各种利率期限结构模型的比较评价研究

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5、有二：其一，各相关变量诸如及其理论和利率风险溢价都是内生的；其二，现实经济变量和金融变量之间的关系对于理解利率期限结构理论具有十分重要的意义。然而，就实际应用而言，广义均衡理论相对于无套利方法的优势就不再明显，这是因为在各种刻画利率期限结构模型的实证研究中起决定作用的是这些模型捕捉利率波动的能力。而就目前所掌握的相关文献而言，还不存在一种能够优于其他各模型的刻画利率期限结构的模型，这一点在实证方面尤其如此。关键词：套利；广义均衡；利率；期限结构；波动1引言对利率期限结构进行分析（TSIR）进行分析遇到的首要问题就是研究对象（利率期限结构）的定义。在目前的文献研究中，学者们对利率期限结构达成的一

6、致定义是“利率期限结构是对仅到期期限不同的无违约证券收益率关系的测度”（Cox, Ingersoll and Ross, 1985b）。从解析上讲，利率期限结构是折现债券的到期时间与它的当前价格或者到期收益率之间的函数映射。因此，寻找一个好的利率期限结构理论不仅对利率期限结构自身的研究非常重要，而且也助于大量利率敏感性要求权（Interest Rate Sensitive, IRS）的定价。利率期限结构的早期理论诸如预期假说（the expectation hypothesis）、流动性偏好（the liquidity preference）、市场分割（the market segmentat

7、ion）和优先栖息地（the preferred habitat theory）理论等在本质上都是建立在确定性的架构之上的。上个世纪七十年代的金融市场动荡加重了将利率期限结构分析置于随机环境中的必要性。一个很自然的做法是将资产定价理论也就是跨期资本资产定价模型（ICAPM）和期权定价理论（OPT）扩展到利率敏感性要求权的定价中来。然而，利率期限结构理论却并不为跨期资本资产定价模型所容，原因是利率敏感性要求权的风险并不能采用与股票相同的风险分散方式进行化解，这是因为利率敏感性要求权的收益率彼此之间是高度相关的。而在另一方面，即使已经给定了利率敏感性要求权和股票价格或有要求权的差异之后，Black

8、-Scholes期权定价公式也不能简单扩展到对利率或有要求权的定价中。自从上个世纪70年代末以来，基于无套利假定和鞅分析的随机模型则开始用来尝试解释利率期限结构。在这些研究利率期限结构随机方法的文献中，值得一提的有Vasicek（1977）、Dothan（1978）、Cox，Ingersoll和Ross（1985a,b）、Ho和Lee（1986）、Heath, Jarrow和Morton（1992）。尽管关于利率期限结构随机性研究方面的文献数量飞速增长，可是大多数的实证研究均是利用某一种模型对利率期限结构进行分析，而没有各种模型之间存在的差异和相似性进行分析。因此，就很有必要在各文献中所给出的

9、特定而又不同的假定的基础上，侧重于对各文献中所提出的主要理论和方法的研究，以比较研究利率期限结构利率的各随机模型。而本文恰是为了弥补以前文献的不足，对研究利率期限结构理论和相关的利率敏感性或有要求权定价的各种随机方法进行一个文献综述式的分析。为便于对比研究，本文将所有的相关方法分成两大不同的方法类：套利定价理论（the Arbitrage Pricing Theory）和广义均衡理论（the General Equilibrium Theory）。其中，前者是在折现债券价格动力学（the dynamic）由伊藤微分方程描述和将无套利假定作为一种均衡条件进行施加的基础上来推导不同期限的均衡到期收

10、益率也就是利率期限结构的。并且，这种利率期限结构除其他决定因素之外主要受制于一个外生设定的风险市场价格。而后者则是建立在一个跨期广义均衡模型的基础之上的，且在这个模型中，利率风险的市场价格主要是内生决定的。因此，本文的研究旨在突出这两种方法的不同特征和强调在何种条件下这两种方法具有实际等价性。同时，也对适用于每一种方法的不同假定进行了讨论并对各种利率期限结构模型进行了实证评价。本文的组织架构如下：第一部分介绍了套利定价理论并讨论了它的各种不同形式；第二部分，分析研究了广义均衡理论及其各种模型；第三部分对两大类模型方法从理论和实证角度进行比较评价；最后一部分，则是总结全文和对未来研究进展的展望。

11、2套利定价理论2.1 基本模型根据最为普遍性的定义，套利定价理论的基本模型旨在描述利率期限结构也就是只有到期期限不同的无违约证券收益率之间的关系。因此，利率期限结构可以用到期收益率或者折线债券价格进行描述。本文按照Vasicek（1977）和De Felice and Moriconi（1991）文的方式对基本模型进行描述，其中，前者在一个套利假定的基础上对利率期限结构进行了极为清晰的描述，而该假定与Black和Scholes（1973）对期权进行定价时所做出的假定相似；后者则是在随机免疫的框架下对利率期限结构进行了详细的解释。无套利基本模型主要基于如下假定：假定1，市场假定：市场是无摩擦和高

12、度竞争的；代理商是价格接受者；交易是连续且一致的也就是不存在无风险套利机会。假定2，基本模型假定：令表示到期收益率，表示瞬时利率。即期利率是基本变量，被定义为或者等价表示为：。在此模型中，即期利率是无风险利率且是唯一的不确定性来源，也就是说该模型是一个单因子或者单变量模型，其中是状态变量。假定3，即期利率的随机过程假定：即期利率遵循一个马尔可夫过程，也就是未来即期利率值的概率分布是由当前的即期利率值唯一确定的，并且被假定为连续的，也就是债券市场不存在任何冲击。假定4，同质性假定：代理商对未来即期利率值的概率分布持相似预期。假定1到4暗含着折现债券的价值函数是唯一确定的。根据上面的各条假定，该模

13、型的建模过程可以分为如下的五个主要步骤：第一步，该模型即期利率的动力学变化是由如下的伊藤偏微分方程（PDE）来进行描述的， （1）式（1）中，是过程的漂移项；是过程的扩散系数，而是一个均值为0、方差为的标准布朗运动。第二步，折现债券的价值函数对即期利率的依赖通过下式来进行刻画： （2）式（2）中，被设定为的一个单调函数，且其一阶导数、和二阶导数连续。第三步，在以上两步的基础上，可以利用伊藤引理来推导收益率的动力学变化，即 （3）式（3），式（3）表明收益率可以被分解为一项预期的变化和一项未预期的变化，而这项未预期的变化是由用维纳过程表示的冲击所造成的，它的大小依赖于。同时，从表达式中还可以得到

14、下面的偏微分方程： （4）在式（4）中，忽略了各变量之间的相关性。另外，为在公式中便于表示，本文用表示，表示，表示，表示，表示，表示，表示。第四步，由于即期利率过程的漂移项和方差通常被假定为已知或者可估计得出，因而，如果函数已知，则式（4）中的偏微分方程可以求解从而得到债券价值函数的函数形式，整个利率期限结构也就得以确定。然而，事实是函数的形式常常未知，且不能从模型中推导得到。为了确定的函数形式，必须设定无套利假定，即对于任意时刻、且，下面的结果可以证明成立： （5）式（5）中的每一边均可被解释为一个风险溢价，或者更准确地说是期限溢价，且该期限溢价与具体期限无关，因而，可以认为它们是代表利率风

15、险市场价格的公共市场价值。实际上，这个期限溢价是代理商为承受与未预期到的即期利率变化相关的风险而索要的均衡补偿，即 （6）根据式（6）并利用的表达式，则可以得到用利率风险市场价格表示的函数形式，如下所示： （7）由于利率风险的市场价格是一个均衡价格，取决于市场中代理商的风险偏好，因而函数也与代理商的风险偏好密切相关。所以，无偏好定价尽管常常被认为是基于无套利假定的资产定价理论的一个进步，但对于本文所要讨论利率期限结构理论却不成立。第五步，将式（7）带入式（4），即可得到一个不依赖于的新偏微分方程，如下所示： （8）在式（8）中，只要即期利率过程的变动特征和已知，且设定了利率风险价格，则偏微分方

16、程式（8）可以用边界条件进行求解。债券价值函数的解也可以表示成积分形式，如下所示： （9）其中，。在得到债券价值函数的解后，就可以确定与每一到期期限相对应的到期收益率，也就是整个利率期限结构。上面所描述的无套利基本模型与其他的无套利模型的不同之处在于它假定即期利率是模型中的唯一不确定性来源。这就意味着不同到期期限的证券收益率完全相关。而在下一部分所要描述的模型则克服了这个局限性。本文所要强调指出的最后一点在对无套利和广义均衡类模型的比较中是至为重要的：在本节中给出的无套利基本模型为了使得偏微分方程的解具有封闭性要求利率风险的市场价格是外生给定的，而在广义均衡类模型中则不必如此。此外，对无套利假

17、定也不能任意设定，必须验证与无套利假定相关的模型一致性。这一点将在第四部分进行更详细地讨论。2.2 其他无套利基本模型在上一小节中所给出的无套利基本模型为使模型能够得到解析解，要求设定利率风险的市场价格，且均为一个单因子模型，因为在模型中即期利率是唯一的不确定性来源。自从上个世纪七十年代末以来，出现了许多基于无套利理论的基本模型。为便于说明起见，在本小节中，本文给出了一些模型，这些模型之间或者在利率风险市场价格的设定形式方面不同，或者用于分析的模型因子个数多于一个，也或者上面的两种情形都存在。1、Vasicek模型Vasicek模型假定利率风险的市场价格和即期利率的变动过程分别作如下形式设定：

18、 （10） （11）由式（10）和式（11）可知利率风险的市场价格被设定为一个常数，而即期利率过程被设定为一个奥伦斯坦-乌伦贝克（Ornstein-Uhlenbeck）过程。其中，表示即期利率恢复到长期利率的速度，表示长期利率水平。并且，如果，那么式（11）描述的是一个均值回复的自回归过程。由于是一个常数，即期利率围绕着长期利率水平作上下波动。然而，不幸的是，Vasicek模型可能使得利率出现为负的情况。不过对于很大的和值，出现利率为负的概率是非常低的，因此这个模型还是得到了很大的应用。2、Dothan（1978）模型在利率风险的市场价格方面，Dothan采取了与Vasicek模型相同的假定，

19、但却对即期利率的变动过程所遵循的假定进行了修正，如下所示： (12)在Dothan模型中，债券价值函数是在的情况下给出的，并且得到的结果与传统的纯预期理论也是相同的：预期利率等于即期利率。该模型求解结果的另外一个优点是折现债券的价格总是大于0。3、Brennan和Schwartz（1979）两因子模型本文上面给出那些无套利基本模型，都隐含着不同期限的折现债券的价格都是完全相关的。Brennan和Schwartz模型通过假定利率期限结构有两个因子决定，从而克服了这种局限性。在该模型中所假定的两个因子分别是即期利率和长期利率，它们的变动过程如下所示： （13）式（13）中，和是均值为，方差为的标准

20、维纳过程，且。在Brennan和Schwartz两因子模型中，引入长期利率并将其假定为第二个因子的设想正是基于传统的预期理论和流动性溢价理论。在Schaefer和Schwartz（1984）中也构建了一个两因子模型，但是在那篇文章中他们选用了两个不同的因子：长期利率和长短期利率之间的价差。由于进行了两个因子的假定，无违约折现债券价格的偏微分方程包含了两个效用相关的参数：瞬时风险的市场价格和长期风险的市场价格。其中，如果假定存在一个可交易的永久债券（consol bond）（对应于模型中的第二个状态变量：长期利率），长期风险的市场价格可以被消除。2.3 套利定价理论的最新发展在本文献综述中，根据

21、定价方法：套利定价和均衡定价，将有关利率期限结构研究的模型的进行了归类。此外，还可根据另外一种分类方法，对研究利率期限结构的模型进行分类，这种方法就是所考虑的研究出发点不同。后一分类体系下的第一种方法将对短期利率变动过程的合理假定作为研究出发点，并由此模型推导出了当前的收益率曲线。由于用于推导收益率曲线的模型可能是套利定价模型也可能是广义均衡模型，因此，可以将这种方法同时归入套利定价模型如Vasicek（1997）、Dothan（1978）等和广义均衡模型如Cox, Ingersoll和Ross（1985b）、Longstaff和Schwartz模型等。后一分类体系下的第二种方法将当前的利率期

22、限结构作为预先给定，再在此基础上研究无套利的收益率曲线，因此，这种方法是与实际的市场数据完全一致的。正因为如此，Longstaff和Schwartz（1992）指出，这种方法可以认为是“套利定价方法的一种变异（variation）”。建立这种方法基础上的利率期限结构模型代表了当今套利定价理论的最新研究进展。Ho和Lee（1986）是采用这种方法建立模型进行利率期限结构研究的第一篇论文。在该文中，作者将初始的债券价格和债券价格变动过程看成是外生给定的也就是他们将当前的利率期限结构作为给定。在一个离散交易经济中，他们对利率期限机构的变动施加限定以确保不存在套利机会，具体来讲，他们将债券价格假定为根

23、据一个二项式过程随时间变化进行随机波动。一旦无套利利率变动被确定下来，则或有要求权就可以根据观测倒的利率期限结构进行定价。因此，这个模型是一个相对定价模型（相对于当前观测到的利率期限结构而言），其主要优点是利用当前利率期限结构中所暗含的信息内容来对或有要求权进行定价。Heath，Jarrow和Morton（1992）则对这个模型进行了扩展，用于描述含多个因子的连续时间经济。与Ho-Lee模型不同的是，该文的作者将初始的远期利率曲线作为给定，并通过一个时间连续的随机过程来描述它的波动。他们利用了Harrison和Kreps（1979）与Harison和Pliska（1981）的研究结果来保证不存

24、在套利和对或有要求权进行定价。该模型的时间连续特性同时也便于对模型过程相关参数的估计，而这在Ho-Lee模型中则可能是有困难的。相对于传统的套利定价理论模型而言，该类模型最可取的是或有要求权估价不再显式依赖于风险的市场价格，而是仅依赖于可观测到的利率期限结构和远期利率波动。就本文的观点而言，由Ho和Lee（1986）与Heath，Jarrow和Morton（1992）所采用的这类方法的主要缺点是它并没有对观测到的当前利率期限结构的形状做出解释。他们的方法主要体现了利率期限结构演变理论和根据观测到的利率期限结构对或有要求权进行定价。因此，在某种意义上讲，它们不是一种利率期限结构理论，这是说在本文

25、的文献综述中，上面所提到的Ho-Lee模型和HJM模型不能够解释当前观测到的利率期限结构的形状，仅仅是把它简单作为外生给定的。在本节中所简单描述的无套利收益曲线模型类可参见Hull和White（1992），该文对对构建这类模型的各种方法进行很好的对比分析。此外，在无套利分析方法中，Hull和White（1990）还提出了另外一种类型的模型。他们扩展了Vasicek（1977）模型，并假定模型中即期利率变动过程的系数是时间的函数，并选择这些系数来反映短期利率的当前和未来波动。3 广义均衡理论3.1 研究框架刻画利率期限结构的另外一种方法是建立在广义均衡理论的基础上的。利率期限结构广义均衡模型的理

26、论框架是资产市场的广义跨期均衡，而用于求解它们的工具则是动态随机优化理论。在这个领域具有开创性的工作是由Merton（1970）完成的。由于Merton的模型旨在对公司的资本结构进行定价，利率期限结构刚一开始是被假定为水平或者不存在的，也就是说对模型没有施加无风险利率假定。该模型最终被扩展成利率随时间而随机变动，在这种情况下，该模型可以用来解释利率期限结构的存在性、确定利率期限结构的形状和判断与其他模型如无套利模型的一致性。上面所提到这些由广义均衡模型设定所暗含的优点正是Cox, Ingersoll和Ross（1985a,b）模型的主要特征。并且，这两篇论文在此基础上更前进了一步，理由如下：1

27、）这两篇论文给出了一个广义跨期均衡模型。其中，该模型中的资产价格及其随机特性都是内生确定的，因为它们仅依赖于潜在真实经济变量；2）由于采用广义均衡理论框架来研究利率期限结构，可使得影响利率期限结构的传统因素（预期、风险规避、投资选择与偏好）通过与代理商的最优化行为、均衡和理性预期相一致的方式引入到模型研究中。此外，在Merton（1990）中由于供给动力学过程的外生性使得即期利率变动过程仍然是外生的，而与此相反，在Cox, Ingersoll和Ross（1985b）中即期利率变动过程是内生的，因为它是由对驱动真实经济的随机变量假定来确定的。鉴于Cox, Ingersoll和Ross（1985b

28、）模型（以下简称CIR模型）相对更完善，具有较好的实证特性，并在实际中得到了广泛应用，因此，本文将这个模型作为广义均衡模型的代表性模型进行研究。3.2 Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型在上个世纪80年代中期，Cox, Ingersoll和Ross连续发表了两篇论文，这两篇论文代表了金融学中广义均衡理论方法的里程碑。首先，Cox, Ingersoll和Ross（1985a）对一个简单而又完备的经济体提出了一个时间连续的广义均衡模型，并且用它来检验资产价格的行为。其次，Cox, Ingersoll和Ross（1985b）则是用在Cox, Ingersoll和Ross（1985a）

29、中提出的模型来对利率期限结构进行研究。在简要介绍了上面提到的两篇论文的学术价值后，本文将简要概述仅与利率期限结构模型比较研究相关的一些特征。3.2.1 CIR模型的基本形式Cox, Ingersoll和Ross（1985a）是一个广义均衡模型，该模型对时间连续跨期完全竞争经济进行了完备描述，并且将一个偏微分方程（该文中的一个基础估价方程）的解作为任意资产的均衡价格给出。实际上，该文作者证明了任意或有要求权的价格必须满足下面的微分方程：（14）式（14）中，是该模型的均衡利率，代表财富，表示或有要求权的的价值，表示支出，是技术工艺状态变量。尽管式（14）的定价方程对于任意或有要求权都成立，但支出

30、的形式和合适边界条件的给定则依赖于特定或有要求权的和约条件。3.2.2 利率期限结构模型Cox, Ingersoll和Ross（1985b）通过对上一节描述的资产定价广义均衡模型限定某些特殊条件得到了他们的利率期限结构模型。在本小节中，将给出由他们描述的最基本的利率期限结构广义均衡模型。该模型建立在如下假定条件之上：假定1：效用函数被假定为具有恒定不变风险规避（CRRA），且与状态变量相独立，具体形式如下： （15）对偏好结构的假定隐含着无风险利率或者风险溢价因子均不依赖于财富。此外，模型中所要估价的证券，其合约条款也不明显依赖于财富，也就是。因此，式（14）中的基本估价方程变为： （16）式

31、（16）中，和表示描述生产和技术工艺水平的方差协方差矩阵。假定2：技术工艺水平可以由一个简单充分统计量来代表。假定3：生产收益率过程的均值和方差均与技术工艺水平成比例。假定4：状态变量的演变形式被设定如下： （17）其中，和是常数，是一个向量，向量中的各个分量均为常数。在上述假定条件下，就可以具体化在上一小节中得到的结果。为了便于说明，本文采用Cox, Ingersoll和Ross（1985b）的作法根据下面的定义形式引入了三个常数：， （18）根据式（18）中定义的三个常数，则模型中的均衡利率现在可以写成如下形式： （19）式（19）中，是一个单位向量。利用式（19），很容易可以验证均衡利率

32、是产出收益率期望和方差的线性函数。同样，均衡利率也服从一个扩散过程，其漂移项和方差可以通过伊藤公式得到： 漂移项： （20） 方差： （21）式（20）和式（21）中，和均是常数，且，根据上述定义，无风险利率的动力学过程可以表示成如下形式： （22）式（22）中，是一个一维维纳过程，且有。CIR模型的一个最基本的特征是利率变动过程的内生性，且该利率变动过程是一个时间连续的一阶自回归均值回复过程，其长期值是。之所以讲无风险利率的随机变动过程是内生的，这是因为它依赖于对现实经济的基本假定（例如技术工艺水平的随机过程和偏好结构），且它也可以作为驱动均衡利率的演变过程进行推导。因此，对技术工艺水平、产

33、出和偏好结构的不同假定将得到不同的形式。此外，Cox, Ingersoll和Ross（1985b）中所采用的各种假定是非常有用的，因为这些假定隐含着很好的利率实证特性：均值回复过程保证了利率永远非负；如果，则即期利率不可能达到0边界；方程中的绝对方差直接与利率自身成比例；就利率自身而言，存在一个稳定状态分布。现在，就可以根据上面的结果来求解在时刻支付1单位货币的无违约折现债券的价值，也就是可以确定利率期限结构。令表示在时刻到期折现债券在时刻的价格，将式（20）和式（21）代入式（16），则式（16）中的基本定价方程变为： （23）式（23）满足边界条件。表示风险溢价因子，根据前面的各假定条件，

34、其可由下式来确定： （24）根据伊藤公式，可以证明债券的预期收益率是，且与自身的利率弹性成比例。表示最优投资时财富百分比变化与利率变化的协方差。关于CIR模型，本文还将按照先后顺序给出如下几点评论：首先，Cox, Ingersoll和Ross（1985b）没有对得到结果给出任何直观上的解释，这是因为在CIR模型中很难阐明这一点。Sun（1992）对此做出了一种很清楚的解释，他根据时间离散模型对一个两期债券得到了类似的结果，并且认为协方差可以测度债券对冲风险的能力。为弄清楚这一点，现假定协方差为负，则当财富的边际效用很高时，由于债券的低价值，使得债券成为一个很差的对冲工具。根据资本资产定价模型，

35、如果一项金融资产是一个很差的对冲工具，那么对它的定价将会得到一个正的溢价，因此，就可以得到如下结论：如果最优投资的财富和利率的协方差为负，那么债券就是一个很差的对冲工具，且隐含着一个正的风险溢价，反之亦然（这也就是为什么总是负值的原因）。其次，在CIR模型中债券的价格只依赖于一个随机变量：即期利率，因此，这个模型是一个单因子模型。这个单因子模型的本质取决于对初始技术工艺水平的假定。因此，债券价格最终依赖于真实的经济特征。根据上面提到的风险修正预期来求解式（23）中的债券定价方程，就可以得到如下形式的债券价格： （25）式（25）中，和是风险溢价因子和模型参数的非线性函数。式（25）与债券价格行

36、为的直观解释是相一致的：是利率的单调递减的凸函数、时刻的增函数、到期时间的减函数。由于受利率的影响，债券价格对影响利率过程的参数也很敏感。债券价格对市场风险参数也有很强的依赖性：较大的的隐含着利率与财富有一个很大的协方差，因而当财富值很低时债券的价格很高，有一个更大的边际效用。此外，在CIR模型中，如果当前利率大于（或者小于）长期均值，则债券价格是修正速度参数的一个增函数（或者减函数）。但Sun（1992）却对此强调指出，Cox, Ingersoll和Ross（1985b）的论点是不正确的，并给出了一个反例，以证明他自己的观点。通过对式（25）应用伊藤积分公式，可以得到债券价格的动力学过程：

37、（26）从式（26）可以看到，债券收益率与利率变化完全负相关，这是一个与单因子模型本质相关的典型特征。当利率很小时，收益率的变动也很小，而当利率趋近于零时，收益率基本上就不再变化。此外，收益率的变动性随着债券接近于到期时间而减弱。关于债券价格的所有结果都可以根据到期收益率进行重新表示，形式如下： （27）式（27）隐含着随着到期日的临近，到期收益率逼近于利率，且与参数无关。求解CIR模型，可以得到与所有到期日相对应的到期收益率，因而也就得到了整个利率期限结构。最后，对CIR模型进行总结，本文认为该模型的优越性完全取决于模型自身所具有的四个优良特征：1）该模型在状态变量的个数上是节俭的（pars

38、imonious）：仅有一个变量；2）模型的待估参数的个数也是节俭的：仅有四个参数需要估计；3）利率是一个正的平稳过程；4）折现债券的价格可以以解析封闭的形式得到，这对于债券欧式期权的价格也是如此。此外，Cox, Ingersoll和Ross（1985b）还建议，在本小节给出的模型可以以几种方式进行扩展，如可允许利率过程的漂移项与时间相关。在这种情况下得到的结果可以用来与传统的预期假定相对比。另外一种由该文的作者所提出的扩展则是源于克服单因子模型缺点的需要，因为单因子模型使得债券所有到期收益率均完全相关。由作者给出的第三种可能扩展则是通过假定一个状态变量是价格水平，而合约规定的支出且依赖于这个

39、价格水平，从而在模型中隐含着对货币和通货膨胀因素的引入。3.3 其他的广义均衡模型尽管CIR模型在实证研究中得到了广泛应用，但自1985年以来，学者们对这个广义均衡模型仅是作了很有限的扩展。出现这种情况的原因在于CIR模型自身，因为该模型非常简单、具有很好的解析易处理型，且任何对该模型原始假定的偏离都会使该模型变得相当复杂而难于处理。然而，CIR模型也仍然存在三个主要缺点：1）一个给定到期期限的折现债券的期限溢价对于所有的经济状态都表现出相同的符号；2）不同到期期限的折现债券的期限溢价在任意到期期限上都具有相同的符号；模型所隐含的收益率曲线仅具有三种形状：单调上升、单调下降和驼峰状的。在本小节

40、中简要讨论的广义均衡模型就是试图克服上面提到的CIR模型的缺陷。接下来，本文将对四篇相关文献进行讨论，据我们所知，这是自CIR模型提出后，又出现的仅有的四个广义均衡模型。这些模型将按照它们发表的时间顺序进行介绍。还需要说明的一点是，Sun（1992）一文没有在本文中进行介绍，因为他所提出的仅仅是一个时间离散的CIR模型形式。这篇论文的主要贡献在于阐明CIR模型所具有的本质思想，并且在一种局部均衡背景（在这种背景下，作为外生的价格水平是与真实经济相关的）下研究实际利率和名义利率的相互关系。然而，由于大多数可能得到的数据都是名义债券价格，因此，后一个问题不在我们研究的主要范畴之内。当然，即使没有对

41、真实变量和价格水平之间的统计关系进行任何的假设，也可以对利率期限结构模型进行估计。1、Longstaff（1989）模型Longstaff（1989）舍弃了线性产出可能性的假定，相反却允许技术工艺水平是以一种非线性的方式来影响产出收益率的。根据这种思路，并与CIR模型中所采用的平方根模型相比较，他推导得到了他所称之为的利率动力学的双平方根过程。该文所采用的假定在没有引入任何附加状态变量和参数的前提下，还隐含着可以得到更丰富的收益率曲线和期限溢价形状。此外这个模型还给出了四个很好的结果：1）收益率曲线可以同时表现出驼峰与波谷以及期限溢价的单调和驼峰状模式；2）折现债券的价格和利率并不总是逆相关；

42、3)折现债券的风险程度不一定是到期期限或者久期的单调增函数；4）对某些债券局部预期假设可以同时成立，而对于其他债券则不尽然。因此，Longstaff（1989）模型克服了CIR模型的主要缺点。但不幸的是，Costantinide（1992）指出，该债券定价方程是Longstaff（1989）一文所旨在解决问题的错解，因为Costantinide（1992）认为Longstaff（1989）模型的解并没有满足合适的边界条件。因此，后来的学者们没有再在这篇论文的基础上进行进一步的研究。2、Hull和White（1990）模型Hull和White（1990）给出了与Vasicek（1977）相同类型

43、的扩展，也就是他们也假定CIR模型中描述利率变化的参数、和是时间的函数。Hull和White（1990）证明了对CIR基本模型的这样一种扩展可以使得模型同时与当前的利率期限结构和利率波动相一致。在这种意义上，该模型更可以被视为一个无套利模型，这一点已在上文做过讨论。然而，不幸的是，这个CIR扩展模型并不具有原始的CIR模型和与之相似的Vasicek（1977）扩展模型的解析易处理性。3、Costantinide（1992）模型Costantinide（1992）通过采用与CIR模型完全不同的方法，并基于Harrison和Kreps（1979）构建的模型克服了CIR原始模型的三个主要限制特性。正

44、如该文的作者所明确解释的那样，Costantinide（1992）模型的出发点是对一个正的名义状态价格密度过程的设定或者说是对确保无摩擦市场中不存在套利机会定价核（pricing kernel）的设定。这个定价核被作为一个平方的一阶自回归无关过程进行建模。在到期时间名义支付的或有要求权在时刻的名义价格由下式给定： （28）式（28）中，是基于时刻可获得信息的条件期望算子。通过利用式（28）中的定价方程来对在时刻支付一单位货币的无违约债券进行定价，Costantinide（1992）推导得到了平方自回归无关变量名义利率期限结构模型（squared-autoregressive-independe

45、nt-variable nominal term structure），简记为SAINTS模型。该模型也具有CIR模型的优良特征，但不存在上面提到的CIR模型的三个限定特性。换句话说，该模型的结果隐含着：期限溢价取决于经济状态，可以改变符号；在给定经济状态下，期限溢价的符号对于不同债券可以是不同的；收益率曲线具有倒驼峰状以及其他更常见的形状。Costantinide（1992）还认为基于定价核的模型结果可以用一个具有代表性的代理商经济来解释，但同时也强调那样的一种表述在他的模型中是没有必要的。然而，本文则认为也正是因为这种特性使其成为该模型的一个缺点。为了获得比CIR模型更好的结果，Costa

46、ntinide（1992）采用了一种在数学解析上很优雅但缺乏直观意义的方法，因而该模型丢失了CIR模型具有的一种优越性，即利率期限结构与潜在真实经济的相关性。4、Longstaff和Schwartz（1992）模型Longstaff和Schwartz（1992）沿着无套利分析框架提出了一个新模型。在该模型中，他们为了避免不同到期期限债券收益率之间的完全相关性而在分析中引入了一个附加状态变量。因而他们的模型是一个两因子模型，这两个因子分别是短期利率和短期利率的波动。其中，短期利率波动在直观上很有吸引力，因为波动在对或有要求权进行定价时是一个关键变量。与Longstaff和Schwartz（199

47、2）相对应，Fornari和Mele（1994）也构建了一个两因子模型，但他们的主要目的是为了阐述用于利率期限结构建模的各种最新计量经济方法和技术。Longstaff和Schwartz（1992）模型的构建过程与CIR模型相类似，主要的不同在于产出收益率的演变过程在这个模型中依赖于两个随机过程。通过利用CIR模型中的结果，他们得到了均衡利率及其波动，再利用伊藤引理，即可得到它们的动力学过程。像CIR模型一样，Longstaff和Schwartz模型也可以得到折现债券价格的封闭型表达式。在这种情况下，到期期限为的无违约风险折现债券的价格是三个变量：、和的函数，这个函数有六个参数，隐含着很好的五种

48、利率期限结构特性：1）和都是平稳分布；2）债券价格与到期期限可以正相关也可以负相关；3）短期利率的波动对债券价格的效应也是不确定的；4）对指定的到期期限，债券收益率是和的线性函数；5）收益率曲线能够表现出很多的形状类型，也包括那些单因子模型所不具备的收益率曲线形状。这些特性可以用确定利率期限结构的两个因子（短期利率和利率波动）来进行解释，也可以联系潜在的真实经济状况进行直观上的理解。因此，Longstaff和Schwartz模型在相同的广义均衡背景下克服了CIR模型的缺陷，因而也突出了利率期限结构与潜在真实经济特征的相关性。4 两种方法的比较评价在本节中本文将对利率期限结构的套利定价理论和广义

49、均衡理论进行比较，因而也就会遇到一个很常见的问题：在何时在那种情形下一个利率期限结构模型是一个好的模型呢？尽管对于这个问题很难给出一个明确的答案，但本文还是尝试通过对这两种方法进行比较评价来回答这个问题。本文认为一个利率期限结构模型的好坏应当根据它的易处理性和现实性进行判断。就易处理性而言，是指模型应当具有如下特点：1）从数学解析上易于处理；2）可以很容易地对真实数据进行拟合；3）可以很容易地被应用到利率或有要求权定价中。就现实性而言，是指模型应当具有如下特点：4）能够显示出市场真实行为的紧密性；5）在理论层面上具有解释能力。其中，第3）小点由于主要与对利率期权或者期货定价相关，而这个话题并没

50、有在本文中作过多涉及。因而，在对利率衍生产品定价层面上对两类方法进行比较评价已经超出了本文的研究目的。4.1 模型的理论评价为了对利率期限结构理论的两种方法进行评价，首先必须要明确的问题是：从那些方面对这两种方法进行评价。对于套利定价理论，利率期限结构可以由通过求解偏微分方程得到债券价值函数给出；而对于广义均衡理论，利率期限结构则可以由通过求解偏微分方程得到的零息票债券价格给出。和均被视为到期期限的函数，由此可得到整个利率期限结构。实际上，价值函数也代表折现债券的价格，但为了在进行公式推导时突出它们之间的理论差异和使对二者的比较更清楚明白，本文特意对这两种方法使用了不同的符号。回想一下对上面提

51、到的两种函数的数学推导，就可以清楚地看到它们都是依赖于由瞬时无风险利率驱动的过程。然而，准确地讲，无套利定价方法和广义均衡定价方法的第一个主要区别正是源于这个出发点：在套利定价方法中，由瞬时无风险利率驱动的过程直接被假定；而在广义均衡定价方法中，则是在对技术工艺水平（也就是潜在的真实经济状态变量）进行假定的基础上推导而得。而这一点在Longstaff和Schwartz（1992）中则被混淆，因为他们通常认为Cox，Ingersoll和Ross也假定了利率的变动过程，而实际上Cox，Ingersoll和Ross是将它作为均衡利率动力学过程来进行推导的。因此，利率的偏微分方程在套利定价理论中是外生

52、的，而在广义均衡理论中则是内生的。出现这种情形的原因是所使用的均衡概念的不同：与广义均衡理论相比较，在套利定价理论中无套利条件的存在是与局部均衡概念相对应的。因而，对均衡特性的描述也就构成了套利定价方法和广义均衡方法的第二种主要差别的基础。式（8）和式（23）中的偏微分方程以系数的形式分别给出了利率风险溢价和。然而，在套利定价理论中，为使模型的偏微分方程存在封闭型解析解，利率风险溢价必须外生设定，而对的不同设定也就是在利率期限结构形状方面得到不同结论的原因。不过，对利率风险溢价那样的一种外生设定是不可取的，因为是与不存在套利机会的假定不相一致的。换句话说，如果对利率风险溢价作了一个不合适的设定

53、，那么就有可能使得由无套利条件所消除的套利机会重新再生。因此，对利率风险溢价的设定必须谨慎，但套利定价理论并没有在如何选择利率风险溢价方面提供一个一般的判断标准。另外，由于是利率风险的市场价格，很自然地会依赖于代理商的偏好结构。因而，套利定价理论在期权定价上所具有的一个良好性质，也就是与偏好结构无关的定价机制，在套利定价理论被应用于利率期限结构理论时却丧失了。相反，广义均衡理论根据潜在真实经济的特征（产出预期收益率、产出方差、产出与技术工艺水平之间的协方差）内生地识别出风险溢价的形式。应当说明地是，为获得这种合适的结果是要付出一定的代价的，这种代价就是必须对CIR模型和其他广义均衡模型中的偏好

54、结构与状态变量的动态变化过程做出很强的假定。此外，最近出现的广义均衡模型还考虑到了利率期限结构的许多不同形状，而这些与观测到的市场利率行为是非常贴近的。就解析易处理性层面而言，广义均衡模型肯定会更难于处理，但却能给出零息票债券价格的解析解。就现实性而言，广义均衡模型比套利定价模型具有更强的解释能力，因为前者是根据对潜在真实经济的假定来描述利率期限结构的。值得进一步研究的是，对技术工艺水平、产出和偏好的不同假定是如何影响利率期限结构的结果的。最后一点要说明的是，本文将最新的套利定价模型和广义均衡模型进行了比较。从中也可以发现，如果一种利率期限结构理论能够解释观测到的当前利率期限结构的形状，那么这

55、种理论在有关变量的处理上必须是内生的。在这方面，Ho-Lee模型不能解释当前的利率期限结构，而只能在利率期限结构的演变过程方面给出很好的理论说明。不过，Ho-Lee模型所提供的利率期限结构演变过程却利用了利率期限结构中所包含的信息，也能够与初始的利率曲线相一致。4.2 模型的实证评价在本节中本文将对在前面给出的两类模型的实证性能进行比较评价。4.2.1 各种模型的比较在利率期限结构研究方面，不仅进行理论研究的文献数量增加迅速，就是在对各种不同模型的实证应用方面，也出现了众多的研究文章。然而，据了解，还很少有学者对各种不同模型的性能进行比较研究，尤其是对于本文在上一小节讨论过的广义均衡模型相对于

56、套利定价模型的理论优势在实证应用方面是否还存在。Chang, Karolyi, Longstaff和Sanders（CKLS）（1992）给出了对各种不同模型进行嵌套比较研究的一个很有用的框架。本文通过概述Chang, Karolyi, Longstaff和Sanders（CKLS）（1992）的一些主要研究结果来开展对各种不同模型的比较研究。本文主要侧重于对在CKLS一文中进行比较的八个模型中的四个进行对比研究，如表1所示。其中，这四个模型中的两个：Vasicek（1977）和Dothan（1978），属于套利定价理论的范畴；而另外两个：Merton（1973）和CIR（1985）则属于广义

57、均衡理论的范畴。表1 短期利率动力学过程的模型描述及其含义无约束过程模型1）Merton（1973）（GET）布朗运动+漂移项模型2）Vasicek（1977）(APT)奥伦斯坦-乌伦贝克过程模型3）CIR（1985）（GET）平方根过程模型4）Dothan（1978）(APT)几何布朗运动注：模型1）和模型2）为无风险利率变化的不变条件波动；模型3）为无风险利率变化的条件波动与利率成比例；模型4）表示无风险利率变化的条件波动与利率的平方成比例。表1中的四个模型，最常被应用的模型是Vasicek（1977）和CIR（1985）两个模型。然而，由CKLS得到的结果却表明与其他不太众所周知的模型（如Dothan（1978）相比，这两个模型的实证性能更差一些。本文首先对CKL