人教版九年级数学上册第二十三章 旋转 压轴题专题练习

1、人教版九年级数学上册第二十三章 旋转 压轴题专题练习1如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中ONM30°，OCD45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则CEN°（2）操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在MON的内部，如图3，且OD恰好平分MON，CD与NM相交于点E，求CEN的度数；（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转°时，边CD恰好与边MN平行（直接写出结果）2问题：如图，在等边三

2、角形ABC内有一点P，且PA2，PB，PC1，求BPC的度数和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图），连接PP，可得PPB是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得APB°，所以BPCAPB°，还可证得ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为，问题得到解决（1）根据李明同学的思路填空：APB°，BPCAPB°，等边三角形ABC的边长为（2）探究并解决下列问题：如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB，PC1求BPC的度数和正方形ABCD的边长3

3、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m0，四边形ABCD是菱形（1）如图，当四边形ADCD为正方形时，求m，n的值（2）探究：当m为何值时，菱形ABCD的对角线AC的长度最短，并求出AC的最小值4问题的提出：如果点P是锐角ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？问题的转化：把APC绕点A逆时针旋转60度得到APC，连接PP，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP+PC的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PCBP+PP+PC问题的解决：当点P到锐角AB

4、C的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置问题的延伸：如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值5在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上（1）小明发现DGBE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长6如图，已知BADBCE，BADBCE90

5、°，ABDBEC30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为；（2）将图1中BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；（3）将图1中BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由7将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知BACB1A1C30°，AB2BC（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，

6、AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F填空：当旋转角等于20°时，BCB1度；当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由（2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使ABCB1，AB与A1C交于点D，试说明A1DCD8在ABC中，ACB90°，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DEAD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DEADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直

7、接写出这个等量关系9如图，在三角形ABC中，ABAC，点D在ABC内，且ADB90°（1）如图1，若BAD30°，AD3，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；（2）如图2，若ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：DAHDBH10如图，ABC中，ABAC，BAC36°，将ABC绕点A按逆时针旋转角度（0°180°）得到ADE，连接CE，BD，BD与AC交于点F（1）求证：BDCE；（2）当等于多少度时，四边形AFDE是平行四边形？并说明理由11如图，在等边BCD中，D

8、FBC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC（1）当点A在线段DF的延长线上时，求证：DACE；判断DEC和EDC的数量关系，并说明理由；（2）当DEC45°时，连接AC，求BAC的度数12已知如图，ADC和BDE均为等腰三角形，CADDBE，ACAD，BDBE，连接CE，点G为CE的中点，过点E作AC的平行线与线段AG延长线交于点F（1）当A，D，B三点在同一直线上时（如图1），求证：G为AF的中点；（2）将图1中BDE绕点D旋转到图2位置时，点A，D，G，F在同一直线上，点H在线段AF的延长线上，且EFEH，连接AB，

9、BH，试判断ABH的形状，并说明理由13如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，E点正好落在边CD上，连接BE，BG，且BG交AE于P（1）求证：CBEBAE；（2）求证：BG2PB；（3）若AB，BC3，直接写出BG的长14.如图，ABC中，ACBC，A30°，点D在AB边上且ADC45°（1）求BCD的度数；（2）将图中的BCD绕点B顺时针旋转得到BCD当点D恰好落在BC边上时，如图所示，连接CC并延长交AB于点E求CCB的度数；求证：CBD'CAE15如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（ABAE）在一条直线上，正方形AE

10、FG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BEDG；（2）如图3，如果45°，AB2，AE4，求点G到BE的距离16如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上（1）求证：BFNF；（2）已知AB2，AE1，求EG的长；（3）已知MEF30°，求的值参考答案1如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中ONM30°，OC

11、D45°（1）观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则CEN105°（2）操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在MON的内部，如图3，且OD恰好平分MON，CD与NM相交于点E，求CEN的度数；（3）深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转75或255°时，边CD恰好与边MN平行（直接写出结果）【解答】解：（1）ECN45°，ENC30°，CEN105°故答案为：105°（2）OD平分MO

12、N，DONMPN×90°45°，DOND45°，CDAB，CEN180°MNO180°30°150°；（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，CDMN，OFDM60°，在ODF中，MOD180°DOFD，180°45°60°，75°，当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，CDMN，DFOM60°，在DOF中，DOF180°DDFO180°45°60°75°，旋转角为75&#

13、176;+180°255°，综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行故答案为：75或2552问题：如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA2，PB，PC1，求BPC的度数和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图），连接PP，可得PPB是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得APB150°，所以BPCAPB150°，还可证得ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为，问题得到解决（1）根据李明同学的思路填空：

14、APB150°，BPCAPB150°，等边三角形ABC的边长为（2）探究并解决下列问题：如图，在正方形ABCD内有一点P，且PA，PB，PC1求BPC的度数和正方形ABCD的边长【解答】解：（1）根据旋转可知：APB150°，BPCAPB150°，等边三角形ABC的边长为故答案为150°、150°、（2）解：将BPC绕点B逆时针旋转90°，得BPA，则BPCBPAAPPC1，BPPB连接PP，如图在RtBPP中，PBBP，PBP90°，PP2，BPP45°在APP中，AP1，PP2，PA，12+22（）2

15、，即AP2+PP2PA2，APP是直角三角形，即APP90°APB135°，BPCAPB135°过点B作BEAP，交AP的延长线于点E，则BEP是等腰直角三角形，EPB45°又BP，EPBE1，AE2在RtABE中，BE1，AE2，由勾股定理，得AB综上可得，BPC135°，正方形ABCD的边长为答：BPC的度数为135°，正方形ABCD的边长为3在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B和点D的坐标分别为（m，0），（n，4），且m0，四边形ABCD是菱形（1）如图，当四边形ADCD为正方形时，求m，n的值（2）探究：当m为何

16、值时，菱形ABCD的对角线AC的长度最短，并求出AC的最小值【解答】解：（1）如图1中，作DFy轴于F四边形ABCD是正方形，ADAB，DABDFAAOB90°，DAF+OAB90°，OAB+ABO90°，DAFABO，DFAAOB（AAS），DFAB，AFOB，A（0，3），D（n，4），OA3，OF4，AF1，DF3，OB1，m1，n3（2）如图2中，作DFy轴于F，CEx轴于E四边形ABCD是菱形，ADBC，ADBC，DFBE，ADFCBE，AFDCEB90°，DFABEC（AAS），ECAF1，点C的运动轨迹是直线y1，由题意m0，观察图形可知当

17、点B与原点重合时，AC的值最小，此时菱形的边长3，作CHOA于H则CH2，AC2，AC的最小值为24问题的提出：如果点P是锐角ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？问题的转化：把APC绕点A逆时针旋转60度得到APC，连接PP，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP+PC的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PCBP+PP+PC问题的解决：当点P到锐角ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置APBAPC120°问题的延伸：如图2是有一个锐角为

18、30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值【解答】解：问题的转化：如图1，由旋转得：PAP'60°，PAP'A，APP'是等边三角形，PP'PA，PCP'C，PA+PB+PCBP+PP+PC问题的解决：满足：APBAPC120°时，PA+PB+PC的值为最小；理由是：如图2，把APC绕点A逆时针旋转60度得到APC，连接PP，由“问题的转化”可知：当B、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，APB120°

19、;，APP'60°，APB+APP'180°，B、P、P'在同一直线上，由旋转得：AP'C'APC120°，AP'P60°，AP'C'+AP'P180°，P、P'、C'在同一直线上，B、P、P'、C'在同一直线上，此时PA+PB+PC的值为最小，故答案为：APBAPC120°；问题的延伸：如图3，RtACB中，AB2，ABC30°，AC1，BC，把BPC绕点B逆时针旋转60度得到BPC，连接PP，当A、P、P'、C

20、'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，由旋转得：BPBP'，PBP'60°，PCP'C'，BCBC'，BPP是等边三角形，PP'PB，ABCAPB+CBPAPB+C'BP'30°，ABC'90°，由勾股定理得：AC'，PA+PB+PCPA+PP'+P'C'AC'，则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为5在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线

21、上，AB与AG在同一直线上（1）小明发现DGBE，请你帮他说明理由；（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长【解答】解：（1）如图1，延长EB交DG于点H，ABCD和AEFG为正方形，在RtADG和RtABE中，RtADGRtABE，AGDAEB，HBGEBA，HGB+HBG90°，DGBE； （2）如图2，过点A作APBD交BD于点P，ABCD和AEFG为正方形，在DAG和BAE中，DAGBAE（SAS），DGBE，APD90°，APDP，AG2，PG，DGDP+PG+，DGBE，BE+6如图，已知BADBC

22、E，BADBCE90°，ABDBEC30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与CN数量关系为ACCN；（2）将图1中BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由；（3）将图1中BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；若不能，说明理由【解答】解：（1）AC与CN数量关系为：ACCN理由如下：BADBCE，BCAD，ECABENAD，MENMDA在MEN与MDA中，MENMDA（ASA），ENAD

23、，ENBC在ABC与CEN中，ABCCEN（SAS），ACCN（2）结论仍然成立理由如下：与（1）同理，可证明MENMDA，ENBC设旋转角为，则ABC120°+，DBE360°DBAABCCBE360°30°（120°+）60°150°BDBE，BEDBDE（180°DBE）15°+ENAD，MENMDAADB+BDE60°+（15°+）75°+CENCEB+BED+MEN30°+（15°+）+（75°+）120°+，ABCCEN在A

24、BC与CEN中，ABCCEN（SAS），ACCN（3）CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转角为60°如下图所示：此时旋转角为60°或240°，点A、B、C在一条直线上，点N、E、C在一条直线上7将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知BACB1A1C30°，AB2BC（1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F填空：当旋转角等于20°时，BCB1160度；当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由（2）将图2中的

25、三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使ABCB1，AB与A1C交于点D，试说明A1DCD【解答】解：（1）由旋转的性质得，ACA120°，BCDACBACA190°20°70°，BCB1BCD+A1CB1，70°+90°，160°；ABA1B1，A1DE90°B1A1C90°30°60°，ACA1A1DEBAC60°30°30°，旋转角为30°；（2）ABCB1，ADC180°A1CB1180°90°90&

26、#176;，BAC30°，CDAC，又由旋转的性质得，A1CAC，A1DCD8在ABC中，ACB90°，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DEAD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DEADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系【解答】解：（1）ABC中，ACB90°，ACD+BCE90°，又直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，ADCCEB90°ACD+DA

27、C90°，BCEDAC，在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS），CDBE，CEAD，DECD+CEAD+BE；（2）ABC中，ACB90°，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，ADCCEB90°，ACD+BCEBCE+CBE90°，而ACBC，ADCCEB，CDBE，CEAD，DECECDADBE；（3）如图3，ABC中，ACB90°，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E，ADCCEB90°，ACD+BCEBCE+CBE90°，ACDCBE，ACBC，ADCCEB，CDBE，CEAD，DECDCEB

28、EAD；DE、AD、BE之间的关系为DEBEAD9如图，在三角形ABC中，ABAC，点D在ABC内，且ADB90°（1）如图1，若BAD30°，AD3，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接EF，求线段EF的长；（2）如图2，若ABD绕顶点A逆时针旋转一定角度后能与ACG重合，连接GD并延长交BC于点H，连接AH，求证：DAHDBH【解答】（1）解：如图1，在RtABD中，BAD30°，AB2BD，设BDx，则AB2x，由勾股定理得：，x3或3（舍），AB2x6，ACAB6，点E、F分别为AB、BC边的中点，EFAC3；（2）证明：如图2，由旋转得：ADBAGC，

29、AGAD，AGCADB90°，CGBD，AGDADG，ADB90°，ADG+BDH90°，AGD+MGC90°，MGCBDH，在GH上取一点M，使GMDH，CGMBDH，CMBH，GCMDBH，CMHMGC+MCG，CHMBDH+DBH，CMHCHM，CMCHBH，ACAB，AHBC，即AHB90°ADB，AODBOH，DAHDBH10如图，ABC中，ABAC，BAC36°，将ABC绕点A按逆时针旋转角度（0°180°）得到ADE，连接CE，BD，BD与AC交于点F（1）求证：BDCE；（2）当等于多少度时，四边形

30、AFDE是平行四边形？并说明理由【解答】（1）证明：ADE是由ABC旋转得到的，ABAD，ACAE，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE，BDCE；（2）当BAD108°时，四边形AFDE是平行四边形，理由如下：BAD108°，ABAD，DAEADB，AEFD，又CADBADBAC72°，CADADE，AFED，11如图，在等边BCD中，DFBC于点F，点A为直线DF上一动点，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC（1）当点A在线段DF的延长线上时，求证：DACE；判断DEC和EDC的数量关系，并说明理由；（2）当DEC45

31、°时，连接AC，求BAC的度数【解答】（1）证明：把BA顺时针方向旋转60°至BE，BABE，ABE60°，在等边BCD中，DBBC，DBC60°，DBADBC+FBA60°+FBA，CBE60°+FBA，DBACBE，BADBEC，DACE；DEC+EDC90°，DBDC，DABC，BADBEC，BCEBDA30°，在等边BCD中，BCD60°，DCEBCE+BCD90°，DEC+EDC90°；（2）分三种情况考虑：当点A在线段DF的延长线上时，由（1）可得，DCE为直角三角形，DC

32、E90°，当DEC45°时，EDC90°DEC45°，EDCDEC，CDCE，由（1）得DACE，CDDA，在等边DBC中，BDCD，BDDACD，BDC60°，DABC，在BDA中，DBDA，在DAC中，DADC，BACBAD+DAC75°+75°150°；当点A在线段DF上时，以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，BABE，ABE60°，在等边BDC中，BDBC，DBC60°，DBCABE，DBCABCABEABC，即DBAEBC，DBACBE，DACE，在RtDFC中

33、，DFC90°，DFDC，DADF，DACE，CEDC，由可知DCE为直角三角形，DEC45°当点A在线段FD的延长线上时，同第种情况可得DBACBE，DACE，ADBECB，在等边BDC中，BDCBCD60°，DABC，ADB180°BDF150°，ECBADB150°，DCEECBBCD90°，当DEC45°时，EDC90°DEC45°，EDCDEC，CDCE，ADCDBD，ADBADC150°，BACBAD+CAD30°，综上所述，BAC的度数为150°或30

34、°12已知如图，ADC和BDE均为等腰三角形，CADDBE，ACAD，BDBE，连接CE，点G为CE的中点，过点E作AC的平行线与线段AG延长线交于点F（1）当A，D，B三点在同一直线上时（如图1），求证：G为AF的中点；（2）将图1中BDE绕点D旋转到图2位置时，点A，D，G，F在同一直线上，点H在线段AF的延长线上，且EFEH，连接AB，BH，试判断ABH的形状，并说明理由【解答】解：（1）ACEF，ACGFEG，点G为CE的中点，CGEG，又AGCFGE，ACGFEG，AGFG，G为AF的中点；（2）ABH为等腰三角形理由：同（1）可证ACGFEG，ACFE，又ACAD，FEH

35、E，ADHE，ACEF，GFECADDBE，EFEH，EFHEHF，EFH+GFE180°，FHE+DBE180°，四边形BDHE中，BEH+BDF180°，又BDA+BDF180°，BEHBDA，又BDBE，由，可得ADBHEB，ABHB，即ABH是等腰三角形13如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，E点正好落在边CD上，连接BE，BG，且BG交AE于P（1）求证：CBEBAE；（2）求证：BG2PB；（3）若AB，BC3，直接写出BG的长【解答】解：（1）矩形ABCD中，CBA90°，CBE+ABE90°，

36、即2CBE+2ABE180°，由旋转可得，ABAE，ABEAEB，BAE+2ABE180°，由可得，BAE2CBE，CBEBAE；（2）如图，过B作BHAE于H，则CBHE90°，由（1）可得，ABEAEB，ABCE，ABECEB，BECBEH，即BE平分CEH，BHBC，由旋转可得，AGADBC，GAPBAD90°，AGHB，GAPBHP，又APGHPB，APGHPB，GPBPBG，即BG2PB；（3）AB，BC3BH，RtABH中，AH4，APGHPB，PHAPAH2，RtBHP中，BP，BG2BP214 如图，ABC中，ACBC，A30°，点D在AB边上且ADC45°（1）求BCD的度数；（2）将图中的BCD绕点B顺时针旋转得到B