大连理工线性代数四份试卷

1、武汉理工大学考试试题纸 （ 第 1 份卷）课程名称 线性代数专业班级 2005 级本科题号 一二三四五六七八九十总分题分121240121212100备注 :学生不得在试题纸上答题( 含填空题、选择题等客观题 )一单项选择题（每小题3 分，共 12 分）1. 设 A, B 均为 n 阶矩阵，且 ( AB)2A22ABB2 ，则必有 _；(A) BE(B) ABBA(C) AE(D)AB2.设向量组1 ,2 ,3 线性无关 , 向量组 1,2 ,3 ,4 线性相关 , 则以下命题中成立的是 _；(A)1 一定能由2 ,3 ,4 线性表示(B)2 一定能由1 ,3 ,4 线性表示(C)4 一定能由

2、1 ,2 ,3 线性表示(D)3 一定能由1 ,2 ,4 线性表示3.设1 , 2 是三元线性方程组 Axb 的两个不同的解，且 R( A)2 ，则 Axb的通解为 x_；(A)k11k22 +12(B)k(12 )1222(C)k11k2 (12 )(D) k12k2 (21)2114.已知(1, k,1)T 是矩阵 A121 的特征向量，则 k_；112(A) 1或 2(B) -1 或 -2(C)-1 或2(D)1 或-2二填空题（每小题3 分，共 12 分）1011.210 _；3252. 如果 A 是 3 阶可逆矩阵，互换 A 的第一、第二行，得矩阵 B ,且113A 1201 ，则

3、B 1 =_；00213.设向量 1 (1,1,1)T ,2(2,0, a)T , 3(1,3,2)T , 若1, 2 , 3 线性相关，则 a =_；4.已知 3 阶方阵 A 的特征值为1、-1、2，则矩阵 A2E 的特征值为 _；三解答题（每小题8 分，共 40 分）111011011.计算行列式 Dn(n2) ；101101111012. 设 3阶方阵 A，B满足方程 A2B A BE ，试求矩阵 B ，其中 A020；2013.设 A 为三阶矩阵且 A1 ，求 (3A)12A* ；34.求向量组 1 (1, 1,2,4) T , 2(3,0,7,14) T ,3(0,3,1,2) T

4、, 4 (1, 1,2,0) T 的一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示；5.已知三阶实对称矩阵A 的三个特征值为10, 232，且对应于特征值为 0 的特征向量为1 (1,0, 1)T ，求矩阵 A.x13 x2x30四 (12分) 设线性方程组为 x14 x2a x3b ，问： a 、 b 分别取何值时，方程组无解、2 x1x23 x35有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解 .五（12 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1x22x1 x32x2 x3 由正交变换 x Py 可化为标准形f 2 y12 y22 y32 . 求 的值及正交矩阵

5、 P，并判断该二次型的正定性 .六证明题（每小题6 分，共 12 分）1.设向量组1,2,3线性无关,且1123，2123，3123.试证明向量组1,2, 3线性无关 .2.若方阵 A、B 满足 AEB,且B2B . 证明 A 可逆，并求 A 1 (用 A 的多项式表示 ).2武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称 :线性代数（ A卷）一、选择题（每小题3 分，共 12 分）1.B2.C3.B4.D二、填空题 （每小题 3 分，共 12 分）1131.2；2. 021 ； 3.a=1；0024. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分）三、 解答题（每小题 8 分

6、，共 40 分）1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：r1rn0001n11101110r2rn0010rn 1rnn110111012 分(n1)Dnc1 (n 1)(n 1)0100n101110111111n 11111111n( n 1)(n 2)( n 1)( 1)n 1 ( 1) 2 (n 1) ( 1)2(n 1)4 分注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。2. 由题，有 ( A2E) BAE202且 A2E030360,故 ( A2E) 可逆。402在等式左右两边左乘 ( A2E) 1得B( A2E) 1(A E)001101/ 20(A

7、 E)10100102001002 分2 分2 分2 分2 分3.解：3(3A) 12A*1 A31 A312AA12 分12 A 11 A 12 分3313A 12 分31, A13A3 ,上式1312 分339注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。13014.解：令矩阵A ( 1, 2, 3, 4)1031，并通过初等行变化化成最简形，有：271241 42013011030A1031r 011027120001414200000故向量组 A的的一个最大无关组为1, 2, 4，且3312 。5.解：因为实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量是正交的，设特征值为x ( x1 ,

8、 x2, x3 )T , 则有： x,10,即x1x301,0,1T0,1,0T其基础解系为2,3,0若矩阵 A 相似与对角矩阵2，则2110相似变换矩阵为P1,2 ,3001，1101/ 201/ 2求得P11/ 201/2 ，0104 分2 分2 分2 时所对应的特征向量为2 分2 分2 分40101由P1AP2, 得 APP10202 分2101注：本题也可使用参数法求解，即：a11a12a13设 A a12a22a23,2 分a13a23a33a11a12a1311由题意有a12a22a230002 分a13a23a3311a11a12a11得 a11a13; a12a23; a13a

9、33 ，故矩阵 Aa12a22a12,a11a12a11由特征值为2 得A 2E0, 代入 A 得a222，2 分由特征多项式为AE(2)2 ，比较系数得 a111;a120101故A= 0202 分101131四 (共 12 分)解：线性方程组的系数矩阵为：A14a,21313101310r增广矩阵为：A,b14ab011ab4 分213500a21 b故（ 1）当 a2,b 1,方程组无解；1 分(2) 当 a2时，方程组有唯一解；1 分（ 3）当 a2,b1,方程组有无穷解；2 分13101023当 a 2, b1,时，原增广矩阵为 A,b1r42101112 分213500005其等价

10、方程组为：x12x33x2x3，故其通解为：123x ( x1, x2, x3 )Tc 11 ,c R10注：本题也可采用如下方法判断方程组有唯一解：系数行列式为：A5(a2) ，故当 a2时，方程组有唯一解；若 a=-2 时，代入原方程组进行化简，其计算步骤和评分标准同上。五（共 12 分）011解： f 的矩阵 A 101，有特征值 121,32故1110当1时，解方程组 ( A E)x 0, 得方程组的基础解系为：1111， 20,0111正交单位化，有：1， 21；1112602当2 时，解方程组 ( A 2E) x 0, 得方程组的基础解系为：11131, 单位化，得： 313111

11、11236令P1,2,3111, 故 xP y 即为所求的正交变换。36212036因为矩阵A 特征值不全为正，故为非正定型（或不定）。六（每小题6 分，共 12 分）1. 证明：设有k1 , k2 , k3 使 k1 1k22k3 30，则有： k1123k2 (123 )k3( 1 2 3 ) 02 分2 分2 分3 分2 分2 分1 分2 分6即： (k1k2k3) 1 ( k1 k2k3 ) 2( k1k2 k3 ) 30k1k2k30由于 1,2 ,3 线性无关，则必有k1k2k302 分k1k2k30解得： k1k 2k30 ，所以，1 ,2 ,3 线性无关。2 分2. 证明：由

12、AEBBAE; B2(A E)2A22 AE2 分B B2AEA22A E,即A23A 2E0 ，2 分故有： A( A 3E)-2EA11( A3E)2 分0,故 A可逆，且 A=27武汉理工大学考试试题纸 （ 第 2 份卷）课程名称线性代数 A专业班级全校有关专业题号 一二三四五六七八九十总分题分151540101010100备注 :学生不得在试题纸上答题( 含填空题、选择题等客观题)一、单项选择题（每题3 分，共 15 分）1 、已知四阶行列式 D中第三列元素依次为 -1 ，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7 ，4，则 D=(A.-15B.15C.0D.12、设 A 是 mn

13、 矩阵， B 是 nm 矩阵，则（）A 当 mn 时，必有行列式 AB0； B当 mn 时，必有行列式 AB0C 当 m n 时，必有行列式 AB 0； D当 m n 时，必有行列式 AB 03、设 1,2, 3为 R3的一个基，则下列仍为 R3的一个基的是（）A. 123, 22,123B.12,23 , 13C.12 , 23,2 12 3D.13 , 12,2 1234、对非齐次方程组 Am n xb ，设 R( A)r ，则 ()A.rm 时，方程组 Axb 有解；B.rn 时，方程组 Axb 有唯一解C. mn 时，方程组 Axb 有唯一解； D. rn 时，方程组 Axb 有无穷多

14、解5、下列命题中不正确的是 ()A.合同矩阵的秩必相等B.与对称矩阵合同的矩阵仍是对称阵C. AAT 与 AT A 都是二次型的矩阵D. 行列式大于零的矩阵是正定矩阵二、填空题（每题3 分，共 15 分）10121、设11, 21, 32为 R 3 的一个基，则0在该基下的坐标为。0110821112、设A1121，则R( A)_ 462236973、若二次型 fx122x22tx322 x1 x22x1 x34x2 x3 为正定二次型，则 t。4、若1233, 4212,则 13412。、设A是n阶矩阵，A2，*是 AA 有特征值*1的伴随矩阵若，则2A必有一个特征5A值是三、解答题。（每题

15、 8 分，共 40 分）100010100200103（8 分）1、求0001n123n01230012、求矩阵方程 AXB，其中A321, B010 。（8 分）1111003、设 1(1k,1,1),2 (1,1k,1), 3(1,1,1k ), 及(0, k, k 2 ), 试求：当 k 为何值时可由1 , 2 , 3 线性表出，并且表示法唯一。（8 分）2114、求 A020 的特征值和特征向量。（ 8 分）413、设 A为3阶矩阵，A1，求 (2 A)15A。（8 分）529四、当 a 、 b 为何值时，线性方程组x1x2x3x40x22 x32x41x2a3x32 x4b3 x12

16、 x2x3ax41有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解（10 分）200200五、设矩阵 A 与 B 相似，其中 A 001, B010，01x001求 x ;求正交阵 P，使得 PT APB .（10 分）六、证明题。（每题 5分，共 10 分）1、设 A 是 n 阶矩阵，如果存在正整数 k ，使得 A kO （ O 为 n 阶零矩阵）， 则矩阵 A 的特征值全为 02、设向量组 1 , 2,r 是齐次方程组 AX0 的一个基础解系，向量不是方程组 AX 0的解，求证：,1 , ,r 线性无关。10武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称：线性代数A（ A卷）

17、一、选择题（每题3 分，共 15 分）1、A2 、B 3、B 4、A5、D二、填空题（每题3 分，共 15 分）1、1，1，-12、33、24、15 、4三、解答题（每题8 分，共 40 分）100011000010001002001000103rn 1r1 2r2 . n rn1231 100010 0 0n00000nn（5 分）123nni i (8分 )i 11231001231002. 解：3210100883101110010341011231001231000113100 1 1310 (3分)8888034101001131881211931003110888801110 1

18、0111 (5分)1 022220013100113118888iii 111311188123113211(6分)221111318811388故X A1B111（8分）2213188123001123001(解法2)：321010088 0 131111000341011230011230010 1101 301101 3 (3分)88880341010011318812039111001138888010111010111分 )222(62001131001131888811388故 X111（8分）22131881 k11 01 11 kk 21 11 kk2311k1k0kkk(1k

19、)0kkk (1k )，（ 4111k k2003kk 2 k2k 2k300k (k3) k(1 2kk 2 )12分）当 k0且 k3时可由1, 2 , 3 线性表出，并且表示法唯一。分）4解 :211IA020(1)(2)2413解得特征值11,232。分）1解齐次线性方程组 (EA) X0得基础解系为101c1故对应于11的特征值为：c110 其中 c10c1分）解齐次线性方程组(2 EA) X0 得基础解系为：114421,3001分）故对应于232 的特征值向量为：1 (c2 c3 )4c2 2c3 3c2其中 c2 , c3不全 0 。c3分）5解：因为 A 11 A*，|A|分

20、）所以 |(2A)1 5A*| |1A 15|A|A1| |1A 15A1|222（8（ 3（ 5（ 7（ 8（2（513分）A 13|A 1A182 16|2|(2)| 8|分）四、解： 将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：11110111100122101221A1 a 32 b00a 1 0b 10321a1000a 1 0分）所以，当 a1时， r Ar A4 ，此时线性方程组有唯一解 当 a1， b1时， r A2， rA 3 ，此时线性方程组无解 当 a1， b1时， r ArA2 ，此时线性方程组有无穷多组解分）此时，原线性方程组化为x1x2x3x40x22x32x4

21、1因此，原线性方程组的通解为x1x3x41x22x32x41x3x3x4x4或者写为x1111x2221x3k1 1k200x3010分）五、解：因 A 与 B 相似，故有21( 1)20x（ 8（3（6（ 1014解得 x0 . （ 2 分）A 的特征根为 11, 2 1, 3 2.（3分）解齐次线性方程组EAX0，得0对应于 11的特征向量为 P1*1，将它单位化得 P110对应于 21 的特征向量为 P2*1，将它单位化得 P21分）1对应于 32 的特征向量为 P3*P30.001 . （5分）21201.212（ 7（ 9分）令 PP,P,P ，则 PP,P,P即为所求正交矩阵 .3

22、21321分）六 1、设是矩阵 A 的特征值，0 是矩阵 A 的属于的特征向量，则有A 所以， A k A k 1 AA k 1 k ，分）但是 A kO ，所以k 0 ，但 0 ，所以0 分）2、假设,1 ,r 线性有关，则存在不全为零的0 , 1 , r 使得（ 10（ 3（ 51501(1)r (r ) 0 ，于是 (01r ) = 1 1r r ，（2分）又由于1 , 2 , r 的线性无关性知( 01r )0 ，于是（4分）1（ 1 1r r ），这与已知向量不是方程组 AX0 的解矛盾。（ 501r分）16武汉理工大学 考试试题纸 （第三份 卷）课程名称线性代数专业班级全校 07

23、级本科题号 一二三四五六七八九十总分题分121236151510100备注 :学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、填空题（每小题3 分，共 12分）7291、已知 Aij 是行列式102的元素 aij (i, j1,2,3) 的代数余子式，则8A112A12 _；1012、设矩阵 Adiag (1,2,1) ， A*为 A 的伴随矩阵，且A* BA2E，则 B_；3、设向量组1 ，2 ，3 是 R3 空间的一组基，要使1 t 2 ， t12 ， 3 可以构成 R3 空间的一组基，则 t 必须满足；4、要 使实二次型 f ( x, y, z)k( x 2y2z2 )2xy2xz 为正定的，则必有k 的值满足。二、单项选择题（每小题3 分，共 12 分）13阶矩阵，若Ak，则kA；、设 A为(A)k 4 ；(B)k 3；(C)3k ；(D)k ；2、设 有齐次线性方程组Ax0 和 Bx0 ，其中 A， B 均为 mn 矩阵，则下列命题正确的是；(A)若 Ax0 的解均是 Bx0 的解，则 R( A)R(B) ；(B)若 R(