第八部分小波变换

1、1. 序列展开序列展开ak是实数，称为展开系数，uk(x)是实数，称为展开函数(1) 展开函数构成空间U的正交归一化基，uk(x) = uk(x) (2) 展开函数仅构成空间U的正交基，但没有归一化 一、小波变换基础一、小波变换基础 )()(xuaxfkkkdxxfxuxfxuakkk)()()(),(*kjkjxuxujkkj10)(),()(),(xfxuakkkjxuxukj 0)(),(kjkjxuxujkkj10)(),(第第8部分部分 小波变换小波变换2. 缩放函数缩放函数 用展开函数作为缩放函数，并对缩放函数进行平移和2进制缩放k 确定了uj,k(x)沿X-轴的位置，j 确定了u

2、j,k(x)沿X-轴的宽度（所以u(x)也称为尺度函数），系数2 j/2 控制uj,k(x)的幅度给定一个初始 j（下面常取为0），就可确定一个缩放函数空间Uj，Uj的尺寸是随 j 的增减而增减的)2(2)(2/,kxuxujjkj各个缩放函数空间Uj，j = , , 0, 1, , 是重合嵌套的，即Uj Uj+1 Uj中的展开函数可以表示成Uj+1中展开函数的加权和用hu(k)表示缩放函数系数u(x) = u0,0(x) 多尺度细化方程多尺度细化方程 kukxukhxu)2(2)()(3. 小波函数小波函数 用v(x)表示小波函数与小波函数vj,k(x)对应的空间用Vj表示空间Uj，Uj+1

3、和Vj有如下关系在Uj+1中，Uj的补是Vj )2(2)(2/,kxvxvjjkj)()(,xvaxfkjkkjjjVUU1V0V1U1=U0V0U0U2V0V1V1=U1=U0 Uj中的所有uj,k(x)与Vj中的所有vj,k(x)是正交的 与缩放函数空间类似，各个小波函数空间Vj，j = , , 0, 1, , 也是重合嵌套的，Vj Vj+1 0)(),(,xvxukjkjkvkxukhxv)2(2)()(V0V1U1=U0V0U0U2V0V1V1=U1=U0)1 () 1()(khkhukv4. 缩放函数和小波函数示例缩放函数和小波函数示例 哈尔变换的基本函数是最简单的正交归一化小波单位

4、高度和单位宽度的缩放函数 其它0101)(xxu010231x)()(0 , 0 xuxu010231x) 1()(1 , 0 xuxu010231x)2(2)(0 , 1xuxu010231x) 12(2)(1 , 1xuxu随着 j 的增加，缩放函数变窄变高左图：仅用 j = 0的缩放函数不够，还需要 j = 1的缩放函数右图： 分解u0,0(x) 010231x1 )(Uxf1 , 1u0, 15 . 0 u4 , 125. 0u)(25. 0)()(5 . 0)(4, 11 , 10 , 1xuxuxuxf)(21)(21)(12 , 12 , 1, 0 xuxuxukkk010231

5、x10 , 0 )(Uxu2/0 , 1u2/1 , 1u缩放函数系数hu(k)和小波函数系数hv(k)具有如下联系：哈尔缩放矢量hu(0) = hu(1) = 21/2，它们组成哈尔矩阵H2的第一行 由哈尔缩放矢量可得到对应的小波矢量，即hv(0) = 21/2，hv(1) = 21/2（哈尔矩阵H2的第二行）)1 () 1()(khkhukv1111212H哈尔小波函数例：V0中的v0,2(x)和V1中的v1,0(x) 其它015 . 015 . 001)(xxxv01034-1x12)()(0, 0 xvxv01034-1x12)2()(2 , 0 xvxv01034-1x12)2(2)

6、(0 , 1xvxvf (x)属于U1，但可结合使用U0和V0中的展开函数来表达fa(x)是用U0中的展开函数来对 f (x)的一个逼近fd (x)是 f (x)和 fa(x)的差 )()()(xfxfxfda)(82)(423)(2, 00 , 0 xuxuxfa)(82)(42)(2, 00 , 0 xvxvxfd01034-1x12001 )(UUxfV01034-1x120 )(Uxfa0 , 04/23u2 , 08/2u01034-1x120 , 04/2v2 , 08/2v0 )(Vxfd1. 小波序列展开小波序列展开对给定的函数 f (x)，可以用u(x)和v(x)对它进行展开

7、a0(k)：缩放系数bj(k)：小波系数 二、二、1-D小波变换小波变换 0, 00)()( )()()(jkkjjkkxvkbxukaxfdxxuxfxuxfkakk)()()(),()(, 0, 00dxxvxfxvxfkbkjkjj)()()(),()(,2. 离散小波变换离散小波变换如果 f (x)是一个离散序列，展开得到的系数称为 f (x)的离散小波变换（DWT）近似系数细节系数 xjxkjvkuxvkjWMxukWMxf0, 0)(),(1)(), 0(1)(xkuxuxfMkW)()(1), 0(, 0 xkjvxvxfMkjW)()(1),(,需要1个2-D缩放函数u(x, y)和3个2-D小波函数vH(x, y)，vV(x, y)，vD(x, y)，每一个都是1-D缩放函数u和对应的小波函数v的乘积可分离的缩放函数水平边缘垂直边缘沿对角线的变化 三、三、2-D小波