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文档简介
1、全等三角形判定(基础)【学习目标】1理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.2能把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等. 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1“边角边”1. 全等三角形判定1“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).要点诠释:如图,如果AB ,A,AC ,则ABC. 注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.如图,ABC与ABD中,ABAB,ACAD,BB,但ABC与ABD不完全重合,故不全等,也就是有两边和其
2、中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2“角边角” 全等三角形判定2“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).要点诠释:如图,如果A,AB,B,则ABC. 要点三、全等三角形判定3“角角边”1.全等三角形判定3“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)要点诠释:由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等
3、.如图,在ABC和ADE中,如果DEBC,那么ADEB,AEDC,又AA,但ABC和ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、全等三角形判定4“边边边” 全等三角形判定4“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.(可以简写成“边边边”或“SSS”).要点诠释:如图,如果AB,AC,BC,则ABC. 要点五、判定方法的选择1.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定,见下表: 已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS2.如何选择三角形证全等(1)可以从求证出发,看求证的线段或角(用等量代换后的线
4、段、角)在哪两个可能全等的三角形中,可以证这两个三角形全等;(2)可以从已知出发,看已知条件确定证哪两个三角形全等;(3)由条件和结论一起出发,看它们一同确定哪两个三角形全等,然后证它们全等;(4)如果以上方法都行不通,就添加辅助线,构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1“边角边”1、已知:如图,ABAD,ACAE,12求证:BCDE【思路点拨】由条件ABAD,ACAE,需要找夹角BAC与DAE,夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明: 12 1CAD2CAD,即BACDAE 在ABC和ADE中 ABCADE(SAS) BCDE(全等三角形对应边相等)【总结升华】证明角等
5、的方法之一:利用等式的性质,等量加等量,还是等量.举一反三:【变式】如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 (A、B、D三点共线,ABCB,EBDB,ABCEBD90°),连接AE、CD,试确定AE与CD的位置与数量关系,并证明你的结论【答案】AECD,并且AECD 证明:延长AE交CD于F, ABC和DBE是等腰直角三角形 ABBC,BDBE 在ABE和CBD中 ABECBD(SAS) AECD,12 又1390°,34(对顶角相等) 2490°,即AFC90° AECD类型二、全等三角形的判定2“角边角”2、已知:如图,E,F在AC上,ADCB且
6、ADCB,DB求证:AECF【答案与解析】证明:ADCB AC 在ADF与CBE中 ADFCBE (ASA)AF CE ,AFEFCEEF故得:AECF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下: (1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形; (2)证明这两个三角形全等; (3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等举一反三:【变式】如图,ABCD,AFDE,BECF.求证:ABCD.【答案】证明:ABCD,BC.AFDE,AFBDEC.又BECF,BEEFCFEF,即BFCE.在ABF和DCE中,ABFDCE(ASA)ABCD(全等三角形对应边相等).类型
7、三、全等三角形的判定3“角角边”3、已知:如图,ABAE,ADAC,EB,DECB求证:ADAC【思路点拨】要证ACAD,就是证含有这两个线段的三角形BACEAD.【答案与解析】证明:ABAE,ADAC, CADBAE90° CADDABBAEDAB ,即BACEAD 在BAC和EAD中 BACEAD(AAS) AC AD 【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等类型四、全等三角形的判定4“边边边”4、已知:如图,RPQ中,RPRQ,M为PQ的中点求证:RM平分PRQ【思路点拨】由中点的定义得PMQM,RM为公共边,则可由SSS定理证明全等.【答案与解析】证明:M为PQ的中点(已知),PMQM在RPM和RQM中,RPMRQM(SSS) PRMQRM(全等三角形对应角相等)即RM平分PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到,如:公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题,转化为
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