高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结

1、 .wd.1. 均值不等式法例1 设求证例2 函数，假设，且在0，1上的最小值为，求证：例3 求证.例4，求证：1.2利用有用结论例5 求证例6 函数求证：对任意且恒成立。例7 用数学归纳法证明；对对都成立，证明无理数例8 不等式。表示不超过的最大整数。设正数数列满足：求证再如：设函数。 求函数最小值；求证：对于任意，有例9 设，求证：数列单调递增且3. 局部放缩例10 设,求证：例11 设数列满足，当时证明对所有 有：； .4 . 添减项放缩例12 设，求证.例13 设数列满足 证明对一切正整数成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 函数的最大值不大于，又当时 求的值；设，证明例15 数

2、列由以下条件确定：，I 证明：对总有；(II) 证明：对总有6 . 换元放缩例16 求证例17 设，求证.7 转化为加强命题放缩 例18设，定义，求证：对一切正整数有例19 数列满足证明 例20 数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；2证明：对一切正整数n有a1·a2·an<2·n！ 8. 分项讨论例21 数列的前项和满足 写出数列的前3项； 求数列的通项公式；证明：对任意的整数，有.9. 借助数学归纳法例22设函数，求的最小值；设正数满足，求证：10. 构造辅助函数法例23 = ,数列满足1求在上的最大值和最小值; 2证明：;3判断与的大

3、小，并说明理由.例24 数列的首项，求的通项公式； 证明：对任意的，；证明：例25 函数f(x)=x2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点xn,f(xn)处的切线与x轴的交点为xn+1,0(nN*). () 用xn表示xn+1； 求使不等式对一切正整数n都成立的充要条件，并说明理由；假设x1=2，求证：例1 解析 此数列的通项为，即注：应注意把握放缩的“度：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，假设放成那么得，就放过“度了！根据所证不等式的构造特征来选取所需要的重要不等式，这里，其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例2 简析 例3 简析 不等式左边=，故原结论成立.例4 【解析】使用均

4、值不等式即可：因为，所以有 其实，上述证明完全可以改述成求的最大值。此题还可以推广为： 假设， 试求的最大值。 请分析下述求法：因为，所以有 故的最大值为，且此时有。上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“的条件是，即必须有，即只有p=q时才成立！那么，呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：那么有 于是，当且仅当 结合其构造特征，还可构造向量求解：设，那么由立刻得解： 且取“的充要条件是：。2利用有用结论例5 简析 此题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质可得即 法2 利用贝努利不等式的一个特例(此处)得，例6 简析 高考标准用数学归纳法证明，；这里给出

5、运用柯西不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号)，得证！例7 解析 结合第问结论及所给题设条件的构造特征，可得放缩思路：。于是， 即【注】：题目所给条件为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，此题还可用结论来放缩：，即例8 【简析】 当时，即 于是当时有 注：此题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进展有效地放缩；再如：【解析】1；证明：由得，对x>1有，利用此结论进展巧妙赋值：取，那么有即对于任意，有例9 解析 引入一个结论：假设那么，可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略整理上式得，以代入式得。即单调递增。以代入式得。此式对一切正

6、整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。 注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进展局部放缩： 只取前两项有对通项作如下放缩：故有3. 局部放缩例10 解析 又只将其中一个变成，进展局部放缩，于是例11 【解析】 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，那么当时，成立。利用上述局部放缩的结论来放缩通项，可得 【注】上述证明用到局部放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了局部放缩的结论。例12 简析 观察的构造，注意到，展开得即，得证.例13简析 此题有多种放缩证明方法，这里我们对进展减项放缩，有法1 用数学归纳法只考虑第二步；法2

7、那么例14 解析 =1 ；由得 且用数学归纳法只看第二步：在是增函数，那么得例15 解析 构造函数易知在是增函数。当时在递增，故。对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。【注】数列单调递减有下界因而有极限：是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。例16 简析 令，这里那么有，从而有注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进展局部放缩起到了关键性的作用。例17 简析 令，那么，应用二项式定理进展局部放缩有，注意到，那么证明从略，因此.7 转化为加强命题放缩例18 解析 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向

8、考虑：故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数有证略例19 简析 将问题一般化：先证明其加强命题用数学归纳法，只考虑第二步：。因此对一切有 例20 解析：1将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得ann³11°2证：据1°得，a1·a2·an，为证a1·a2·an<2·n！，只要证nÎN*时有>2° 显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式： 对每个nÎN*，有³13°用数学归纳法，证略利用3°得

9、79;111>。故2°式成立，从而结论成立。8. 分项讨论例21 简析 略， ；由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时减项放缩，于是, 当且为偶数时，当且为奇数时，添项放缩由知。由得证。9. 借助数学归纳法例22 解析 科学背景：直接与凸函数有关！略，只证：考虑试题的编拟初衷，是为了考察数学归纳法，于是借鉴詹森不等式的证明思路有：法1用数学归纳法i当n=1时，由知命题成立。ii假定当时命题成立，即假设正数，那么当时，假设正数*为利用归纳假设，将*式左边均分成前后两段：令那么为正数，且由归纳假定知 1同理，由得2综合12两式即当时命题也成立. 根据i、ii可知对

10、一切正整数n命题成立.法2 构造函数利用知，当对任意式是比式更强的结果. 下面用数学归纳法证明结论.i当n=1时，由I知命题成立.ii设当n=k时命题成立，即假设正数对*式的连续两项进展两两结合变成项后使用归纳假设，并充分利用式有由归纳法假设 得 即当时命题也成立. 所以对一切正整数n命题成立.【评注】1式也可以直接使用函数下凸用中结论得到；2为利用归纳假设，也可对*式进展对应结合：而变成项；3此题用凸函数知识分析如下：先介绍詹森jensen不等式：假设为上的下凸函数，那么对任意，有 特别地，假设，那么有假设为上凸函数那么改“为“。由为下凸函数得 ，又，所以4此题可作推广如下：假设正数满足，那

11、么。简证：构造函数，易得故10. 构造辅助函数法例23 【解析】(1) 求导可得在上是增函数,2数学归纳法证明当时，由成立；假设当时命题成立，即成立，那么当时，由1得， ，这就是说时命题成立。由、知，命题对于都成立3 由, 构造辅助函数，得，当时，故，所以<0 得g(x)在是减函数， g(x)>g(0)=f(0)-2=0，>0,即>0，得>。例24 【解析】提供如下两种思路：思路1 观察式子右边特征，按为元进展配方，确定其最大值。法1 由知，原不等式成立思路2 将右边看成是关于x的函数，通过求导研究其最值来解决：法2 设，那么，当时，；当时，当时，取得最大值原不等

12、式成立思路1 考虑此题是递进式设问，利用的结论来探究解题思路：由知，对任意的，有取，那么原不等式成立【注】本解法的着眼点是对上述不等式中的x进展巧妙赋值，当然，赋值方法不止一种，如：还可令，得 思路2 所证不等式是与正整数n有关的命题，能否直接用数学归纳法给予证明？尝试： 1当时，成立； 2假设命题对成立，即那么当时，有 ，只要证明；即证，即证用二项式定理展开式局部项证明，再验证前几项即可。如下证明是否正确，请分析：易于证明对任意成立；于是【注】上述证明是错误的！因为：是递增的，不能逐步“缩小到所需要的结论。可修改如下：考虑是某数列的前n项和，那么，只要证明思路3 深入观察所证不等式的构造特征, 利用均值不等式可得如下妙证：由取倒数易得：，用n项的均值不等式：，例25 【解析】() 使不等式对一切正整数n都成立的充要条件是x11. () 根本思路：寻求适宜的放缩途径。 探索1 着眼于通项特征，结合求证式特点，尝试进展递推放缩： 即。于是由此递推放缩式逐步放缩得 探索2 从求证式特征尝试分析：结论式可作如下变形： 逆向思考，猜测应有：用数学归纳法证明，略。 探索3 探索过渡