离散系统的稳定性

1、离散系统的稳定性jsTjTTjsTeeeez)(TZeZT采样控制系统稳定的条件采样控制系统稳定的条件)(1)()()()(zGHzGzRzCzC)(sR)(*sE)(*sC)(sCT)(sG)(sH)(*sR0)(1zGHnii,2,11线性采样系统稳定的充要条件线性采样系统稳定的充要条件11wwz11zzwjyxzjvuw222222) 1(2) 1(1)(yxyjyxyxjvuw双线性变换法双线性变换法0) 1(1)(2222yxyxu1)(22 yx0) 1(1)(2222yxyxu1)(22 yx0) 1(1)(2222yxyxu01)(22 yx采样系统稳定性的代数判据采样系统稳定

2、性的代数判据o列写采样系统的脉冲传递函数,得到系统闭环特征方程n在Z平面上采样系统稳定的充分且必要条件是闭环极点位于单位圆内o利用双线性变换将闭环特征方程表示在W平面n双线性变换将Z平面单位圆映射到W平面的左半平面o利用代数判据判别系统稳定性n判别闭环极点是否位于W平面的左半平面)4()(1ssKsG)(sR)(*sE)(sCT)(sGsT25. 0TTTezzzeKezzzzKSSKZssKZsGHZzG4414111114144114)4()()()(1)()()(zGHzGzRzCzeKezzzGHTT414141)(10111411111111wweKewwww0158. 0736.

3、2264. 1158. 0121KwwK101112158. 0736. 20264. 1158. 0736. 2158. 0KwwKKw3 .1701 K11158. 0736. 20158. 0KK 离散系统稳定的充要条件 F(z)的全部极点均位于z平面的单位圆内 )()()()()()(111zKzzCzzzDzMznjjjnjjmii 0)(1 njkkjjCkc 1 j )()(01*kTtCtcknjkjj 证明： 充分性 必要性 zzeeeezTjTTjTs )( js jyxz TzezT jvuw 1111zzwwwz（1）w变换及w域的劳斯稳定判裾 w 变换 1111zzw

4、wwz 1111zzwwwz 1122121zzTwwTwTzjyxjyxzzw 1111设yjxz vjuw 0)1(102222 yxyxuw 虚轴z 单位圆122 yxjvuyxxyjyx 2222)1(21 1122yx对应w平面 00uuz平面单位圆内外的点例 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。03911911745)(23 zzzzD(1) w域中的劳斯稳定判据系统不稳定)1()1( wwz039)11(119)11(117)11(4523 wwwwww) 1() 1(117) 1(45)(23 wwwwD0) 1(39) 1)(1(11932 www04022)(3 www

5、wDRouth0123wwww1224018 40例2 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。04511711939)(32 zzzzD(2) z域中的朱利 (Jurry) 稳定判据Jurry084511711939)1( D03204511711939)1( D50439- 45 45 39 624119 45 117 39 792117- 45 119 39 504 624792 系统不稳定0z1z2z3z39 119117- 4545117-11939-1234例3 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。0368. 14 . 008. 0002. 0)(432 zzzzzD0.002

6、 1 1 .0020系统稳定0114. 01368. 14 . 008. 0002. 0)1( D069. 21368. 14 . 008. 0002. 0)1( DJurry0z1z2z3z4z002. 00.081.368-10.4002. 00.081.368-10.40.08 1 368. 1 .0020 0.4 1 4 . 0 .00201.368- 1 08. 0 .00200827. 0 399. 0 368. 11 368. 1 0827. 0399. 0 1 399. 0 0827. 0368. 1 1 512. 0401. 1993. 01 368. 1 399. 0 08

7、27. 0 993. 0 1- 0827. 00827. 0 1 401. 1 512. 0 123456例4 离散系统结构图如图所示， T=1,求使系统稳定的K值范围。 )1(1)(ssKseZzGTs解法I w域中的Routh判据 )1(1)1(21ssZKz 1111)1(2sssZzKz TezzzzzTzzKz1)1()1(2 )(1()1()1(TTTTezzTeezeTK)368. 0)(1()718. 0(368. 01 zzzKT)368. 0264. 0()368. 1368. 0()718. 0(368. 0)(1)()(2 F FKzKzzKzGzGz)368. 026

8、4. 0()368. 1368. 0()718. 0(368. 0)(1)()(2 F FKzKzzKzGzGz0)368. 0264. 0()368. 1368. 0()(2 KzKzzD11 wwz0)368. 0264. 0()11)(368. 1368. 0()11(2 KwwKww0) 1)(368. 0264. 0() 1)(1)(368. 1368. 0() 1(22 wKwwKw0)104. 0736. 2()528. 0264. 1(632. 0)(2 KwKKwwD0 K0528. 0264. 1 K0104. 0736. 2 K0 K394. 2 K3 .26 K394.

9、 20 K解法II z域中的朱利 (Jurry) 稳定判据)718. 0(368. 0)368. 0)(1()( zKzzzD)(1)()(zGzGz F F)718. 0(368. 0)368. 0)(1()718. 0(368. 0 zKzzzK0)368. 0264. 0()368. 1368. 0(2 KzKzJurry0632. 0)1( KDKD368. 0282. 0368. 12)1( 01038. 0736. 2 K1368. 0264. 0 K0 K394. 2264. 0368. 01 K36.261038. 0736. 2 K394. 20 K例4 系统结构图如图所示, T=0.25, 求使系统稳定的K值范围。 sKeseZzGTsTs21)( 2211)1(sZzzK23)1()1( zTzzzK)1(2 zzKTKTzzKTzGzGz F F)1()(1)()(20)1()(232 KTzzKTzzzD0)1()(232 KTzzKTzzzD1)(2 KT1KT 1)(2 KT1KT KT01- 111-0KTJurry0z1z2z3z1234KTKT 2)(11 KT4125. 0 TTK01)(2 KTKT 618. 0618. 1251KT0)1( KTD0 K02)1( KTD825. 022 TK61