复变函数与积分变换期末试题附有答案

1、复变函数与积分变换期末试题.填空题(每小题3分，共计15分)工忖3的幅角是(2k,k0,1,2);2.3Ln(1i)的主值是13ln2i24)；3.14f(z)2,f(0)(0),4.zzsinzz4一的(一级)极点;Resf(z),(-1)；.选择题(每题3分，共15分)解析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的导函数为(2.3.(A)f(Z)(Of(z)C是正向圆周|z如果级数cnzn1ux3,iUy；ivy；如果函数(B)f(z)UxiUy；(D)f(z)Uyivf(z)()，则)f(z)dz0.C。一n在z2点收敛，则级数在(A)z2点条件收敛；(B)z2i(C)z1i点绝对收敛;(

2、D)(z32)2.点绝对收敛;(D)z12i点一定发散.4 .下列结论正确的是()(A)如果函数f(z)在4点可导，则f(z)在zo点一定解析;(B)如果f(z)在C所围成的区域内解析，则%f(z)dz0C(C)如果0f(z)dz0,则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析；C(D)函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5 .下列结论不正确的是().1 ,(A)为sin的可去可点；(B)为sinz的本性奇点；z、，1(C)为一1的孤立可点；(D)为L的孤立奇点.sinsinzz三.按要求完成下列各题(每小题10分，共

3、40分)(1) .设f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是解析函数，求a,b,c,d.解：因为f(z)解析，由C-R条件a2,d2,a2c,2bd,c1,b1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。ze(2).计算口；dz其中C是正向圆周：C(z1)z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程z因为函数f(z)土-在复平面内只有两个奇点Zi0,Z21,分别以Zi,Z2为圆心画互不相交(Z1)2zze.互不包含的小圆C1,C2且包于c内-dzC(z1)zZe(z 1)2 dZJ z- dzC2 (z 1)(3).15 Zz 3

4、(1 z2)2(2 z4)3 dz无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：Z3内，由留数定理15为34-rdz2iResf(z),-(5分)lzl3(1z)(2z)(8分)(10 分)1115Z2iResf()zzr?dz2ilzl3(1z2)2(2z4)323z(z1)(z2)/c2(4)函数f(z)'/.、3(z3)在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请(sinz)指出它的级.,232f(z)晅1)(Z2)3(Z3)的奇点为zk,k0,1,2,3,(sinz)zk,k0,1,2,3,为(sinz)30的三级零点,(2)

5、 Z0,z1,为f(z)的二级极点，z2是f(z)的可去奇点,(3) Z3为f(z)的一级极点，(4) z2,3,4,为f(z)的三级极点;(5) 为f(Z)的非孤立奇点备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。四、(本题14分)将函数f (z)在以下区域内展开成罗 朗级数;1)(1)(2)解：(1)当0而二(z1 1)1)n(z1)nf(z)(1)nn 01n(z1)n 2f(z)z2(z 1)1 z2(Tz)10(3)当 1f(z)(1)n0 z14每步可以酌情给分。五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题:解：对y(x)的Laplace变换记做l(s),依据Laplac

6、e变换性质有2s L(s) s 1 5(sL(s) 1) 4L(s)(5分)整理得L(s)1 1(s 1)( s 1)(s 4) s 111110(s1)6(s1)15(s4)15110(s1)6(s1)15(s4)(7分)y(x)1-e101 4xe15(10 分)六、(6 分)求 f (t) e t (0)的傅立叶变换，并由此证明解：F()e i te "kt (0) 3 分112F()ii22(0)-4分1.f(t)2-eitF()d(0)-5分f(t)n-cord(0),-6分?复变函数与积分变换？期末试题简答及评分标准(B)填空题(每小题3分，共计15分)的幅角是(_ 2k

7、 ,k 0 1, 2,)4Resf(z),0一、 1”);3. f(z) -z2, f (0)( 0)，、1(0 )； 5. f (z) -2 , Res f (z),2. Ln( 14. f(z)(0i)的主值是z sin z3，z)；二.选择题(每小题3分，共计15分)1.解析函数f(z)u(x,y)iv(x,y)的导函数为()；(A) f (z) Uy iVx；(B) f (z) Ux iUy；(C) f (z) Ux ivy；(D) f (z) Ux iUy.2. C是正向圆周|z 2,如果函数f(z)(),则 f(z)dz 0.(A)(B)3z；z 1(C)3z2 ?(z 1)(D)

8、2 .(z 1)3 .如果级数Cnzn在z2i点收敛，则级数在n1(A)z2点条件收敛；(B)z21点绝对收敛；(C)z1i点绝对收敛；(D)z12点一定发散.4 .下列结论正确的是()(A)如果函数f(z)在z。点可导,则f(z)在z。点一定解析;(B)如果f(z)dz0,其中C复平面内正向封闭曲线,则f(z)在C所围成的区域内一定解C析;(C)函数f(z)在Z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为zZ0的幕级数，而且展开式是唯一的;(D)函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5 .下列结论不正确

9、的是().(A)、lnz是复平面上的多信函数；(B)、cosz是无界函数;(C)、sinz是复平面上的有界函数；(D)、ez是周期函数.得分|三.按要求完成下列各题(每小题10分，共计40分)(1)求a,b,c,d使f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2)是解析函数,解：因为f(z)解析，由c-r条件a2,d2,a2c,2bd,c1,b1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。.1(2).Cz(z1)2dz.其中C是正向圆周|z2;解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数f(z)在复平面内只有两个奇点Zi0,z21,分

10、别以Zi，Z2为圆心画互不相交(z1)Z14互不包含的小圆。£2且包于c内QCdzC(z1)z(z1)2,dzC1z二z-dzC2(z1)13zzez.(3).计算oCT；rdz,其中C是正向圆周z2；C(1z)解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z2内,由留数定理国2f(Z)dz2iResf(z),2*(5分)/23(4)函数 f (z)如果有极点，请指出它的-J在扩充复平面上有什么类型的奇点？,(sinz)级.5分。其他酌情给分。给出全部奇点给四、(本题14分)将函数f(z)1；一在以下区域内展开成罗朗级数;(z1)(1)01,(2)(3)(1)0(2)(3)解：(1)当0而(1 (z 1)(zn 01)nn 1n(z 1)n 0f(z)n(z1)n2n0f(z)11-2= -2z (z 1) z nn n(1) z0(3)当 1f(z)n 2(1)z010-13( Az n 0 z14（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题解：对y（x）的Laplace变换记做l（s）