线性矩阵不等式4

1、主要内容主要内容保性能控制保性能控制时滞系统简介时滞系统简介鲁棒跟踪问题鲁棒跟踪问题基于基于LMI的保性能控制的保性能控制xA+ A xB+wB u+ DyCx 12tABMFEE1,M E2E tF Ttt FFI不确定参数矩阵不确定参数矩阵和和是反映不确定性结构的常数矩阵，是反映不确定性结构的常数矩阵，是时变的不确定矩阵，且满足是时变的不确定矩阵，且满足。 考虑如下线性不确定系统考虑如下线性不确定系统（5-1） ttuKx 12txx+ DwABKMFEE KA=x+ DwyCx设计状态反馈控制律设计状态反馈控制律闭环系统可写为闭环系统可写为 12tA= ABKMFEE K（5-3）（5-

2、2）保性能控制的目的控制目的控制目的针对系统针对系统(5-1)，保性能控制目的是设计控制律，保性能控制目的是设计控制律(5-2)使得闭环系统使得闭环系统(5-3)在任意非零初始值下状态都能趋在任意非零初始值下状态都能趋于稳定，为此定义一个性能指标：于稳定，为此定义一个性能指标： TT0CJttttdtxQxuRu其中：其中：Q为给定的对称半正定实矩阵，为给定的对称半正定实矩阵，R为给定的对为给定的对称正定实矩阵。称正定实矩阵。(5-4)Guaranteed Cost(保代价保代价)保性能控制的设计思想保性能控制的设计思想设计思想设计思想*CJ*CCJJ*CJ考虑闭环系统考虑闭环系统(5-3)和

3、性能指标和性能指标(5-4)，如果存在控制器，如果存在控制器(5-2)和正数和正数系统是渐进稳定的，且闭环性能指标值满足系统是渐进稳定的，且闭环性能指标值满足称为系统称为系统(5-3)的一个的一个保性能控制器保性能控制器。，使得对所有允许的不确定性，闭环，使得对所有允许的不确定性，闭环则则称为系统称为系统(5-3)的一个的一个性能上界性能上界，控制器，控制器(5-2)鲁棒保性能控制器设计为设计不确定系统为设计不确定系统(5-1)的鲁棒保性能控制器，先给出的鲁棒保性能控制器，先给出如下假设：如下假设： tw TTT.ttttwwxC Cx假设假设5.1：干扰：干扰有界，且在其连续区域内满足有界，

4、且在其连续区域内满足假设要合理且容易满足假设要合理且容易满足定理定理5-1 针对给定的性能指标针对给定的性能指标(5-4) ,如果对所有满足如果对所有满足FTF I的实矩阵的实矩阵F，若存在对称正定实矩阵若存在对称正定实矩阵P0,实矩实矩阵阵K以及标量以及标量0,使得如下矩阵不等式成立使得如下矩阵不等式成立则则u(t)=Kx(t)为闭环系统为闭环系统(5-3)的鲁棒保性能控制律的鲁棒保性能控制律,相相应的一个系统性能上界应的一个系统性能上界*00.TCJ xPxTTTT0A PPAQK RKC CPDD PI(5-5) TVxx Px TTTTTVxxA PPA xw D Pxx PDw证明证

5、明：定义闭环系统的：定义闭环系统的Lyapunov函数为函数为则有则有 若要证明若要证明 0VxTTTTTTT xA PPA xw D Pxx PDwxQK RK xTTTTTTTxA PPA xw D Pxx PDwxQK RK x0TTTTTTTxA PPA xw D Pxx PDwxQK RK x0TTT0A PPAQK RKPDD PT0 xxwwTTT00A PPAQK RKPDD PS-procedure（S-过程）过程） 存在对称矩阵存在对称矩阵P0, ,使得对满足使得对满足wTw xTCTCx的所的所有有x 0和和w，若要，若要TTT00 xxA PPAPBwwB P 成立，当

6、且仅当存在标量成立，当且仅当存在标量0和对称矩阵和对称矩阵P0, ,使得使得TTT0A PPA+ C CPBB PITTT00A PPAQK RKPDD P若要证明若要证明则根据则根据S-过程，只需证，当假设过程，只需证，当假设5.1满足时，存在标量满足时，存在标量0和对称矩阵和对称矩阵P0,使得使得TTTT0A PPAQK RK + C CPDD PI即得定理成立的条件。即得定理成立的条件。TTTTTTT xA PPA xw D Pxx PDwxQK RK x TTTTV xxQK RK x =x Qxu Ru 0Vx，即闭环系统，即闭环系统渐进稳定渐进稳定。( )0CVdtJx -即闭环系

7、统是可保性能的。即闭环系统是可保性能的。 T00000CVVVVVJxxxxxx Px=*T00CCJJx Px定理得证。定理得证。(5-6)(5-7)对式对式(5-6)从从0到到积分，得积分，得 定理定理5-2 针对给定的性能指标针对给定的性能指标(5-4) ,如果对所有满足如果对所有满足FTF I的实矩阵的实矩阵F，若存在对称正定实矩阵若存在对称正定实矩阵P0,实矩实矩阵阵K以及标量以及标量, ,0,使得如下使得如下LMI成立成立则则u(t)=WV-1x(t)为闭环系统为闭环系统(5-3)的鲁棒保性能控制律的鲁棒保性能控制律,相应的一个系统性能上界相应的一个系统性能上界*T10000.TC

8、JxPxxVxTTTTT1 21 212*000AVVABWW BDDMMQ V + R W + EVE WICVI 证明：由定理证明：由定理5.1 ，知，知TTTT0A PPAQK RKC CPDD PI11, ,diagPIXP 12tA= ABKMFEE K对上式分别左乘和右乘矩阵对上式分别左乘和右乘矩阵将将代入代入由引理由引理3.1，引入引入标量标量，消去时变不确定参数阵，消去时变不确定参数阵F(t)不等式两边数乘不等式两边数乘,消去消去-1 ,记记1,jjVX WK V应用应用Schur 补补,即得定理即得定理5.2成立。成立。时滞系统简介时滞系统简介时滞系统的稳定性时滞现象普遍存在

9、，是近几年研究的热点时滞现象普遍存在，是近几年研究的热点时滞系统的稳定性时滞系统的稳定性-ddtxAxA xd0表示滞后时表示滞后时间间时滞独立的稳定性：系统的稳定性与时滞时滞独立的稳定性：系统的稳定性与时滞d无关无关时滞依赖的稳定性：系统稳定性与时滞相关时滞依赖的稳定性：系统稳定性与时滞相关稳定性条件较保守稳定性条件较保守*dd时系统稳定时系统稳定先分析时滞独立稳定性先分析时滞独立稳定性, ,若不成功若不成功, ,再分析时滞依赖稳定性再分析时滞依赖稳定性(6-1)时滞独立的稳定性条件定理定理6-1 针对系统针对系统(6-1) , 若存在对称正定实矩阵若存在对称正定实矩阵P和和S,使得使得则系

10、统则系统(6-1)是渐进稳定的。是渐进稳定的。TT0ddA PPASPAA PS证明证明：定义：定义Lyapunov函数如下函数如下 TTtttdVdttxSxxPxxtV xtV x其中：其中：,0tt+d xx则则，P和和S是对称正定阵，是对称正定阵，正定。正定。 TTTT22dttttt -dttt -dt -VdxPAxxPA xxSxxSxx关于时间的导数是：关于时间的导数是： TTTddttt -dt -dxA PPASPAASxPxx定理得证。定理得证。时滞独立系统的时滞独立系统的特定李氏函数特定李氏函数2TTTa ba ab b12TTTa ba Xab X b12TTTaMb

11、baMbX aMbb X b数学补充1122TTTTTTTa baMbX aMbb X bb MbXXMaaM XM XI XXMIbb 时滞依赖的稳定性条件定理定理6-2 如果如果存在对称正定实矩阵存在对称正定实矩阵P、Q、V和实和实矩矩阵阵W以及标量以及标量 ,使得如下矩阵不等式成立使得如下矩阵不等式成立则对所有的滞后时间则对所有的滞后时间0,ddTTTTT*0*00ddddddddA+ APP A+ AW AA WA WQVA AVA AVW + PV0d 系统系统(6-1)是渐进稳定的。是渐进稳定的。证明：定义证明：定义Lyapunov函数如下函数如下123ttttVVVVxx+x+x

12、 T1tVttxxPx其中：其中： 0TT2ttdddtVd d xxAXA x T3ttt dVdxxQx时滞依赖系统的时滞依赖系统的特定李氏函数特定李氏函数 TTTTTTT122ddddttttxAXA xxAXMPx+xP M X + I XXxPAM + I Pxx tt dt -t -d =dxxx TT122ttddt-ddVtttddtxxP A+ AxxPA x1tVx由于由于 -tddt-ddttttddA+ Axx-xAAxA x tt dt -d =t -dxxx 关于时间的导数是：关于时间的导数是：定义定义 ,dabt A xPx，可得，可得22TTb aa b利用数学

13、补充第四式利用数学补充第四式将上式代入到将上式代入到1tdVdtx中，可得中，可得 1TTT1TTTT2tddttdddt-dt ddVdttdttddxxA+ AP + P A+ AP M X + I XXM + I P xxPM XAx+xAXA x2tVx TTTT2ttddddt ddVdttddtxxAXA xxAXA x TT3tdVttt -dt -ddtxxQxxQx3tVx和和关于时间的导数是：关于时间的导数是： 0TT2ttdddtVd d xxAXA x T3ttt dVdxxQx因此因此 123TT2T1TTTTTTT1112T12222tttttdddddt-dddd

14、dVVVVdtdtdtdttdttttttt -dt -dttt -dt -ddxxxxxA+ AP + P A+ AW+ P VW + PxxW A+ xA VA x+xQxxQxxxXXxxXXx因此因此T2T111TTTTTTT122TT2ddddddddddddddd W = XMP, V = XXA+ AP + P A+ AW+ P VW + PA A VA A+Q+W AA W+ A A VA AAAWXQVAXAA定理得证。定理得证。基于基于LMI的跟踪控制问题的跟踪控制问题定义定义所谓跟踪问题，就是讨论系统在满足什么条件下可所谓跟踪问题，就是讨论系统在满足什么条件下可找到适当的

15、控制律来实现找到适当的控制律来实现y(t)跟踪跟踪yr(t)的目标，满足的目标，满足lim( )( )0rty ty t控制方案控制方案rxxe通常考虑增广系统，若系统维数超过通常考虑增广系统，若系统维数超过3时，优势不明显时，优势不明显.研究思路缺陷之处缺陷之处：必须考虑增广系统，系统阶数成倍增：必须考虑增广系统，系统阶数成倍增长，可能引发长，可能引发LMI不可解等问题的出现；不可解等问题的出现；结论结论：不适合高维数系统控制器的设计；：不适合高维数系统控制器的设计；方案方案：引入前馈，避免增广。：引入前馈，避免增广。鲁棒跟踪控制器的设计鲁棒跟踪控制器的设计考虑如下线性不确定系统考虑如下线性

16、不确定系统 ,tttttttxAxBuyxxC 系统的不确定系统的不确定参考信号参考信号 rty由下述参考模型生成由下述参考模型生成 00rrrrrttxA xxx rrrttyC x定义误差变量定义误差变量设计目标是在设计目标是在 rrrt eyyCxC x tu的作用下有的作用下有 limlim0rttttteyy假设存在实常数矩阵假设存在实常数矩阵G，使得，使得 rttuHxu 设计如下控制律设计如下控制律 rttxGxx 并定义并定义 rttyyy ,uxy 其中其中为偏离理想跟踪的控制、状态、及为偏离理想跟踪的控制、状态、及输出偏差。输出偏差。 rttxGxx rxxGx rrrrr

17、rrrrxxGxAxBuGA xA GxxB HxuGA xAGBHGAxA xB u+ ruHxu rxGxx ryyy rrrrrrrryyyCxC xC GxxC xCGCxC x ryyy ruHxu rxGxx ryyy ryyy ,rrttxAGBHGAxA xB u+x rryCGCxC x 0y 假设假设7-1 存在实常数矩阵存在实常数矩阵n n ，使得，使得 ,tttxx 不确定范数有界不确定范数有界定理定理7-1 若假设若假设7-1成立，存在实矩阵成立，存在实矩阵G,H满足满足 rAGBHGArCGC且针对给定的常数且针对给定的常数0 ,存在对称正定实矩阵存在对称正定实矩阵

18、P，实矩阵实矩阵K,使得如下不等式成立使得如下不等式成立TT22101ABKPP ABKPPI 则则 uKx为被控系统的鲁棒镇定控制律为被控系统的鲁棒镇定控制律 ，且，且y(t)渐进跟踪渐进跟踪yr(t)。证明证明rAGBHGArCGC ,rrttxAGBHGAxA xB u+x rryCGCxC x 此时有此时有若存在实矩阵若存在实矩阵G,H满足满足 ,ttxA xB uxyC x 思路：若思路：若0,0则有xy 设计状态反馈控制器设计状态反馈控制器uKx ,ttA+ Bxxx 则闭环系统可描述为则闭环系统可描述为A若存在对称正定实矩阵若存在对称正定实矩阵P，选取如下，选取如下Lyapunov函数函数 22T011,tV tdx P x+xx V t对时间的导数为对时间的导数为 22TT22TTTTTT2211,112,1,1V tttttttttttttx P x+x P x+xxxA PPAx+x Pxx+xA PPAPxxxxPI 0V t t 0,0ttxy 0rttyy rty由定理条件成立，可得由定理条件成立，可得，即有当，即有当时，时，即，即实现对参考输出实现对参考输出的渐进跟踪。定理得证。的渐进跟踪。定理得证。 ，从而，从而 rttxGxx 得得由由rxxGx rrrrrttttuHxu= HxKx=