向量代数与空间解析几何相关概念和例题

1、空间解析几何与向量代数向量及其运算目的： 理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .向量的表示方法有两种a 、 AB向量的模：向量的大小叫做向量的模向量 a 、 AB 的模分别记为 |a | 、 |AB |单位向量：模等于1 的向量叫做单位向量零向量：模等于 0的向量叫做零向量记作 0规定： 0 方向可以看作是任意的相等向

2、量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量（亦称共线向量）： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行 记作 a / b 规定：零向量与任何向量都平行二、向量运算向量的加法向量的加法设有两个向量a 与 b平移向量使b 的起点与a 的终点重合此时从的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与 b 的和记作 a+b即 c a+b .当向量 a 与 b 不平行时平移向量使a 与 b 的起点重合以 a、b 为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a 与 b 的和 a b向量的减法设有两个向量a 与 b平移向量使b 的起点与a 的起点重合此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是

3、差向量。aABAOOBOB OA2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量 a 与实数的乘积记作与 a 相同当<0 时与 a 相反a规定a 是一个向量它的模 | a| | |a|它的方向当>0 时(1)结合律(2)分配律(aa) ) a b)( a) ( a a； a b)a；例1在平行四边形ABCD 中设ABaADb试用 a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、MC、 MD 其中 M 是平行四边形对角线的交点解 ： a bAC2 AM于是MA1 (a b)2因为 MCMA所以MC1 (a b)2又因 a bBD2 MD所以 MD1 ( b a)2由于 MBMD所以 MB1 (a

4、b)2定理 1 设向量 a0那么 向量 b 平行于 a 的充分必要条件是存在唯一的实数使 ba三、空间直角坐标系过空间一个点 O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点。 这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、 z 轴（竖轴），统称为坐标轴。三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。其中x 轴与 y 轴所确定的平面叫做 xOy 面，y 轴与 z 轴所确定的平面叫做yOz 面， z 轴与 x 轴所确定的平面叫做 zOx 面。三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。含x 轴、 y 轴、 z 轴正半轴的那个卦限叫做第I 卦限，其它第，卦限，在xOy

5、 坐标面的上方，按逆时针方向确定。第到第卦限分别在第到第卦限的下方（如图）。zOyx设 P 为空间一点，过点P 分别作垂直 x 轴、 y 轴、 z 轴的平面，顺次与 x 轴、 y 轴、 z 轴交于 PX， PY， PZ，这三点分别在各自的轴上对应的实数值x， y， z 称为点 P 在 x 轴、 y 轴、z 轴上的坐标，由此唯一确定的有序数组（x， y，z）称为点 P 的坐标。依次称 x， y 和 z 为点 P 的横坐标、纵坐标和竖坐标，并通常记为P（ x，y， z）。坐标面上和坐标轴上的点其坐标各有一定的特征例如 点 M 在 yOz 面上则 x 0同相 在 zOx 面上的点 y 0在 xOy

6、面上的点 z 0 如果点 M 在 x 轴上 则 y z 0同样在 y轴上 ,有 z x 0 在 z 轴上 的点 有 x y 0如果点 M 为原点 则 x y z 0.四、利用坐标作向量的线性运算对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (ax ay az) 0 b (bx by bz)向量 b/a b abbyb即 b/a (bxbyb )(aaya ) 于是xzzxzaxayaz例 2 求解以向量为未知元的线性方程组5x3 ya3x2 yb其中 a (2 1 2) b ( 1 12).解 如同解二元一次线性方程组可得x2a3

7、by3a 5b以 a、 b 的坐标表示式代入即得x2(212)3(112)(7110)y3(212)5(112)(11216)例 3已知两点 A(x1y1 z1)和 B(x2y2 z2)以及实数1在直线 AB 上求一点 M使 AMMB解 设所求点为 M (x yz)则 AM(xx1, yy1, zz1) MB ( x2 x, y2 y, z2 z) 依题意有 AMMB即(x x1y y1z z ) (x2x y2y z z)12xx1x2yy1y2zz1z2111点 M 叫做有向线段AB 的定比分点当 1点 M 的有向线段 AB 的中点其坐标为x1 x2yy1 y2z1 z2x22z2空间向量

8、数量积与向量积目的： 掌握向量的数量积、向量积的定义及数量积的性质；掌握其计算方法。重点与难点：数量积与向量积的计算方法。过程：一、两向量的数量积数量积的物理背景: 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1 移动到点 M2 以 s 表示位移 M M2由物理学知道力 F 所作的功为1W|F| |s| cos其中为 F 与 s 的夹角数量积 对于两个向量a 和 b 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角的余弦的乘积称为向量 a和 b 的数量积 记作 a b即a·b|a| |b| cos数量积与投影当 a 0 时 |b| cos(a b) 是向量 b 在向量 a 的方向上的投影数量积的性质(

9、1) a·a|a| 2(2) a、 b 为非零向量， a·b 0 是 a b 的充要条件数量积的运算律(1)交换律 a·b b·a(2)分配律(a b) c a c b c(3) (a) ·ba·( b)(a·b)数量积的坐标表示设 a ( axayaz ) b (bxby bz ) 则 a·b axbx aybyazbz设 是 a 与 b 的夹角，则当a 0、 b0 时cosa baxbx a yb y azbz|a |b|ax2ay2 az2 b2x b y2bz2复习高中时的有代表性的例题例 1一质点在力 F

10、=4i + 2j +2k的作用下 , 从点 A(2, 1, 0)移动到点 B(5,2, 6) ,求 F 所做的功及 F 与 AB 间的夹角 .解由数量积的定义知 , F.其中 s=AB =3i 3j+6k 是路程向量 ,所做的功是 W=F s,故W=F. s=(4 i + 2j +2k). ( 3i 3j+6k )=18.如果力的单位是牛顿 (N), 位移的单位是米(m), 则 F 所做的功是18 焦耳 (J). 再由式 (6.7),有cos=Fs =18= 1 ,Fs42222232( 3)2622因此,F与 s 的夹角为= .3例 2求向量 a=(5,2,5)在 b=(2, 1, 2)上的

11、投影 .解Cos<a,b >= a b=10210 =6.b414二、两向量的向量积向量积设向量 c、 a、b 满足： c 的模 |c| |a|b|sin向垂直于a 与 b 所决定的平面c 的指向按右手规则从的向量积记作 a b 即ca b其中 为 a 与 b 间的夹角； c 的方 a 转向 b 来确定 则称向量 c 是 a 与 b向量积的运算律(1) 交换律 a bb a(2) 分配律(a b) ca cb c(3) ( a) ba ( b)(a b)( 为数 )向量积的坐标表示若 aax iay jaz kbbx iby jbz k则a biaxjaykazbxbybzayaz

12、ia xazaxayk .=bzj +bxbybybxbz( ay bzaz by) i ( az bxax bz) j ( ax by ay bx) k例 3设 a=(1,2, 2),b=( 2,1,0),求 a b 及与 a、 b 都垂直的单位向量 .ijk221212解a b = 1 2i k2 =02j +2121010= 2i+4j+ .5k所求的单位向量为1(2i+4j+ )=5 (2i+4j+5k).2225k152(4)5例 4已知三角形 ABC 的顶点分别是 A (12 3)、B (345)、 C (247)求三角形 ABC的面积解根据向量积的定义可知三角形 ABC 的面积S

13、 ABC1 | AB| AC|sinA1|ABAC|22由于 AB(222)AC(12 4)因此ijkABAC2224i 6j 2k124于是S ABC 1 |4i6 j2k | 142 (6) 2221422例 5设 a=( 2, 3, 1),b=(0, 1, 1),c=(1, 1, 4),三个向量是否共面 ?解因为 r =ab 与 a、b 所确定的平面垂直, 所以当 a、b、 c 三个向量共面时 ,应该有r c , 即 r . c =0.ijkr =ab=231 =(4, 2, 2) ,011所以有r. c= (4 i +2 j +2k) . ( i j +4k)=4 2+8=10 0,因

14、此三个向量不共面.空间简单图形及其方程方程目的： 掌握直线、平面、常见曲面的方程及其求法；会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。重点与难点：直线、平面方程及其求法。过程：一、平面方程1、平面的点法式方程已知平面上一点M 0 ( x0 y0 z0)和它的一个法线向量n (A B C) 则其方程为A(x x0) B(y y0) C(z z0)0例 1求过点 (23 0)且以 n (1 2 3)为法线向量的平面的方程解得所求平面的方程为(x 2) 2(y 3) 3z 0即 x 2y 3z 8 0例 2 已知空间两点 M1(1 2，-1)、M2 (3 -1 2)，求过 M1 点且与直线 M1 M 2

15、 垂直的平面方程 。例 3 求过三点 M1(214)、M2( 1 32)和 M3(0 2 3)的平面的方程解：我们可以用M1M2M 1M 3 作为平面的法线向量 n因为MM2( 3,4,6)M M( 2,3,1)113所以ijkn M 1M 2M1M 334614i 9 jk231根据平面的点法式方程得所求平面的方程为14(x 2) 9(y 1) (z4) 0即14x 9y z 15 02、平面的一般方程由平面的点法式方程A(x x0) B(y y0) C(zz0) 0 知，任一平面都可用x y z 的一次方程来表示。方程 Ax By Cz D 0 称为平面的一般方程其中 x y z 的系数就

16、是该平面的一个法线向量 n 的坐标 即 n (A B C)例如方程 3x 4y z 9 0 表示一个平面n(34 1)是这平面的一个法线向量例 4 求通过 x 轴和点 (431)的平面的方程解 平面通过x 轴一方面表明它的法线向量垂直于x 轴即 A 0另一方面表明它必通过原点即 D 0因此可设这平面的方程为By Cz 0又因为这平面通过点(431)所以有3BC0将其代入所设方程并除以B ( B 0)便得所求的平面方程为y 3z0二、两平面的位置关系两平面的位置关系不外是相交、垂直、 平行与重合， 利用两平面法向量位置关系就可判定两 平 面 的 法 线 向 量 分 别 为 n 1 (A1B1 C

17、1) 和 n 2 (A2 B2C2)由于cos| A1A2 B1B2 C1C2 |cos(n1 , n2 )|A12 B12 C12 A22 B22 C22是两平面夹角，则有1 21 21 20 充要条件为平面垂直A1B1 C1A AB BC CA2B2 C2 则平面重合或平行例 5 求两平面 x y 2z 6 0 和 2x y z 5 0 的夹角解 n1(A1B1C)(112)n2(A2BC )(211)122|AA BB CC|12(1)1 21|1cos121212A12 B12 C12A22 B22 C2212(1)222 221212 2所以所求夹角为3例 6一平面通过两点M1(11

18、 1)和 M2(0 11) 且垂直于平面x y z 0 求它的方程解1由M1到点 M2的向量为 n1(1 02)平面 x y z 0 的法线向量为 n2(111)设所求平面的法线向量为n (A B C)则有 nn1即A2C0A2C又因为所求平面垂直于平面x yz 0所以 nn 1 即 A BC0 B C所求平面为2C(x 1)C(y1)C(z1)0即 2x y z 0解 2从点 M1 到点 M2 的向量为 n1(102)平面 x y z0 的法线向量为n2(11 1)设所求平面的法线向量n 可取为 n1n2因为ijkn n1 n21 0 2 2i j k111所以所求平面方程为2x y z 0

19、三 直线的方程直线是两平面的交线，即直线的一般式方程：A1 xB1 yC1 zD10A2 xB2 yC2 zD20直线上一点M 0(x0, y0, z0)和方向向量s= m, n, p ，直线的对称式方程：xx0y - y 0z z0mnp例7 将直线xyz10 表为对称式2xy3z40解 取 x0=1，代入方程组得y0=0、 z0= -2 ，即点 (1,0,-2) 在直线上。两平面的法向量分别为n =1,1,1 和 n =2,-1,3，则 s= n × n =ijk=4i j3k，1111212213所求对称式方程为：x1y z2413设直线 l 1 和 l 2 的方向向量为a=

20、x1, y1 , z1 、 b= x2, y2, z2 ，则cos =|cos(a, b)|=x1x2y1 y2z1z2。x12y12z12x22y22z22四 几个曲面方程例 8 方程 x2 y2 z2 2x 4y 0 表示怎样的曲面？解 通过配方 原方程可以改写成(x 1)2 (y 2)2 z2 5这是一个球面方程球心在点M0(12 0)、半径为 R5一般地设有三元二次方程Ax2 Ay2 Az2 Dx Ey Fz G 0这个方程的特点是缺xy yz zx 各项而且平方项系数相同只要将方程经过配方就可以化成方程(x0202(z022x )(y y )z )R的形式 它的图形就是一个球面例 9 方程 x2y2R2 表示怎样的曲面？解 方程 x2y2R2 在 xOy 面上表示圆心在原点O、半径为 R 的圆在空间直角坐标系中 这方程不含竖坐标z 即不论空间点的竖坐标z 怎样只要它的横坐标x 和纵坐标 y 能满足这方程那么这些点就在这曲面上也就是说过 xOy面上的圆 x2 y2R2且平行