第2章 信号和频谱

1、简明通信原理简明通信原理Concise Principles of Communications武汉理工大学计算机学院武汉理工大学计算机学院第第2章章 信号和频谱信号和频谱u 学学 习习 目目 标标 l信号的分类与特性。l傅里叶级数和傅里叶变换。l能量（或功率）谱与相关函数。l平稳、高斯、窄带随机过程的统计特性。l高斯白噪声和低通（或带通）白噪声。l带宽的概念与定义。 2.1 信号分类信号分类 l信号信号（signal）是指表示消息的某种电（物理）量，如电压、电流或电磁波等。 为方便研究不同问题，可将信号进行如下分类：v模拟信号与数字信号（详见第1章）v基带信号与已调信号（详见第1章）v确知信

2、号和随机信号v周期信号和非周期信号v能量信号和功率信号u2.1.1 确知信号和随机信号确知信号和随机信号l确知信号是可以预先确知其变化规律的信号。例如， 。l随机信号（不确知信号），其在定义域内的任意时刻都没有确定的函数值。例如，通信系统中的接收信号、热噪声等。u2.1.2 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号 l周期信号是定义在（ ）区间上，且每隔固定的时间按同样规律重复变化的信号，即满足： T0为信号的周期。l提问：冲激函数、正弦信号、Sa(x)函数、矩形脉冲序列、语音信号，哪些是周期信号？ ( )5sin10s tt,0( )(),s ts tTt u2.1.3 能量信号和功率信号能

3、量信号和功率信号l电压v(t)或电流i(t)在电阻R上所产生的瞬时功率为 或 l“归一化归一化”瞬时功率（取R=1欧姆）： s(t)代表v(t)或i(t)ls(t)的（归一化）总能量为 （归一化）平均功率为： 若E有限 ，而P0，则称为能量（有限）信号。如单个矩形脉冲。 若P有限，而E，则称为功率（有限）信号。如周期信号和随机信号。 2( )( )vtp tR2( )( )p ti t R/222/2lim( )d( )dTTTEs tts tt/ 22/ 21lim( )dTTTPsttT2( )( )p tstl确知信号的分析方法是信号分析的基础。l信号的特性可从时域和频域来描述。v时域特

4、性时域特性反映信号随时间变化的特性，可借助示波 器观察信号的波形。v频率特性频率特性反映信号各个频率分量的分布情况，可借助频谱仪观察信号的频谱。l在数学上，周期信号的频谱可用傅里叶（Fourier）级数来分析；非周期信号的频谱可用傅里叶变换来分析。 2.2 确确 知知 信信 号号 u2.2.1 傅里叶级数傅里叶级数l 周期信号s(t)可展成（指数型）傅里叶级数： 其中，傅氏系数Cn为 式中，f0 = 1/T0为信号的基频，nf0为 n次谐波频率。l 由于Cn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，故称Cn为信号的频谱频谱。可记为 v 幅度 随频率（nf0）变化的特性称为信号的幅度谱，v 相位 n

5、 随频率（nf0）变化的特性称为信号的相位谱。 0j2/=( ) =entTnns tC000/ 2j2/ 201( )edTn f tnTCs ttTjennCCnnC【例2-1】 一个周期矩形脉冲信号的时域波形与幅度谱如图2-2所示，简述周期信号频谱的特点，并确定该信号需要占用的频带宽度（即信号带宽）。 解解：周期信号的频谱具有“离散性（谱线）、谐波性和收敛性”的特点。 幅度谱的主瓣宽度（指第一个零点频率范围）定义为信号带宽(零点带宽)： 可见，脉宽脉宽 越窄，越窄，B 越宽越宽。 1Bu2.2.2 傅里叶变换傅里叶变换 一个非周期确知信号s(t)的傅里叶（Fourier）变换： （2-2

6、-5）称为该信号的频谱密度频谱密度，简称频谱频谱。 的傅里叶反变换就是原信号： （2-2-6） 这对傅里叶变换关系可简记为 当引入冲激函数之后，傅里叶变换对周期信号和非周期信号都适用。当引入冲激函数之后，傅里叶变换对周期信号和非周期信号都适用。 j( )( )edtSs ttj1( )( )ed2ts tS( )S( )( )s tS 【例2-2】试求幅为A，宽为 的单个矩形脉冲（门函数）的频谱。 解：对该信号进行傅里叶变换可得其频谱为 式中， 称为抽样函数，且有 。谱的第1个零点频率为 。 图2-3 矩形脉冲信号及其频谱函数 jj222( )ededsinSa22ttASs ttAtAsin

7、Sa( )xxxSa(0)11/f第一零点f=1/评注： （1）非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状与图2-2所示的周期矩形脉冲信号的离散频谱的包络线相似。 （2）信号带宽与脉冲持续时间（脉宽 ）成反比，即 。这意味着，若要压缩信号的持续时间则以展宽频带为代价。 l 【例2-3】 已知 ，求 的频谱（密度）。 解：利用欧拉公式可得 根据傅里叶变换的频移特性可得 另一解法：利用傅里叶变换的频域卷积性质求解。 评注：上式通常称为调制定理，它在通信系统中的调制与解调过程中经常用到。 s tS0( ) coss tt00jj01( )cos( )ee2tts tts t0( )coss tt00

8、12SS1/Bu2.2.3 冲激函数和冲激序列冲激函数和冲激序列l1、单位冲激函数、单位冲激函数 (t) (t)是一个幅值无限大、宽度无穷小、面积为1的脉冲，可表示为v（1）筛选特性（采样特性） 或 v（2）搬移特性 v（3）傅里叶变换和反变换 l2、单位冲激序列、单位冲激序列 00( )( )d10ttttt且000( )()( )()f tttf ttt00( )()d( )f ttttf t00( ) ()()f tttf tt00( ) ()()FF ( )1t12 ( ) T0( )()nttnTT0011( )nffnTTu2.2.4 能量谱密度和功率谱密度能量谱密度和功率谱密度

9、意义意义：。l1能量谱密度（能量谱密度（ESD） ESD是指信号的能量在频域上的分布情况。表示为 或 式中的S()为能量信号 s(t) 的傅里叶变换。 信号能量为 上式称为Parseval（帕塞瓦尔）能量守恒定理。 2( )( )ES2( )( )E fS f21( )d( )d( )d2Es t tEE ff l2功率谱密度（功率谱密度（PSD） PSD是指信号的功率在频域上的分布情况。设 是功率信号s(t)的截短信号， 是 的傅里叶变换，则s(t)的功率谱密度为 或 信号功率为 对于周期性功率信号来说，其平均功率由下式给出： 式中， =1/ f0为信号周期； |Cn|2是第n次谐波的功率。

10、|Cn|2随nf0分布的特性称为周期信号的（离散）功率谱密度，可表示为 或 2T1()lim()TPST2T1( )lim( )TP fSfT Ts tT( )S Tst/22/211lim( )d( )d( )d2TTTPs t tPP ffT 00/222/201( )dTnTnPs ttCT0T20( )()nnP ffnfC20( )2()nnPCnl3.能量（功率）带宽能量（功率）带宽v 对于能量信号，可利用能量谱E(f)，由下式求出带宽B ： 式中， 为百分比，可取90%、95%或99%等。v 对于功率信号，则可利用功率谱P(f)，由下式求出带宽B ： u2.2.5 波形的互相关和

11、自相关波形的互相关和自相关 相关函数用于研究信号波形之间的关联程度或相似程度。02()dBE ffE02()dBP ffPl 1相关函数相关函数 表2-3 不同类型信号相关函数的表达式 其中， 为时间差；T0为周期。l2互相关函数的性质互相关函数的性质v ，表示两个信号互不相关;v 越大，说明无时差时的两个信号越相似;v l3自相关函数的性质自相关函数的性质v v v能量信号的R(0)=E(能量)；功率信号的R(0)=P(功率)。 12( )0R12(0)R1221( )()RR( )(0)RR( )()RRu2.2.6 相关函数与谱密度相关函数与谱密度 l能量信号的自相关函数和其能量谱密度是

12、一对傅里叶变换，即 l功率信号的自相关函数和其功率谱密度是一对傅里叶变换，即 以上关系称为维纳维纳-辛钦定理辛钦定理。该定理为谱密度的求解提供了另一条途径，即通过自相关函数来求得信号的谱密度。 【例2-5】 求余弦信号 的PSD和平均功率。 解：余弦（或正弦）信号都是周期性功率信号，它的自相关函数为2( )( )RS f ( )RP f0( )cos()s tAt0000/2/2200/2/20011( )( ) ()dcos()cos()dTTTTRs t s ttAtttTT 利用积化和差三角函数公式，可得 利用维纳-辛钦定理 ，可得信号的PSD： 信号的平均功率为 或 v正弦信号与余弦信

13、号具有相同的PSD、自相关函数和平均功率。 v习惯把 和 统称为正弦信号。000022/2/2000/2/20011( )cosdcos(22 )d22TTTTAARtttTT20cos2A200( ) 2AP2(0)2APR21( )d( )d22APP ffP0sin()At0cos()At2.3 随随 机机 过过 程程 u本节内容是本课程的数学基础，因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性，需要用随机过程的理论来描述。l随机过程的基本概念和数字特征；l平稳、高斯、窄带过程的统计特性；l随机过程通过线性系统；l高斯白噪声的统计特性。u2.3.1 何谓随机过程？何谓随机过程？ 随机过程可定义

14、为所有样本函数的集合。其在任意时刻上的取值是一个随机变量，因此又可定义为在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。 图2-4 随机过程的样本u2.3.2 数字特征数字特征v分布函数或概率密度函数可充分地描述随机过程的统计特性。v数字特征可描述随机过程的基本特性。常用的数字特征有均值、方差和相关函数。 l1均值或数学期望均值或数学期望 含义：均值 表示随机过程n个样本曲线的摆动中心（见图2-4中虚线）。l2方差方差 含义：方差反映了随机过程在任意时刻的取值偏离均值的程度。l3自相关函数自相关函数 若 并令 ，则相关函数 可写成 含义：描述随机过程在不同时刻的取值之间的关联程度。 1( )( )(

15、 , )da tEtxf x tx( )a t22( ) ( )( )tEta t22( )Eta (t)1212122121212( , ) ( ) ( )( ,; , )d dR t tEttx x fx x t tx x 1111( ,) ( ) ()R t tEtt21,tt21tt12( ,)R t t2.4 平稳随机过程平稳随机过程 u2.4.1 平稳性平稳性 l严（狭义）平稳严（狭义）平稳：随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。l宽（广义）平稳宽（广义）平稳：随机过程的数字特性不随时间的推移而改变： 均值与 t 无关 自相关函数仅与时间间隔有关 v 严平稳必然宽平稳，反之不一定

16、（高斯过程例外）。v 通信系统中的信号与噪声大多可视为宽平稳过程。 ( )Eta常数11( ,)( )R t tRu2.4.2 各态历经性各态历经性l如果平稳过程 的统计平均等于它的任意一个样本 的时间平均，即 则称该平稳随机过程 具有各态历经性。l各态历经性的意义：各态历经性的意义： 可用一个样本的“时间平均”替代随机过程的“统计平均（需要对随机过程的所有样本求平均）”，使得测量和计算的问题大大简化。 ( ) t( )x t( )( )aaRR( ) tu2.4.3 自相关函数的性质自相关函数的性质 平稳随机过程 的自相关函数只是时间差 的函数，即 l它具有如下性质：v（1） 的平均功率 v

17、（2） 的直流功率 v（3） （方差） 的交流功率 当均值为0时，有 v（4） 的偶函数 v（5） 时有最大值 ( ) t21tt( )( ( ) ()REtt2(0)( )REt( ) t22( ) ( )REta2(0)( )RR2(0)R( )()RR( )(0)RR0u2.4.4 功率谱密度功率谱密度 平稳过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换关系，即 简记为 称为维纳维纳-辛钦定理辛钦定理。它建立了平稳过程频域和时域的联系。v （1）当 时，有 即功率谱密度（PSD）的积分面积等于归一化平均功率。v （2）功率谱密度（PSD）具有非负性和实偶性，即 jj( )( )ed1( )

18、( )ed2PRRP( )( )RP01(0)( )d( )d2RPP ff2( )Et( )0P f ()( )PfP f2.5 高斯随机过程高斯随机过程 u2.5.1 定义与特性定义与特性 l高斯过程的n维（n=1，2，）分布都服从正态分布。l高斯过程的统计特性完全由它的数字特征决定。 它的一维分布完全可由均值和方差来描述。v（1）若高斯过程是宽平稳的，则也是严平稳的。v（2）若高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 则它们也是统计独立的。v（3）高斯过程经过线性系统后的过程仍是高斯过程。 以上几个性质在对高斯过程进行数学处理时十分有用。 u2.5.2 一维高斯（或正态）分布一维高斯（或正态

19、）分布 高斯过程在任意时刻上的取值都是一个高斯随机变量，其一维概率密度函数为 具有如下特性：v 曲线对称于 这条直线。v v 的图形将随 的减小 而变得尖锐，说明随机变量X 落在a点附近的概率越大。221()( )exp22xafx( )f xxa1( )d( )d2aafxxfxx( )f x 在分析数字通信系统的抗噪声性能时，往往需要计算高斯随机变量X小于或等于某一取值 的概率 ，记为 式中， 称为分布函数，是概率密度函数 的积分，即 （2-5-3） 为了便于计算上式积分的结果，常引用一些在数学手册上可查函数值的特殊函数特殊函数来表示F(x)。例如，误差函数和互补误差函数，其公式与性质如表

20、2-4所示。 x()P Xx( )()F xP Xx( )F x( )f x221()( )()expd22xzaF xP Xxz表2-4误差函数和互补误差函数误 差 函 数互补误差函数公式， （2-5-4）， （2-5-5）性质自变量的递增函数 ，且 自变量的递减函数 ，且关系式 （2-5-6）近似式 ， （2-5-7）202erf( )edxtxt0 x22rfc( )edtxext0 xerf(0)0erf()1erf()erf( )xx erfc(0)1erfc()0erfc()2erfc( )xxerfc( )1erf( )xx 21erfc( )exxx1x 若对式（2-5-3）的

21、积分区间进行处理（如 ），然后进行变量代换，令 ，并与式（2-5-4）或式（2-5-5）联系，则有 （2-5-8） 利用函数 或函数 表示F(x)的好处是，其简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。 xaxaxa时，()/2tza11erf222( )11erfc22x axaF xx axa，erf( ) xerfc( )x2.6 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 对于线性时不变系统，其输出过程 是输入过程 与系统单位冲激响应 的卷积，即 根据上式，若给定 的统计特性，则可求得 的统计特性，结果如表2-5所示。 表2-5平稳随机过程通过线性系统 表2-5中， 为线性系统的频率响

22、应，且 ；H(0)是线性系统在 处的频率响应，即直流增益； 是线性系统的功率增益。 o( ) ti( ) t( )h toii( )( )( )( ) ()dtth tht i( ) to( ) t( )H f( )( )H fh t0f 2( )H f2.7 窄带随机过程窄带随机过程 窄带随机过程概念。例子：调频（FM）信号、数字调相（2PSK）信号、白噪声通过带通滤波器后的噪声等。 l谱特征： 频带宽度 （中心频率），且 0。l样本波形：包络 随机缓变的正弦波。l表达式： l等价式： 式中， ， 分别称为 的同相和正交分量。 fcfcf( )a tt及相位 （ ）c( )( )cos2(

23、),( )0ta tf tta tccsc( )( )cos2( )sin2ttf ttf tc( )( )cos( )ta tts( )( )sin( )ta tt( ) tl 两个重要结论：v 结论结论1：对于均值为零、方差为 的平稳高斯窄带过程 ，它的同相分量 和正交分量 同样是平稳高斯过程，且均值皆为零，方差都等于 （相当于平均功率相等）。v 结论结论2：对于均值为0、方差为 的平稳高斯窄带过程 ，它的包络 的一维分布是瑞利分布，相位 的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， 与 是统计独立的。 以上两个结论在带通传输系统（如调制系统）的抗噪声性能分析中将会用到。 2( ) tc( ) ts( ) t22( ) t( )a t() t()a t() t2.8 2.8 通信系统中的噪声通信系统中的噪声 例子：电子设备中的电阻性器件所产生的热噪声，它是一种零均值的高斯白噪声白噪声。常被用作信道中的噪声模型。u2.8.1 白噪声白噪声 白噪声是一种带宽无限的平稳过程，它具有恒定的功率谱密度： 式中， 是一个常数，表示单边功率谱密度，单位是瓦/赫。 0n( )2nPf()f 0n() ()2nR0n白噪声仅在 （同一时刻）时的取值才相关。若白噪声的取