一元二次函数的图像和性质

1、一元二次函数的图象和性质(一) 二次函数基本知识1.二次函数的定义：形如的函数叫关于的二次函数。2.二次函数的解析式的三种形式（1）一般式（三点式）：，配方后为 。其中顶点坐标为 ，对称轴为 。（2）顶点式（配方式）：，其中顶点坐标为 ，对称轴为 。（3）两根式（零点式）：，其中是方程的两个根，同时也是二次函数的图像与轴交点的横坐标。求函数解析式时，一般采用 待定系数法3.二次函数的图像和性质（1）二次函数的图像是一条 ，其对称轴为 ，顶点坐标为 ，开口方向由 决定。（2）二次函数的单调性以对称轴为分界。当时，函数图像开口向 ，当 时，单调递增，当 时，单调递减，当 时，有最小值。 当时，函数

2、图像开口向 ，当 时，单调递增，当 时，单调递减，当 时，有最大值。 在作二次函数草图时，往往抓住：开口方向，对称轴，与轴交点，与轴交点，顶点等。（3）二次函数，当时，图像与轴有两个交点，则（4）关于二次函数的对称轴的判断方法： 若二次函数对定义域内所有，都有，则其对称轴为若二次函数对定义域内所有，都有，则其对称轴为。若二次函数对定义域内所有，都有，则对称轴为.若二次函数对应方程为两根为,则对称轴方程为：4.二次函数的最值（1）在上的最值当时，=，当时，=（2）在闭区间上的最值“轴变区间定” 二次函数在闭区间上的最值问题，一般情况下，需要分三种情况讨论，依据对称轴与区间的位置关系：，,。再结合

3、图像分析。对于二次函数在闭区间上的最值问题，有以下结论：若，则，若，则，（时可仿此讨论）题型一：二次函数的解析式的求法例1已知二次函数满足且的最大值是8，求此二次函数的解析式。例2设二次函数满足，且的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),求的解析式.题型二：二次函数最值或值域问题例3已知函数在区间0,1上的最大值是2，求实数a的值.例4已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。例5. 已知函数，求函数在区间上的最大值例6.函数在闭区间上的最小值为（1）试写出的函数表达式（2）求的最小值题型三：已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求参数的范围，这两类是常见题型，关

4、键是利用二次函数的图像。例7已知二次函数在上递减，则的取值范围是 题型四：二次函数的综合应用例8已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且 它在y轴上的截距为4,又对任意的都有。 （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象都在直线的下方，求c的取值范围.例9.已知二次函数(a、b为常数且a0)满足条件：,且方程 有等根.（1）求的解析式；（2）设试求在区间-1,1上的最小值；（3）是否存在实数m、n(m<n)，使的定义域和值域分别是和?如果存在， 求出m、n的值，若不存在，请说明理由.例10.已知函数（1） 当时，恒成立，求的范围（2） 当时，恒成立，求的范围例11.已知函数(1

5、) 若函数的值域为，求的值(2) 若函数值为非负数，求函数的值域【练习】1.已知二次函数，则其开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，最小值为 ，单调增区间为 ，单调减区间为 ，与轴的交点坐标为 。2.已知函数的对称轴为，则 ，对称轴方程为 ，顶点坐标为 ，当时，最小值为 ，值域为 。3.若函数值域为，则= 。4.若函数对于任意实数都有，则 （比较大小）*5、已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是 6.已知函数在闭区间上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为 7.(2008·江西文，12）已知函数,若对于任一实数, 与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 8、若函数,

6、的图象关于对称，则 .9.设二次函数的定义域为,则的值域中有 个整数.10.已知函数.（1）若函数的最小值,且， （3） 若,且在区间(0,1恒成立，试求b的取值范围. 作业：1、二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是A B C D2、已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD yxO11 第2题 第3题 第4题3、二次函数的图象如图，下列判断错误的是（ ）A BCD4、二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）Aa0 Bc0 C0 D05、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高 与水平的距离 ，则该运动员的成绩是

7、( )A. 6m B. 10m C. 8m D. 12m来源:Z#xx#k.Com x32101y60466 6、抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表所示给出下列说法：抛物线与y轴的交点为(0，6)； 抛物线的对称轴是在y轴的右侧；抛物线一定经过点(3，0)； 在对称轴左侧，y随x增大而减小从表中可知，下列说法正确的个数有( )A1个 B2个C3个 D4个7、抛物线=与坐标轴交点为 （ ） A二个交点 B一个交点 C无交点 D三个交点8、二次函数yx2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ）Ayx22 By(x2)2 Cyx22Dy(x2)29、若二

8、次函数y2x22mx2m22的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（ ） A.0 B.±1 C.±2 D.±10、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论a<0a>0b2-4ac>0中，正确的结论有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11、抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 133112、已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，给出以下结论： 当时，函数有最大值。当时，函数y的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.413、关于二次函数y =ax2+bx+c的图象有下列命题：当c=0时，函数的图象经过原点；当c0时且函数的图象开口向下时，ax2+bx+c=0必有两个不等实根；函数图象最高点的纵坐标是；当b=0时，函数的图象关于y轴对称.其中正确的个数是（ ）A.1个 B、2个 C、3个 D. 4个14、抛物线y=x2 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）A. y=(x+8)2-9 B. y=(x-8)2+9 C. y=(x-8)2-9 D. y=(x+