第十二章 矩阵位移法 - 四川理工学院

1、第十二章第十二章 矩矩 阵阵 位位 移移 法法学习内容 有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。学习目的和要求矩阵位移法矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现

2、形式，以计算机为为运算工具的综合分析方法。机为为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目的是式计算过程程序化，便于计算机自动化处理尽管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。本章的基本要求本章的基本要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计算方法。在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载

3、的集成过程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。自由式单元的单元刚度矩阵要求背记，但要领会其物理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。12.1 概概 述述 矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，一种三位一体的方法。采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计算机进行自动化计算的要求。1、矩阵位移法的基本思路先将结构离散成有限个单元，按照单元的力学性质，建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵；然后在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体，即由单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵，建立

4、结构的位移法基本方程，进而求出结构的位移和内力。这样，在一撤一搭的过程中就使一个复杂结构的计算问题转化为有限个简单单元的分析与集成问题。因此，矩阵位移法基本环节是：结构的离散化、单元分析和整体分析。2、单元划分在杆件结构矩阵分析中，一般是把杆件的转转折点、汇交点、边界点、突变点或集中荷载作用点等列为结点，结点之间的杆件部分作为单元。如图1（a）所示。为了减少基本未知量的数目，跨间集中荷载作用点可不作为结点，但要计算跨间荷载的等效结点荷载；跨间结点也可不作为结点（如图1（b）所示），但要推到相应的单元刚度矩阵，编程序麻烦。12.2单元分析一单元分析一 局部坐标系下的单元分析 单元分析的目的是建立

5、单元刚度方程，形成单元刚度矩阵。1、坐标系的选择:在矩阵位移法中采用两种坐标系：局部坐标系和整体坐标系。采用局部坐标系（以杆的轴线作为轴如图2），可直接由虎克定律、转角位移方程得到2、局部坐标系中的单元刚度矩阵在局部坐标系中，杆端力及杆端位移的正方向如图2所示。单元刚度方程可表示为：其中单元的杆端力列阵和杆端位移列阵为：单元刚度方程单元刚度方程1q1u1v2v2q2u1X1Y1M2X2Y2M)(,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=)(),(212211uulEAXuulEAX-=-=由虎克定律：由转角位移方程，并考虑：2QYBA=1,QYAB-=12,vv -=D()212212

6、212)(6vvlEIlEIY-+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-+=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-+=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-+=qq写成矩阵表达式为：222111MYXMYXe222111qqvuvue-lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323= kee单元刚度方程单元刚度矩阵212221121121DD=kkkkFFD= kF3、单元刚度矩阵

7、的特性单元刚度系数的意义单刚中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移引起的杆端力。如第i行第j列元素代表当第j个杆端位移分量=1（其它位移分量为零）时引起的第i个杆端力分量的值。单刚中第j列元素代表当第j个杆端位移分量=1（其它位移分量为零）时引起的六个杆端力分量的值。由图10-4可见，产生的单元变形及单元的杆端力与产生的单元变形及单元的杆端力相同。由此得到：单元刚度矩阵的第二列元素变符号即第五列元素，第一列元素变符号即第四列元素。第三列元素不变符号即第六列元素，但要注意,。由于单元刚度矩阵是对称矩阵，所以，各行元素之间也具有类似的关系。由反力互等定理可知，单元刚度矩阵是对称矩阵。一

8、般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆阵。因此上，由单元刚度方程，如已知杆端位移可求出杆端力，且是唯一解。但如已知杆端力，则求不出杆端位移，杆端位移可能无解，可能无唯一解。可按杆端将单元刚度方程写成分块形式：一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。不存在逆矩阵。与单元刚度方程相应的正、反两类问题如表。4、特殊单元的单元刚度矩阵一般单元的六个杆端位移分量可以指定为任意值。特殊单元的某个或某些杆端位移已知为零。特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的刚度矩阵中划去与零位移对应的行和列得到。忽略轴向变形时梁单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。连续梁单元的单元刚度矩阵。桁架单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。1

9、2.3单元分析二单元分析二 整体坐标系下的单元分析选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。但是，在一个复杂的结构中，各单元的局部坐标系不尽相同，很不统一。为了进行整体分析，必须选一个统一的坐标系（称为整体坐标系)。按这个统一的坐标系来建立各单元的刚度矩阵。单元坐标转换矩阵单元坐标转换矩阵1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxyxyx11111111cossinsincosMMYXYYXX=+-=+=22222222cossinsincosMMYXYYXX=+-=+=局部坐标系中的杆端力整体坐标系中的杆端力写成矩阵表达式：=222111MYXMYX222111

10、MYXMYX-1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos单元坐标转换矩阵T是一正交矩阵。TTT1=-同理：（a）（b）FTF=FTFT=D=DTD=DTT =T2、整体坐标系中的单元刚度矩阵3、整体坐标系中的单元刚度矩阵的特性整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的单元刚度矩阵有类似的特性。另外还有，局部坐标系中的单元刚度矩阵，只与单元的几何形状、物理常数有关，而与单元的位置和方位无关。整体坐标系中的单元刚度矩阵，与单元的几何形状、物理常数及单元的方位有关。例题1建立单元刚度矩阵例13-1求图示刚架中各单元在整体标系中的单元刚度矩

11、阵。设各杆的几何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2, I=1/24m4E=3107kN/m2441025,10300=lEIlEA21解(1)求k1k2=-lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104,101004,10306,10121244243=lEIlEIlEI（2）求 ke kkI

12、T=,11单元=9021单元=0 -=100000001000010000000100000001000010Tk2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-100030030003012104-=100001010100300301200030010000101011111111TkTkT返回12.4连续梁整体分析连续梁整体分析 整体分析的目的是建立整体刚度方程，导出整体刚度矩阵。具体作法有两种：一种是传统位移法，另一种是单元集成法（即刚度集成法或直接刚度法）。下面以连续梁为例，用传统位移法建立整体刚度方程，进而总结出单元集成法。整体

13、刚度方程是整体结构的结点力与结点位移之间的关系式，是通过考虑结构的变形连续条件和平衡条件建立起来的。无论何种结构，其整体刚度方程都具有统一的形式：K是整体刚度矩阵，结构的结点位移列向量，F结构的结点力列向量。2、整体刚度矩阵的性质K中的元素Kij称为整体刚度系数，它表示当第j个结点位移分量j=1（其他结点位移分量为零）时所产生的第i个结点力Fi。K是对称矩阵，是稀疏带状矩阵。引入支承条件之前是奇异矩阵，引入支承条件之后是非奇异矩阵，存在逆阵。3、整体刚度矩阵的集成由变形连续条件知，结点发生单位位移，交与该结点的各单元的杆端也发生单位位移；由刚度系数的物理意义知，单位杆端位移产生的杆端力是单元刚

14、度矩阵中的元素，单位结点位移产生的结点力是整体刚度矩阵中的元素；由平衡条件知交与某结点的各单元杆端力之和等于该结点的相应结点力。故整体刚度矩阵中的元素是由对应的单元刚度矩阵中的元素叠加而成。综上所述，直接刚度法是根据单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度矩阵集成结构整体刚度矩阵。4、单元定位向量集成整体刚度矩阵的关键，是定单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的位置。这首先要知道单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，即单元定位向量。它是单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量记为。图9所示连续梁各单元的这种对应关系及各单元定位向量如下表。其次，要注意在单元刚度矩阵

15、中，元素按局部码排列，在整体刚度矩阵中，元素按总码排列。所以单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的定位原则是：将各单元的单刚的行列局部码（i）、（j）换成对应的结点位移总码i、j，按此行列总码将单刚元素送入总刚。即直接刚度法的实施过程如下：将K置零。将单元定位向量写在单元刚度矩阵的上方和右侧，确定出单元刚度矩阵中的各元素在整体刚度矩阵K中的位置并累加到K。对所有单元循环一边，最后得到整体刚度矩阵K。例题2建立连续梁刚度矩阵例13-1试求图示连续梁的整体刚度矩阵K。i1i2i31230123解：1）编码凡给定为零的结点位移分量,其总码均编为零。=112=2232）单元定位向量=3303）求单刚并

16、集成总刚k=14i12i12i14i1(1)(2)12 =K4i12i12i14i1k=24i22i22i24i2(1)(2)23+4i22i22i24i2k=34i32i32i34i3(1)(2)30+4i312312300在给节点位移编码时已经考虑了支承条件。(先处理法)返回12.5 刚架整体分析刚架整体分析 1、刚架整体分析的特点 刚架的整体分析与连续梁相比，基本思路相同，但情况复杂一些，主要表现在：1）刚架中每个结点位移分量增加到三个：角位移和两个方向的线位移。(一般情况下要考虑刚架各杆的轴向变形）；2）各杆方向不尽相同，在整体分析中采用整体坐标系，故要进行坐标变换；3）刚架中除了刚结

17、点，还要考虑铰结点等其它情况。2、单元定位向量1）结点位移分量的统一编码总码平面刚架中的一个结点可能有一个、两个或三个结点位移，在进行结点位移分量编码时，应考虑每个结点的位移情况，对结构的所有结点位移分量进行统一编码。对每个结点的三个位移分量，按照先x轴方向，再y轴方向后转动放顺序依次编码，编完一个结点再编下一个结点。对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为0。如图10(a)结构的结点位移分量的统一编码如图中所示。2）单元定位向量图10(a)所示各杆轴上的箭头表示各单元局部坐标系的轴的正方向，单元在始末两端的六个位移分量的局部码(1)、(2)、(6)也是按着先x轴方向，再y轴方向后转动放顺序依

18、次编码的，如图10(b)所示。单元定位向梁仍然是由单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量。各单元结点位移分量局部马和总码之间的对应关系及单元定位向量如下表。单元单元局部码总码单元定位向量局部码总码单元定位向量(1)1(2)2(3)3(4)0(5)0(6)4(1)1(2)2(3)3(4)0(5)0(6)03、单元集成过程：与连续梁整体刚度矩阵集成过程相同。将K置零。将单元定位向量写在单元刚度矩阵的上方和右侧，确定出单元刚度矩阵中的各元素在整体刚度矩阵K中的位置并累加到K。对所有单元循环一边，最后得到整体刚度矩阵K。例题3建立刚架刚度矩阵1、结点位移分量的统一编码总码yx000123040结点

19、位移列阵:=1234T=uAvAACT结点力列阵:F=F1F2F3F4T2、单元定位向量211(1)(2)(3)(4)(6)(5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6)=1123004T=2123000TACB集成图示结构的整体刚度矩阵3、单元集成过程503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104k=1123004K=123430000001230100030100500305030104k2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-1000300

20、30003012104123000+12+030+0+300+030+0+100已知单刚返回4、铰结点的处理给结点位移分量进行统一编码时，考虑铰结点的特点。图11所示结构在铰结点处的两杆端结点应看作半独立的两个结点（C1和C2）它们的线位移相同，编成同码，角位移不同，编成异码。例题4带铰结点刚架刚度矩阵1）结点位移分量的统一编码铰结点处的两杆端结点应看作半独立的两个结点（C1和C2），它们的线位移相同，采用同码，角位移不同，采用异码。集成图示刚架的整体刚度矩阵2）单元定位向量：=1123456T=2123000T=3457000T3）按次序进行单元集成：00012321AC1BD0004564

21、75C23503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104k=11234561234567300500-3010030000-30000012300-12300301000-30500-12-30012-30K=104-3000030000123000k2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-100030030003012104+12+030+0+300+030+0+100k3=500300300030012-1000300300030012-5

22、00300300030012-100030030003012104457000+12+030+0+300+030+0+10030?已知单元刚度矩阵返回返回12.6 等效结点荷载等效结点荷载 1、位移法基本方程 1）整体刚度矩阵 前面讨论了结构的整体刚度矩阵，建立了整体刚度方程 F=K（a） 它表示由结点位移推算结点力F的关系式。它只反映了结构的刚度性质，不涉及结构上的实际荷载。并不是用以分析原结构的位移法方程。2）位移法基本方程按位移法计算，就是将原结构分解为如图12所示位移法基本体系的两种状态：状态一只有荷载单独作用（结点位移为零）此时在基本结构中引起的结点约束力，记为FP 。状态二只有结点

23、位移单独作用（荷载为零）此时在基本结构中引起的结点约束力为位移法基本方程是基本体系附加约束中的总反力2、等效结点荷载原荷载可以是非结点荷载，或是结点荷载，或是两者的组合。现将原荷载换成与之等效的结点荷载P 。等效的原则是原荷载与等效结点荷载产生相同的结点位移。或说是原荷载与等效结点荷载在位移法基本体系中产生相同的结点约束力FP 。由此及可得出如下的结论：等效结点荷载为P=-Fp位移法基本方程为K=P(c)如将刚度方程(a)中的结点力F换成等效结点荷载P 及得到位移法基本方程(c)。3、集成等效结点荷载将非结点荷载化为等效结点荷载的具体作法如下：e求实际荷载产生的单元的固端力向量形成局部坐标系中

24、的单元等效结点荷载：形成整体坐标系中的单元等效结点荷载：。依次将各单元的等效结点荷载P 中元素按单元定位向量在整体结构的等效结点荷载P 中进行定位累加，最后得到P 。如果结构还作用着直接结点荷载，将结构等效结点荷载与直接结点荷载相累加，即得结构结点荷载列阵。4、单元最后杆端力：或者：例题5等效结点荷载矩阵按单元集成法求整体结构的等效结点荷载局部坐标系中的单元固端约束力PFe整体坐标系中的单元等效结点荷载 PTFTP-=ee整体结构的等效结点荷载P由各单元P中的元素按在P中进行定位并累加。e等效结点荷载与直接结点荷载叠加，即得结构的结点荷载。4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx例13

25、-3求图示结构的等效结点荷载P.PFe解:1)求单元,.10120111mkNMkNYXPPP-=-=mkNMkNYXPPP.10120222=-=单元,.540111mkNMkNYXPPP=mkNMkNYXPPP.540222-= TPF1012010120-= TPF540540-=2)求 PTFTP-=单元的倾角1=01 2 3 0 0 4单元的倾角2=90123000P=123401210-10+4+05 -=-=-=504504540540100000001000010000000100000001000010PTFTP TPPTFIFTP101010120-=-=-=4125-10

26、 TPF1012010120-= TPF540540-=12.7 计算步骤和算例计算步骤和算例 用矩阵位移法计算平面刚架的步骤如下： 1）整理原始数据，进行局部编码和整体编码。 2）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵。3）形成整体坐标系中的单元刚度矩阵。4）用单元集成法形成整体刚度矩阵K。5）求局部坐标下的单元等效结点荷载和整体坐标系下的单元等效结点荷载。6）用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载。7）解方程K=P，求出结点位移。8）求各杆的杆端力。矩阵位移法解图示梁矩阵位移法解图示梁, ,作作M图图. .m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41.1.离散化离散化12

27、34123(1)(2)(3)(4)2.2.求总刚求总刚 =35 . 15 . 18/641k =84412/2442k =35 . 15 . 133k212121212132322121432143 =35 . 1005 . 1114004115 . 1005 . 13km4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)矩位移法解图示梁矩位移法解图示梁, ,作作M图图. .1.1.离散化离散化2.2.求总刚求总刚 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k =35 . 1005 . 1114004115 . 100

28、5 . 13k3.3.求总荷求总荷 0=DPkN/m424812/2=ql48108/=Pl1kN1010 -=10101qF -=48482qF21322121-=10101EF-=48482EF -=0483810EP -=0483810P矩位移法解图示梁矩位移法解图示梁, ,作作M图图. .m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)1.1.离散化离散化2.2.求总刚求总刚 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k =35 . 1005 . 1114004115 . 1005 . 13k3.3.求总荷

29、求总荷 -=10101qF -=48482qF -=0483810P4.4.边界条件处理边界条件处理-=048381035.1005.1114004115.1005.134321-=0483801000011400411000014321m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)矩位移法解图示梁矩位移法解图示梁, ,作作M图图. .1.1.离散化离散化2.2.求总刚求总刚 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k3.3.求总荷求总荷 -=10101qF -=48482qF4.4.边界条件处理边界条件处理-

30、=04838010000114004110000143215.5.解方程解方程 -=D0476.681.5043216.6.求杆端力求杆端力 -+-=101081. 5035 . 15 . 131F-=43.2729. 1矩位移法解图示梁矩位移法解图示梁, ,作作M图图. .m4kN/m4kN1061=EI242=EI61=EI2m1m8m41234123(1)(2)(3)(4)1.1.离散化离散化2.2.求总刚求总刚 =35 . 15 . 18/6431kk =84412/2442k3.3.求总荷求总荷 -=10101qF -=48482qF4.4.边界条件处理边界条件处理5.5.解方程解方

31、程 -=D0476.681.5043216.6.求杆端力求杆端力 -=43.2729. 11F -=-+-=43.1943.274848476. 681. 584482F =+=71. 943.19000476. 635 . 15 . 133F7.7.作作M图图1.2927.4319.439.71例题6矩阵位移法举例000123000456例：求内力。横梁b1h1=0.5m1.26m,立柱b2h2=0.5m1m.6m12m1kN/m213xy.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-

32、=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁解:1)原始数据及编码.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱-=lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk4602

33、60612061200000260460612061200000222323222323e=8 .2794. 6094. 631. 20003 .83kk139 .1394. 6094. 631. 20003 .83-8 .2794. 609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .83-.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁103-=8 .2747. 3047. 358. 00005 .5

34、29 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .528 .2747. 3047. 358. 00005 .52k21032)形成k3)形成k单元、(=90o)坐标转换矩阵为 -=100000001000010000000100000001000010T-=1000010108 .2794. 6094. 631. 20003 .8310000101011111111TkTkT-=8 .27094. 603 .83094. 6031. 2kk131039 .13094. 603 .83094. 6031. 2-8 .27094. 6

35、9 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2-单元(=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以:kk=224)形成K=00032112=654321=0006543+11k+11k=22211211kkkkK-=6 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.549 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .526 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.54K1035)求等效节点荷载P=3-30330F:P固端力1=-=3033-03PP

36、TFT11单元在整体坐标系中的等效节点荷载000321集 成 等效 节 点荷载=0003-03P6)解基本方程-=DDDDDD-0003036 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.549 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .526 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.54106543213-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2813. 5847654321=00032112=654321=0006543-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2

37、813. 5847654321-=D5 .9613. 58244 .2813. 58477)求杆端力单元T0004 .2813. 5847-=D1=+D= PFTkF-=-+-49. 876. 443. 009. 224. 143. 03303300004 .2813. 58471000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103=+D=

38、PFTkF-=-04. 343. 024. 109. 243. 024. 15 .9613. 58244 .2813. 58478 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .52103=00032112=654321=0006543-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2813. 5847654321=D0005 .9613. 5824=+D= PFTkF-=-38. 424. 143. 004. 324

39、. 143. 00005 .9613. 58241000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103T38. 424. 143. 004. 324. 143. 0-TF04. 343. 024. 109. 243. 024. 1 -=TF49. 876. 443. 009. 224. 143. 0-=8.492.093.044.38M图(k

40、N.m)4.761.240.431.241.24Q图(kN)N=0.43N=1.24N=0.43N图(kN)返回634512（0,0,0）（0,0,0）（1,2,3）（7,8,9）（4,5,6）（10,11,12）计轴变时的结点位移编码计轴变时的结点位移编码634512（0,0,0）（0,0,0）（1,0,2）（4,0,5）（1,0,3）（4,0,6）不计轴变时的结点位移编码不计轴变时的结点位移编码梁单元的单刚梁单元的单刚 -=iliilililililiiliilililililikkee4/62/6/6/12/6/122/64/6/6/12/6/122222xEIAl,e12eF1eF3e

41、F2eF4梁单元的单刚梁单元的单刚 -=iliilililililiiliilililililikkee4/62/6/6/12/6/122/64/6/6/12/6/122222xEIAl,e12eF1eF3eF2eF4柱单元的单刚柱单元的单刚局部单刚与梁相同局部单刚与梁相同.eeF1eF3eF2eF4eF2eF41eF1eF3111i 4i 4i 2i 2li/6li/6li/6li/6 -=iliilililililiiliilililililikkee4/62/6/6/12/6/122/64/6/6/12/6/122222qP不计轴变不计轴变, ,作弯矩图作弯矩图已知已知: :各杆长均为各

42、杆长均为12m,12m,线刚度均为线刚度均为1212mkNqkNP/5,10=1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解解: : -=486246616124648661611k43212100 -=486246616124648661611k =k32132148661qP不计轴变不计轴变, ,作弯矩图作弯矩图已知已知: :各杆长均为各杆长均为12m,12m,线刚度均为线刚度均为1212mkNqkNP/5,10=1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123解解: : -=4862466161246486616122kk43213

43、020 =k3213214866148242448+43213100 -=486246616124648661613kqP1(0,0,0)2(0,0,0) 3(1,0,2)4(1,0,3) 123不计轴变不计轴变, ,作弯矩图作弯矩图已知已知: :各杆长均为各杆长均为12m,12m,线刚度均为线刚度均为1212mkNqkNP/5,10=解解: : -=4862466161246486616122kk4321302043213100 -=486246616124648661613k =k3213219624624966662X XY Y6345121(1,2)2(3,4)3(5,6)4(7,8)

44、5(7,8)6(9,10)7(11,12)8(13,14)9(15,16)10(17,18)7891011121314151617xEAl,e12e1e2eF1eF211=elEA/lEA/12=elEA/lEA/eeelEAlEAF211-=eeelEAlEAF212+-=eelEAlEAlEAlEAFF-=2121/elEA-=211111 eeekF=局部坐标系单元刚度方程局部坐标系单元刚度方程 -=1111lEAke局部单刚局部单刚-整体部坐标系单元刚度方程整体部坐标系单元刚度方程-整体单刚整体单刚exeF1yeF2eF2eF1eF4eF3sincos211eeeFFF+=sincos

45、432eeeFFF+=eeFFFFFF=432121sincos0000sincos eeeFTF= eeeT= eeeTeeTkTF= eeekF= eeTeeTkTk = eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos-整体单刚整体单刚 eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscos整体分析及求杆端力与刚架类似整体分析及求杆端力与刚架

46、类似.例例:矩阵位移法求图示桁架各杆轴力矩阵位移法求图示桁架各杆轴力.P4m3m已知已知:EA=6 0 , P=100解解:3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2) -=-=11112011111lEAk901= -=1010000010100000201k43212100 =20000k-整体单刚整体单刚 eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscosP4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2) -=1111122k5/3sin5/4cos22= -=32. 476. 532. 476. 576. 568. 776. 568. 732. 476. 532. 476. 576. 568. 776. 568. 7202k43212100 =32.2476.576.568.7k-整体单刚整体单刚 eelEAk-=22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscosP4m3m3121(0,0)2(0,0)3(0,0)4(1,2) -=11