《工学概率教案》ppt课件

1、第五章 假设检验假设检验的基本概念假设检验的基本概念一问题的提出一问题的提出引例：引例：一台包装机装箱，额定标准为每箱重一台包装机装箱，额定标准为每箱重100kg, 设每箱重量，且，现在随设每箱重量，且，现在随即抽取即抽取10箱，称得重量如下箱，称得重量如下(kg)：15. 1 ),(2 NX99.3 98.9 101.5 101.0 99.6 98.7 102.2 100.899.8 100.9问包装机工作是否正常？问包装机工作是否正常？假设假设0100:,100: HH原假设原假设(正常正常)备择假设备择假设(不正常不正常) 检验假设：检验假设：就是在就是在0、H1选择其一，即接受选择其一

2、，即接受0 或拒绝或拒绝0 分析：分析：, , X未知未知27.100 X,27. 00 X出现偏差是很正常不过的，出现偏差是很正常不过的，关键是如何解释关键是如何解释0.27 ?为了说明上述原则，我们举个例子。为了说明上述原则，我们举个例子。 例子：例子：某厂有产品某厂有产品200件，按国家规定次品率件，按国家规定次品率p不超过不超过1%才能出厂。今在其中任抽才能出厂。今在其中任抽5件产品发件产品发现有次品，问这批产品能否出厂？现有次品，问这批产品能否出厂？若若H0成立，则成立，则200件产品中至多含件产品中至多含2件次品。件次品。二、二、 假设检验的原理假设检验的原理实际推断原则：实际推断

3、原则：小概率事件在一次试验中几乎小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。是不可能发生的。 01. 0 p解：解：假设假设H0 ： 任抽的任抽的5件产品中件产品中不含不含次品的概率次品的概率p为：为： .,;,.;,.件中无次品件中无次品当当件次品件次品件中只有件中只有当当件次品件次品件中只有件中只有当当200112009750220095050520052005200519952005198CCCCCCp由此可见在任抽的由此可见在任抽的5件产品中不含次品的概率大件产品中不含次品的概率大于于0.95,而含次品的概率小于而含次品的概率小于0.05,这就是说这就是说在任在任抽的抽的5件产品中含次品

4、是小概率事件。件产品中含次品是小概率事件。根据实际推断原则：根据实际推断原则：小概率事件在一次试验中几乎是不小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。可能发生的。如果发生了，我们就认为是不合理的。如果发生了，我们就认为是不合理的。现现在的问题是小概率事件在一次试验中竟然发生了，我们在的问题是小概率事件在一次试验中竟然发生了，我们认为这是不合理的认为这是不合理的,而导致这种不合理现象发生的原因在而导致这种不合理现象发生的原因在于假设于假设H0 ，因而我们认为假设因而我们认为假设H0 是不可接受的，故这批是不可接受的，故这批产品不能出厂。产品不能出厂。 由于我们是由于我们是根据小概率事件在一次试验

5、中是否发根据小概率事件在一次试验中是否发生作出拒绝假设生作出拒绝假设H0 或是接受假设或是接受假设H0 的判断，的判断，而小概而小概率事件在一次试验中也不是绝对不发生率事件在一次试验中也不是绝对不发生,因而我们在因而我们在利用假设检验进行统计推断时会犯两方面的错误。利用假设检验进行统计推断时会犯两方面的错误。P接受接受H0|H0不真不真=三、两类错误三、两类错误（1）第一类是）第一类是“弃真弃真”错错误误P拒绝拒绝H0|H0为真为真= 若若H0为真为真, 由于由于在一次试验中小概率事件在一次试验中小概率事件发生了，我们就认为这是不合理的，从而拒发生了，我们就认为这是不合理的，从而拒绝假设绝假设

6、H0 ，所以，所以弃真弃真概率概率即为小概率事件即为小概率事件发生的概率发生的概率 。（2）第二类是）第二类是“纳伪纳伪”错误错误 在实际应用中，这两类错误都会带来损失，在实际应用中，这两类错误都会带来损失，我们自然希望犯这两类错误的概率越小越好，我们自然希望犯这两类错误的概率越小越好，但这又是不可能的。由于犯第二类错误的概率但这又是不可能的。由于犯第二类错误的概率计算较复杂计算较复杂 ，通常我们总是控制犯第一类错，通常我们总是控制犯第一类错误的概率，这种误的概率，这种只控制犯第一类错误的概率而只控制犯第一类错误的概率而不考虑犯第二类错误的检验称为显著性检验，不考虑犯第二类错误的检验称为显著性

7、检验，数数称为称为显著性检验水平显著性检验水平。 由此可知由此可知:显著性检验水平数显著性检验水平数即为小概率即为小概率事件发生的概率事件发生的概率 。 例子：例子： 以医生误诊为例，我们看一下这两类以医生误诊为例，我们看一下这两类错误哪一个更严重些错误哪一个更严重些. H0 ：有病：有病 ； H1: 无病无病 医生犯第一类错误：医生犯第一类错误： P拒绝拒绝H0|H0为真为真= “此时有病判无病此时有病判无病” 医生犯第二类错误：医生犯第二类错误： P接受接受H0|H0不真不真= ， “此时无病判有病此时无病判有病”说明：说明：弃真弃真错误的概率即为小概率事件发生的概率。错误的概率即为小概率

8、事件发生的概率。例如例如:一个盒子里装有一个盒子里装有99个红球和个红球和1个白球个白球 H0 :红球多红球多(H0为真为真)犯第一类错误是指犯第一类错误是指:P拒绝拒绝H0|H0为真为真=，如若摸到一只白球如若摸到一只白球(小概率事件发生小概率事件发生,其概率为其概率为0.01),我们说我们说“白球多白球多”,这时我们所犯的是第一类错误，而犯第一这时我们所犯的是第一类错误，而犯第一类错误的概率恰是小概率事件出现的概率类错误的概率恰是小概率事件出现的概率0.01。2 一个正态总体参数的假设检验一个正态总体参数的假设检验一、均值一、均值的假设检验的假设检验二、方差二、方差2的假设检验的假设检验1

9、.方差方差2已知的情况已知的情况2.方差方差2未知的情况未知的情况),(NX2一、均值一、均值的假设检验的假设检验关于总体平均值关于总体平均值的假设有三种提法的假设有三种提法:第一种类型的假设第一种类型的假设检验称为检验称为双边检验双边检验,第二、三种类型的第二、三种类型的检验称为检验称为单边检验单边检验. H0 : = 0 H1 : 0 H0 : = 0 H1 : 0 H0 : = 0 H1 : 0 情况与类似，现举例说明情况与类似，现举例说明例例1 某工厂产品寿命某工厂产品寿命XN( , 2),正常情况下正常情况下 0=40, 0=2,现技现技术革新后术革新后,随机取随机取25只只,测得寿

10、命均值测得寿命均值25.41 x设革新后方差不变设革新后方差不变,问革新后产品质量较以前是否显著提问革新后产品质量较以前是否显著提高高?( =0.05)分析分析: 何为质量显著提高？假设如何提？何为质量显著提高？假设如何提？技术革新后的寿命均值技术革新后的寿命均值40为质量显著提高为质量显著提高.能否设能否设 H0 : =40 ,H1:40由于当由于当H0为真（即正确）时，有为真（即正确）时，有) 1 , 0 (NnXU0因而因而,当当0X 较大时拒绝较大时拒绝H0,等价为等价为nXU0较大时拒绝较大时拒绝H0,从而拒绝域的形式为从而拒绝域的形式为knXU0k0拒绝域拒绝域P拒绝H0H0为真=

11、knXPkUP0ZnXP0 ZkZ1- 接受域接受域拒绝域拒绝域 0=40, 0=2, =0.05，Z0.05=1.645125. 325/24025.41 UU1.645拒绝拒绝H0，从而接受从而接受H1,即在显著水平即在显著水平= 0.05下下认为革新认为革新后的质量有显著提高后的质量有显著提高. 特别提醒同学们注意特别提醒同学们注意,下列几点是非常重要的下列几点是非常重要的:1.假设的提法假设的提法;2.选择检验统计量选择检验统计量;3.确定拒绝域的形式确定拒绝域的形式. H0 : = 0 H1 : 0 H0 : = 0 H1 : 0 假设提法假设提法检验统计量检验统计量).1(/0 n

12、tnSXT )1n(tT)1n(tT);1n(tT2拒绝域拒绝域此方法称为此方法称为T检验法检验法参看参看P143表表例例1 在正常情况下在正常情况下,某工厂生产的灯泡的寿命某工厂生产的灯泡的寿命X服从正态服从正态分布分布,今测得今测得10个灯泡寿命为个灯泡寿命为:1490 1440 1680 1610 1500 1750 1550 1420 1800 1580 。问能否认为该工厂生产的灯泡寿命。问能否认为该工厂生产的灯泡寿命 0=1600( =0.05)? (注：此题是第注：此题是第141页例页例3）解解 在水平在水平 =0.05下检验假设下检验假设 H0 : = 0=1600 是否成是否成

13、立立.由于方差未知由于方差未知,所以我们选统计量所以我们选统计量:Tt(n-1) 即即Tt(9),由由t分布表查得分布表查得t0.025=2.2621016000sXnsXT 05. 0262. 2 TP即认为该工厂生产的灯泡寿命即认为该工厂生产的灯泡寿命为为 = 1600 这也就是说这也就是说,如果如果H0成立成立,则事件则事件 262. 2 T在水平在水平 =0.05下为小概率事件下为小概率事件.又由样本得又由样本得:44.0;129;1582tsx 262.29t44.0t2所以接受所以接受H0.二、方差二、方差2的假设检验的假设检验假设的提法假设的提法20212020202120202

14、0212020:,:) 3(:,:) 2(:,:) 1 ( HHHHHH第一种类型的假设检验称为第一种类型的假设检验称为双双边检验，边检验，第二、三种类型的检第二、三种类型的检验称为验称为单边检验。单边检验。2020: H当当H0为真时，取为真时，取(1)在水平在水平下，下，检验假设检验假设解：考虑到解：考虑到)1()1(222 nSn )1()1(2202 nSnK 作为检验统计量作为检验统计量.是否成立是否成立?使使得得（和和（1),-n1)-n22-122 )1()1(22122nKnKP由于由于很小，故事件很小，故事件 )1()1(22122 nKnK 代入样本值计算统计量代入样本值计

15、算统计量K的值的值k.是小概率事件是小概率事件.2 对给定的水平对给定的水平，查，查分布表，找到临界点分布表，找到临界点2022122)1()1(HnKnK拒拒绝绝时时，或或当当 022221)1()1(HnKn接接受受时时，当当 2222121)(221 KP注意：注意：)(yfy20212020:,:) 2( HH检验统计量检验统计量202)1(SnK) 1(:2 nK 拒拒绝绝域域为为 参看参看P145表表20212020:,:) 3( HH) 1(:21 nK 拒拒绝绝域域为为2 21 )(yfy例例1：某种电子元件的寿命：某种电子元件的寿命X N( , 2),合格标准合格标准为为:

16、2000, 2 1302,现从一批该种元件中任现从一批该种元件中任抽抽25只只,测得测得寿命均值为寿命均值为试试在水平在水平 =0.05下下,检验这批元件是否合格检验这批元件是否合格. (P145例例6）22148,1950 sx方方差差H0: =2000 H1: 2000 哪一个成立哪一个成立? )1(/0 ntnSXT 取取拒绝域为拒绝域为:T 1.7109, 应接受应接受H0 ,即认为元件寿命不低于即认为元件寿命不低于2000小时小时.H0: 2 = 1302 H1: 2 1302 哪一个成立哪一个成立? 112202 nSnK 取取对给定的水平对给定的水平 =0.05,查表知查表知 2

17、 0.05(24)=36.415在水平在水平在水平在水平 =0.05下下,检验假设检验假设作为检验统计量作为检验统计量.;106.311301482422 k计计算算因为因为k36.415，所以接受所以接受H0 ,即认为标准差不超过即认为标准差不超过130小时小时.由以上说明在水平由以上说明在水平 =0.05下，认为这批元件合格下，认为这批元件合格.例例2：某厂生产某种型号的电池，其寿命服从方差：某厂生产某种型号的电池，其寿命服从方差2=5000（小时小时2）的正态分布，现有一批这种电池，从）的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变。现随机抽它的生产情况来看，寿命

18、的波动性有所改变。现随机抽取取26只，测出其寿命的样本方差只，测出其寿命的样本方差S2=9200(小时小时2），问根），问根据这批数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有据这批数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著变化。（显著变化。（=0.02） 分析分析：寿命的波动性由方差反应。：寿命的波动性由方差反应。解：解：本题要在显著水平本题要在显著水平=0.02 下检验假设下检验假设500050002120 :,:HH5000524112513144425126202990221201022 ,.)()(,.)()(,.nnn拒绝域为：拒绝域为：324441524111202202.)(,

19、.)( SnSn由观察值由观察值s2=9200 得得314.4446S)1n(202结论：拒绝结论：拒绝H0, 认为这批灯泡的认为这批灯泡的 寿命的波动性较以往有显著变寿命的波动性较以往有显著变化。化。思考题思考题: :区间估计与假设检验有何关系区间估计与假设检验有何关系? ? 区间估计与假设检验的提法虽然不同区间估计与假设检验的提法虽然不同, ,但解决问题但解决问题的途径是相通的的途径是相通的. .现以现以 2 2未知未知关于关于 的区间估计与假的区间估计与假设检验为例说明设检验为例说明. . 设置信度为设置信度为1 1 , ,即检验水平为即检验水平为 , ,则则).1(/)( ntnSXT 对对 , ,查查t t分布表使分布表使 122tTtP即即 1/22tnSXtP( (* *) )得得 的置信区间为的置信区间为 nStXnS