的定义，流体以速度),(RQPv 从曲面从曲面 S 的负侧流向正侧的总流量的负侧流向正侧的总流量 SyxRxzQzyPEdddddd上一页上一页 下一页下一页 主主 页页称为称为P 在有向曲面在有向曲面S上对坐标上对坐标 y, z 的曲面积分的曲面积分; SzyPdd SxzQdd SyxRdd称为称为Q 在有向曲面在有向曲面S上对坐

10、标上对坐标 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为称为R 在有向曲面在有向曲面S上对坐标上对坐标 x, y 的曲面积分的曲面积分;假设以假设以 -S 表示曲面表示曲面 S 的另一侧，那么由定义可得的另一侧，那么由定义可得 SyxRxzQzyPdddddd SyxRxzQzyPdddddd上一页上一页 下一页下一页 主主 页页3. 第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质 SxzQcQczyPcPcdd)(dd)(22112211 SyxRxzQzyPcdddddd1111 SyxRxzQzyPcdddddd2222yxRcRcdd)(2211 假设曲面假设曲面 S 由两两无公共内点的曲面由两两无

11、公共内点的曲面 Si i = 1, 2, . . . , n 所组成，那么所组成，那么 SyxRxzQzyPdddddd niSiyxRxzQzyP1dddddd上一页上一页 下一页下一页 主主 页页定理定理22.2yxDyxyxzzS ),( , ),(:取上侧取上侧,),(zyxR是是 S 上的延续函数上的延续函数, 那么那么 SyxzyxRdd),( yxDyxR),(),(yxzyxdd设光滑曲面设光滑曲面三、第二型曲面积分的计算三、第二型曲面积分的计算注：注：积分积分 SyxzyxRdd),(的计算，必需先将曲面的计算，必需先将曲面表示成：表示成：yxDyxyxzzS ),( , )

12、,(:再代公式计算再代公式计算上一页上一页 下一页下一页 主主 页页证证: 0|lim T ni 1ixyiiiSR ),( ixyS ixy S 取上侧取上侧,),(iiiz 0lim d ni 1) ,(iiR ),(iiz yxDyxx,yzyxRdd)(,( SyxzyxRdd),(ixy 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页阐明阐明:假设积分曲面假设积分曲面 S 取下侧取下侧, 那么那么 yxDSyxyxzyxRyxzyxRdd),(,(dd),(假设曲面假设曲面 S 是母线平行于是母线平行于 z 轴的柱面垂直于轴的柱面垂直于 xy 坐坐标面标面0),(: yxS 那么那么0dd)

13、,( SyxzyxR上一页上一页 下一页下一页 主主 页页(前正后负前正后负)zyDzyzyxxS ),( , ),(:将曲面将曲面 S 表示为表示为 zyDSzyzyzyxPzyzyxPdd),),(dd),(假设曲面假设曲面 S 是母线平行于是母线平行于 x 轴的柱面垂直于轴的柱面垂直于 yz 坐坐标面标面0),(: zyS 那么那么0dd),( SzyzyxP SzyzyxPdd),(积分积分的计算方法：的计算方法：上一页上一页 下一页下一页 主主 页页(右正左负右正左负)xzDxzxzyyS ),( , ),(: xzDSxzzxzyxQxzzyxQdd),(,(dd),(假设曲面假设

14、曲面 S 是母线平行于是母线平行于 y 轴的柱面垂直于轴的柱面垂直于 zx 坐坐标面标面0),(: zxS 那么那么0dd),( SxzzyxQ积分积分的计算方法：的计算方法： SxzzyxQdd),(将曲面将曲面 S 表示为表示为上一页上一页 下一页下一页 主主 页页解解2211:yxzS 例例1. 计算曲面积分计算曲面积分 ,dd Syxxyz其中其中 S 为球面为球面 外侧在第一和第五卦限部分外侧在第一和第五卦限部分. 0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxzS 1222 zyx把把 S 分为上下两部分分为上下两部分xyzO1S2SyxD上一页上一页 下一页下一页 主主 页

15、页 yxDyxyxyxdd 1222 dd1cossin222rrrryxD yxDyxxydd 221yx yxDyxxydd )1(22yx xyzO1S2SyxD 21ddddddSSSyxxyzyxxyzyxxyz上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 dd1cossin222rrrryxD rrrd12103 152325432 20d2sin 2023dcossin1 ttt 2053d)sin(sin ttt思索：思索：?dd Syx?dd2 Syxz?dd)(222 Syxzyx上一页上一页 下一页下一页 主主 页页例例. 计算计算 Syxxzxzzyzyyxdd)(dd)(d

16、d)(其中其中 S 是以原点为中心是以原点为中心, 边长为边长为 2 的正立方的正立方体的整个外表的外侧体的整个外表的外侧.解解 Syxxzdd)( 21dd)(dd)(SSyxxzyxxz其中其中 S1 是是 S 的顶部的顶部)1, 1(1:1 yxzS取上侧取上侧 S2 是是S 的底部的底部)1, 1(1:2 yxzS取下侧取下侧xyzo上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 yxDyxxdd)1( yxDyxxdd)1( yxDyxdd28 21dd)(dd)(SSyxxzyxxz由对称性，有由对称性，有 Syxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(2483 Szyyxdd)( S

17、xzzydd)( Syxxzdd)(上一页上一页 下一页下一页 主主 页页例例. 计算计算 Syxzxxzyzzyxydddddd其中其中 S 是由平面是由平面 x = y = z = 0 和和 x + y + z = 1 所围的四面所围的四面体外表的外侧体外表的外侧.解解: Syxzxdd 21ddddSSyxzxyxzx设设 S1 是是1:1 zyxS取上侧取上侧 S2 是是S 的底部的底部0:2 zS取下侧取下侧xyzxy11OxyD在在 xy 坐标面上的投影区域为坐标面上的投影区域为 Dxy 1S先计算积分先计算积分 Syxzxdd上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 21ddddS

18、Syxzxyxzxxyzxy11OxyD xyDyxyxxdd)1( xyDyxxdd0 xyyxxx1010d)1(d 1022d)1(21)1(xxxx241 由对称性由对称性812413dddddd Syxzxxzyzzyxy上一页上一页 下一页下一页 主主 页页例例. 计算计算 Syxzxzyzyxdddddd222其中其中 S 是球面是球面取外侧为正向取外侧为正向.解解: Syxzdd2设设 S1 是上半球面是上半球面取上侧取上侧 S2 是下半球面是下半球面取下侧取下侧在在 xy 坐标面上的投影区域坐标面上的投影区域2222)()()(Rczbyax 先计算积分先计算积分222)()

19、(byaxRcz 222)()(byaxRcz 222)()( :RbyaxDxy 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 Syxzdd2 21dddd22SSyxzyxz xyDyxbyaxRcdd)()(2222 xyDyxbyaxRcdd)()(2222 xyDyxbyaxRcdd)()(4222 RrrrRc02220dd4 338cR 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页 Szyxdd2338aR 同理可得同理可得 Sxzydd2338bR 所以所以)(38dddddd3222cbaRyxzxzyzyxS 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页设光滑曲面设光滑曲面 S ，其指定一侧的法方向余弦为：，其指定一侧的法方向余弦为：)cos,cos,(cos n那么沿曲面那么沿曲面 S 指定